Состав функций - Function composition

В математика, функциональная композиция это операция, которая занимает два функции $ж$ и $грамм$ и производит функцию $час$ такой, что $час (Икс) = грамм (ж (Икс))$ . В этой операции функция $грамм$ является применяется к результату применения функции $ж$ к $Икс$ . То есть функции $ж : Икс \to Y$ и $грамм : Y \to Z$ находятся составлен чтобы получить функцию, которая отображает $Икс$ в $Икс$ к $грамм (ж (Икс))$ в $Z$ .

Интуитивно, если $z$ является функцией $у$ , и $у$ является функцией $Икс$ , тогда $z$ является функцией $Икс$ . Результирующий составной функция обозначается $грамм \circ ж : Икс \to Z$ , определяется $(грамм \circ ж)(Икс) = грамм (ж (Икс))$ для всех $Икс$ в $Икс$ .^{[nb 1]}Обозначение $грамм \circ ж$ читается как " $грамм$ круг $ж$ ", " $грамм$ круглый $ж$ ", " $грамм$ около $ж$ ", " $грамм$ составлен с $ж$ ", " $грамм$ после $ж$ ", " $грамм$ следующий $ж$ ", " $грамм$ из $ж$ ", " $ж$ тогда $грамм$ ", или же " $грамм$ на $ж$ ". Интуитивно понятно, что составление функций - это процесс объединения, в котором выходные данные функции $ж$ подает вход функции $грамм$ .

Композиция функций - это частный случай состав отношений, иногда также обозначается ${ displaystyle circ}$ .^[1] В результате все свойства композиции отношений верны композиции функций,^[2] хотя композиция функций имеет некоторые дополнительные свойства.

Состав функций отличается от умножение функций и имеет совершенно разные свойства;^[3] в частности, композиция функций не коммутативный.

Примеры

Конкретный пример композиции двух функций.

Композиция функций на конечном множестве: Если $ж = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , и $грамм = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , тогда $грамм \circ ж = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$ , как показано на рисунке.
Состав функций на бесконечный набор: Если $ж : ℝ \to ℝ$ (куда $ℝ$ это набор всех действительные числа ) дан кем-то $ж (Икс) = 2 Икс + 4$ и $грамм : ℝ \to ℝ$ дан кем-то $грамм (Икс) = Икс 3$ , тогда:

(ж \circ грамм)(Икс) = ж (грамм (Икс)) = ж (Икс 3) = 2 Икс 3 + 4

, и

(грамм \circ ж)(Икс) = грамм (ж (Икс)) = грамм (2 Икс + 4) = (2 Икс + 4) 3

.

Если высота самолета во время $т$ является $а (т)$ , а атмосферное давление на высоте $Икс$ является $п (Икс)$ , тогда $(п \circ а)(т)$ давление вокруг самолета во время $т$ .

Характеристики

Состав функций всегда ассоциативный - свойство, унаследованное от состав отношений.^[2] То есть, если $ж$ , $грамм$ , и $час$ являются составными, тогда $ж \circ (грамм \circ час) = (ж \circ грамм) \circ час$ .^[4] Поскольку круглые скобки не меняют результат, их обычно опускают.

В строгом смысле композиция $грамм \circ ж$ имеет смысл только в том случае, если домен $ж$ равняется области $грамм$ ; в более широком смысле достаточно, чтобы первое было подмножество последнего.^{[nb 2]}Более того, часто бывает удобно неявно ограничить область $ж$ , так что $ж$ производит только значения в области $грамм$ . Например, состав $грамм \circ ж$ функций $ж : ℝ \to (-\infty,+9]$ определяется $ж (Икс) = 9 - Икс 2$ и $грамм : [0,+\infty) \to ℝ$ определяется $грамм (Икс) = \sqrt Икс$ можно определить на интервал $[-3,+3]$ .

Композиции из двух настоящий функции, абсолютная величина и кубическая функция, в разных порядках, показывают некоммутативность композиции.

Функции $грамм$ и $ж$ говорят ездить друг с другом, если $грамм \circ ж = ж \circ грамм$ . Коммутативность - это особое свойство, достигаемое только определенными функциями и часто при особых обстоятельствах. Например, $| Икс | + 3 = | Икс + 3 |$ только когда $Икс \geq 0$ . На картинке показан еще один пример.

