Компактная открытая топология - Википедия - Compact-open topology

В математика, то компактно-открытая топология это топология определены на набор из непрерывные карты между двумя топологические пространства. Компактно-открытая топология - одна из часто используемых топологий на функциональные пространства, и применяется в теория гомотопии и функциональный анализ. Он был представлен Ральф Фокс в 1945 г.^[1]

Если codomain из функции рассматриваемый имеет единообразная структура или метрическая структура то компактно-открытая топология - это «топология равномерное схождение на компактные наборы. "То есть последовательность функций сходится в компактно-открытой топологии именно тогда, когда она сходится равномерно на каждом компактном подмножестве домен.^[2]

Определение

Позволять $Икс$ и $Y$ быть двумя топологические пространства, и разреши $C (Икс, Y)$ обозначим множество всех непрерывные карты между $Икс$ и $Y$ . Учитывая компактное подмножество $K$ из $Икс$ и открытое подмножество $U$ из $Y$ , позволять $V (K, U)$ обозначим множество всех функций $ж \in C (Икс, Y)$ такой, что $ж (K) \subseteq U .$ Тогда собрание всех таких $V (K, U)$ это подоснование для компактно-открытой топологии на $C (Икс, Y)$ . (Эта коллекция не всегда образует основание для топологии на $C (Икс, Y)$ .)

При работе в категория из компактно порожденные пространства, это определение обычно модифицируют, ограничивая его суббазой, сформированной из тех $K$ это образ компактный Пространство Хаусдорфа. Конечно, если $Икс$ компактно порождена и хаусдорфова, это определение совпадает с предыдущим. Однако модифицированное определение имеет решающее значение, если кто-то хочет удобную категорию компактно порожденный слабый Хаусдорф места, чтобы быть Декартово закрыто, среди других полезных свойств.^[3]^[4]^[5] Путаница между этим определением и приведенным выше вызвана разным использованием слова компактный.

Характеристики

Если $*$ одноточечное пространство, то можно определить $C (*, Y)$ с $Y$ , и при этом отождествлении компактно-открытая топология согласуется с топологией на $Y$ . В более общем смысле, если $Икс$ это дискретное пространство, тогда $C (Икс, Y)$ можно отождествить с декартово произведение из $| Икс |$ копии $Y$ и компактно-открытая топология согласуется с топология продукта.
Если $Y$ является $Т 0$ , $Т 1$ , Хаусдорф, обычный, или же Тихонов, то компактно-открытая топология имеет соответствующее аксиома разделения.
Если $Икс$ Хаусдорф и $S$ это подоснование за $Y$ , то сборник ${V (K, U) : U \in S, K compact}$ это подоснование для компактно-открытой топологии на $C (Икс, Y)$ .^[6]
Если $Y$ это метрическое пространство (или, в более общем смысле, однородное пространство ), то компактно-открытая топология равна топология компактной сходимости. Другими словами, если $Y$ метрическое пространство, то последовательность ${ж п}$ сходится к $ж$ в компактно-открытой топологии тогда и только тогда, когда для каждого компактного подмножества $K$ из $Икс$ , ${ж п}$ равномерно сходится к $ж$ на $K$ . Если $Икс$ компактный и $Y$ является равномерным пространством, то компактно-открытая топология равна топологии равномерное схождение.
Если $Икс, Y$ и $Z$ топологические пространства, с $Y$ локально компактный Хаусдорф (или даже просто локально компактный пререгулярный ), то составная карта $C (Y, Z) \times C (Икс, Y) \to C (Икс, Z),$ данный $(ж, грамм) \mapsto ж \circ грамм,$ непрерывна (здесь все функциональные пространства заданы компактно-открытой топологией и $C (Y, Z) \times C (Икс, Y)$ дается топология продукта ).
Если $Y$ является локально компактным хаусдорфовым (или предрегулярным) пространством, то оценочное отображение $е : C (Y, Z) \times Y \to Z$ , определяется $е (ж, Икс) = ж (Икс)$ , непрерывно. Это можно рассматривать как частный случай вышеизложенного, когда $Икс$ - одноточечное пространство.
Если $Икс$ компактный, и $Y$ метрическое пространство с метрика $d$ , то компактно-открытая топология на $C (Икс, Y)$ является метризуемый, а его метрика дается выражением $е (ж, грамм) = Как дела {d (ж (Икс), грамм (Икс)) : Икс в Икс},$ за $ж, грамм$ в $C (Икс, Y)$ .

Приложения

Компактная открытая топология может использоваться для топологизации следующих множеств:^[7]

${ displaystyle Omega (X, x_ {0}) = {f: I to X: f (0) = f (1) = x_ {0} }}$ , то пространство петли из ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle x_ {0}}$ ,
${ displaystyle E (X, x_ {0}, x_ {1}) = {f: I to X: f (0) = x_ {0} { text {and}} f (1) = x_ { 1} }}$ ,
${ displaystyle E (X, x_ {0}) = {f: I to X: f (0) = x_ {0} }}$ .

Кроме того, есть гомотопическая эквивалентность между пространствами ${ Displaystyle С ( Sigma X, Y) cong C (X, Omega Y)}$ .^[7] Эти топологические пространства, ${ Displaystyle C (X, Y)}$ полезны в теории гомотопий, поскольку их можно использовать для формирования топологического пространства и модели для гомотопического типа набор гомотопических классов отображений

{ displaystyle pi (X, Y) = {[f]: X to Y | f { text {является гомотопическим классом}} }.}

Это потому что ${ Displaystyle пи (X, Y)}$ это набор компонентов пути в ${ Displaystyle C (X, Y)}$ , то есть есть изоморфизм наборов

{ Displaystyle пи (X, Y) к C (I, C (X, Y)) / sim}

куда ${ displaystyle sim}$ - гомотопическая эквивалентность.

Дифференцируемые функции Фреше

Позволять $Икс$ и $Y$ быть двумя Банаховы пространства определяется по тому же поле, и разреши $C м (U, Y)$ обозначим множество всех $м$ -постоянно Дифференцируемый по Фреше функции из открытого подмножества $U \subseteq Икс$ к $Y$ . Компактно-открытая топология - это начальная топология вызванный полунормы

{ displaystyle p_ {K} (f) = sup left { left | D ^ {j} f (x) right | : x in K, 0 leq j leq m верно}}

куда $D 0 ж (Икс) = ж (Икс)$ , для каждого компактного подмножества $K \subseteq U$ .

Компактная открытая топология - Википедия - Compact-open topology

Содержание

Определение

Характеристики

Приложения

Дифференцируемые функции Фреше

Рекомендации