Состав один к одному функции всегда взаимно однозначны. Аналогичным образом состав на функции всегда включены. Отсюда следует, что композиция двух биекции тоже биекция. В обратная функция композиции (предполагаемой обратимой) обладает тем свойством, что $(ж \circ грамм) -1 = грамм -1 \circ ж -1$ .^[5]

Производные композиций с дифференцируемыми функциями можно найти с помощью Правило цепи. Высшие производные таких функций даются Формула Фаа ди Бруно.^[4]

Композиция моноидов

Предположим, у одного есть две (или более) функции $ж : Икс \to Икс,$ $грамм : Икс \to Икс$ наличие того же домена и кодомена; их часто называют трансформации. Тогда можно составить цепочку преобразований, составленных вместе, например $ж \circ ж \circ грамм \circ ж$ . Такие цепи имеют алгебраическая структура из моноид, называется моноид преобразования или (гораздо реже) составной моноид. В общем случае моноиды преобразования могут иметь очень сложную структуру. Одним из ярких примеров является кривая де Рама. Набор все функции $ж : Икс \to Икс$ называется полугруппа полного преобразования^[6] или симметрическая полугруппа^[7] на $Икс$ . (Фактически можно определить две полугруппы в зависимости от того, как определить операцию полугруппы как левую или правую композицию функций.^[8])

В сходство превращающий треугольник ОДВ в треугольник ATB это состав гомотетия

ЧАС

и вращение

р

, из которых общий центрС. Например, Изображение изА под вращением

р

являетсяU, что может быть написано

р

(А) = U. И

ЧАС

(U) = B означает, что отображение

ЧАС

трансформирует U в Б. Таким образом

ЧАС (р

(А)) =

(H \circ R)

(А) = B.

Если преобразования биективный (и, следовательно, обратимы), то множество всех возможных комбинаций этих функций образует группа трансформации; и один говорит, что группа генерируется этими функциями. Фундаментальный результат теории групп, Теорема Кэли, по существу говорит, что любая группа на самом деле является просто подгруппой группы перестановок (с точностью до изоморфизм ).^[9]

Множество всех биективных функций $ж : Икс \to Икс$ (называется перестановки ) образует группу относительно композиции функций. Это симметричная группа, также иногда называемый состав группы.

В симметрической полугруппе (всех преобразований) также обнаруживается более слабое, неединственное понятие обратного (называемого псевдообратным), поскольку симметричная полугруппа является регулярная полугруппа.^[10]

Функциональные возможности

Если $Y \subseteq Икс$ , тогда $ж : Икс \to Y$ может сочинять само с собой; это иногда обозначается как $ж 2$ . Это:

(ж \circ ж) (х) = ж (ж (Икс)) = ж 2 (Икс)

(ж \circ ж \circ ж) (х) = ж (ж (ж (Икс))) = ж 3 (Икс)

(ж \circ ж \circ ж \circ ж) (х) = ж (ж (ж (ж (Икс)))) = ж 4 (Икс)

В общем, для любого натуральное число $п \geq 2$ , то $п$ th функциональный мощность можно индуктивно определить как $ж п = ж \circ ж п -1 = ж п -1 \circ ж$ , обозначение, введенное Ганс Генрих Бюрманн^{[нужна цитата ]}^[11]^[12] и Джон Фредерик Уильям Гершель.^[13]^[11]^[14]^[12] Повторная композиция такой функции с самой собой называется повторяющаяся функция.

Условно, $ж 0$ определяется как карта идентичности на $ж$ домен, $я бы Икс$ .
Если даже $Y = Икс$ и $ж : Икс \to Икс$ признает обратная функция $ж -1$ , отрицательные функциональные возможности $ж - п$ определены для $п > 0$ как отрицается мощность обратной функции: $ж - п = (ж -1) п$ .^[13]^[11]^[12]

Заметка: Если $ж$ принимает свои значения в звенеть (в частности, для действительных или комплексных $ж$ ) существует опасность путаницы, так как $ж п$ может также означать $п$ -складчатое произведение $ж$ , например $ж 2 (Икс) = ж (Икс) \cdot ж (Икс)$ .^[12] Для тригонометрических функций обычно подразумевается последнее, по крайней мере, для положительных показателей.^[12] Например, в тригонометрия, этот верхний индекс обозначает стандартные возведение в степень при использовании с тригонометрические функции: $грех 2 (Икс) = грех (Икс) \cdot Грех (Икс)$ Однако для отрицательных показателей (особенно −1) он все же обычно относится к обратной функции, например, $загар -1 = arctan \neq 1 / tan$ .

В некоторых случаях, когда для данной функции $ж$ , уравнение $грамм \circ грамм = ж$ имеет уникальное решение $грамм$ , эту функцию можно определить как функциональный квадратный корень из $ж$ , затем записывается как $грамм = ж 1/2$ .

В более общем плане, когда $грамм п = ж$ имеет уникальное решение для некоторого натурального числа $п > 0$ , тогда $ж м / п$ можно определить как $грамм м$ .

При дополнительных ограничениях эту идею можно обобщить так, что количество итераций становится непрерывным параметром; в этом случае такая система называется поток, указанные в решениях Уравнение Шредера. Итерированные функции и потоки естественным образом возникают при изучении фракталы и динамические системы.

Чтобы избежать двусмысленности, некоторые математики^{[нужна цитата ]} выбрать использовать $\circ$ для обозначения композиционного значения, написание $ж \circ п (Икс)$ для $п$ -я итерация функции $ж (Икс)$ , как, например, $ж \circ3 (Икс)$ смысл $ж (ж (ж (Икс)))$ . С той же целью $ж [п] (Икс)$ использовался Бенджамин Пирс^[15]^[12] в то время как Альфред Прингсхайм и Жюль Мольк предложил $п ж (Икс)$ вместо.^[16]^[12]^{[№ 3]}

Альтернативные обозначения

Многие математики, особенно в теория групп, опустить символ композиции, написать $gf$ за $грамм \circ ж$ .^[17]

В середине 20 века некоторые математики решили, что письмо " $грамм \circ ж$ "означать" сначала применить $ж$ , затем примените $грамм$ "запутался и решил поменять обозначения. Пишут" $xf$ " для " $ж (Икс)$ " и " $(xf) грамм$ " для " $грамм (ж (Икс))$ ".^[18] Это может быть более естественно и кажется проще, чем писать функции слева в некоторых областях - в линейная алгебра, например, когда $Икс$ это вектор строки и $ж$ и $грамм$ обозначать матрицы а композиция написана матричное умножение. Это альтернативное обозначение называется постфиксная запись. Порядок важен, потому что композиция функций не обязательно коммутативна (например, умножение матриц). Последовательные преобразования, применяемые и составляющие справа, согласуются с последовательностью чтения слева направо.

Математики, использующие постфиксную запись, могут написать " $фг$ ", что означает сначала применить $ж$ а затем применить $грамм$ , в соответствии с порядком, в котором символы встречаются в постфиксной записи, таким образом, запись " $фг$ "неоднозначно. Компьютерные специалисты могут писать" $ж; грамм$ " за это,^[19] тем самым устраняя неоднозначность порядка композиции. Чтобы отличить левый оператор композиции от точки с запятой в тексте, в Обозначение Z символ ⨾ используется для левого состав отношений.^[20] Поскольку все функции бинарные отношения, правильно использовать точку с запятой [жир] и для композиции функций (см. статью о состав отношений для получения дополнительных сведений об этих обозначениях).

Оператор композиции

Учитывая функцию $грамм$ , то оператор композиции $C грамм$ определяется как оператор который отображает функции в функции как

{ displaystyle C_ {g} f = f circ g.}

Операторы композиции изучаются в области теория операторов.

В языках программирования

Функциональная композиция в той или иной форме встречается во многих языки программирования.

Многомерные функции

Возможна частичная композиция для многомерные функции. Функция, возникающая, когда некоторый аргумент $Икс я$ функции $ж$ заменяется функцией $грамм$ называется составом $ж$ и $грамм$ в некоторых контекстах компьютерной инженерии и обозначается $ж | Икс я = грамм$

{ displaystyle f | _ {x_ {i} = g} = f (x_ {1}, ldots, x_ {i-1}, g (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n) }), x_ {i + 1}, ldots, x_ {n}).}

Когда $грамм$ простая константа $б$ , композиция вырождается в (частичную) оценку, результат которой также известен как ограничение или кофактор.^[21]

{ displaystyle f | _ {x_ {i} = b} = f (x_ {1}, ldots, x_ {i-1}, b, x_ {i + 1}, ldots, x_ {n}). }

В общем, композиция многомерных функций может включать несколько других функций в качестве аргументов, как в определении примитивная рекурсивная функция. Данный $ж$ , а $п$ -арная функция, и $п$ $м$ -арные функции $грамм 1, ..., грамм п$ , состав $ж$ с $грамм 1, ..., грамм п$ , это $м$ -арная функция

{ displaystyle h (x_ {1}, ldots, x_ {m}) = f (g_ {1} (x_ {1}, ldots, x_ {m}), ldots, g_ {n} (x_ { 1}, ldots, x_ {m}))}

.

Иногда это называют обобщенный композит из ж с $грамм 1, ..., грамм п$ .^[22] Частичная композиция только в одном аргументе, упомянутом ранее, может быть создана из этой более общей схемы путем установки всех функций аргументов, кроме одной, которая должна быть выбрана подходящим образом. функции проекции. Здесь $грамм 1, ..., грамм п$ можно рассматривать как единый вектор /кортеж -значная функция в этой обобщенной схеме, и в этом случае это в точности стандартное определение композиции функции.^[23]

Набор финишеров операции на каком-то базовом наборе Икс называется клон если он содержит все проекции и замкнут по обобщенной композиции. Обратите внимание, что клон обычно содержит операции различных арности.^[22] Понятие коммутации также находит интересное обобщение в многомерном случае; функция ж арности п называется коммутирующим с функцией грамм арности м если ж это гомоморфизм сохранение грамм, и наоборот, то есть:^[22]

{ displaystyle f (g (a_ {11}, ldots, a_ {1m}), ldots, g (a_ {n1}, ldots, a_ {nm})) = g (f (a_ {11}, ldots, a_ {n1}), ldots, f (a_ {1m}, ldots, a_ {nm}))}

.

Унарная операция всегда коммутирует сама с собой, но это не обязательно так для двоичной (или более высокой) операции. Бинарная операция (или более высокая степень арности), которая коммутирует сама с собой, называется медиальный или энтропийный.^[22]

Обобщения

Сочинение можно обобщить на произвольные бинарные отношения.Если $р \subseteq Икс \times Y$ и $S \subseteq Y \times Z$ два бинарных отношения, то их композиция $р \circ S$ это отношение, определяемое как ${(Икс, z) \in Икс \times Z : \exists у \in Y . (Икс, у) \in р \land (у, z) \in S}$ . Рассматривая функцию как частный случай бинарного отношения (а именно функциональные отношения ) композиция функций удовлетворяет определению композиции отношения. Маленький круг $р \circ S$ был использован для инфиксное обозначение композиции отношений, а также functions. Когда используется для представления композиции функций ${ Displaystyle (г CIRC F) (х) = г (е (х))}$ однако последовательность текста инвертирована, чтобы соответствующим образом проиллюстрировать различные последовательности операций.

Таким же образом определяется состав для частичные функции и у теоремы Кэли есть аналог, называемый Теорема Вагнера – Престона.^[24]

В категория наборов с функциями как морфизмы является прототипом категория. Аксиомы категории на самом деле основаны на свойствах (а также определении) композиции функций.^[25] Структуры, заданные композицией, аксиоматизированы и обобщены в теория категорий с концепцией морфизм как теоретико-категориальная замена функций. Обратный порядок составов в формуле $(ж \circ грамм) -1 = (грамм -1 \circ ж -1)$ подает заявку на состав отношений с помощью обратные отношения, а значит в теория групп. Эти структуры образуют категории кинжалов.

Типография

Символ композиции $\circ$ кодируется как U + 2218 ∘ КОЛЬЦО ОПЕРАТОР (HTML∘ · & compfn ;, & SmallCircle;); увидеть Символ степени статья для похожих символов Unicode. В TeX, это написано circ.

Смотрите также

Паутинный сюжет - графический прием функциональной композиции
Комбинаторная логика
Композиционное кольцо, формальная аксиоматизация операции композиции
Поток (математика)
Функциональная композиция (информатика)
Функция случайной величины, распределение функции случайной величины
Функциональная декомпозиция
Функциональный квадратный корень
Функция высшего порядка
Бесконечные композиции аналитических функций
Итерированная функция
Лямбда-исчисление

Примечания

^ Некоторые авторы используют $ж \circ грамм : Икс \to Z$ , определяется $(ж \circ грамм)(Икс) = грамм (ж (Икс))$ вместо. Это обычное дело, когда постфиксная запись используется, особенно если функции представлены экспонентами, как, например, при изучении групповые действия. Видеть Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок. Springer. п.5. ISBN 0-387-94599-7.
^ Используется строгий смысл, например, в теория категорий, где отношение подмножества явно моделируется функция включения.
^ Альфред Прингсхайм и Жюль Мольк обозначение (1907 г.) $п ж (Икс)$ обозначение функциональных композиций не следует путать с Рудольф фон Биттер Рукер s (1982) обозначение $п Икс$ , введенный Гансом Маурером (1901) и Рубен Луи Гудштейн (1947) для тетрация, или с Дэвид Паттерсон Эллерман s (1995) $п Икс$ пре-верхний индекс для корни.

внешняя ссылка

«Составная функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
"Состав функций "Брюса Этвуда, Вольфрам Демонстрационный проект, 2007.

[NB_Dixon_1996-1] Некоторые авторы используют $ж \circ грамм : Икс \to Z$ , определяется $(ж \circ грамм)(Икс) = грамм (ж (Икс))$ вместо. Это обычное дело, когда постфиксная запись используется, особенно если функции представлены экспонентами, как, например, при изучении групповые действия. Видеть Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок. Springer. п.5. ISBN 0-387-94599-7.

[NB_Strict-6] Используется строгий смысл, например, в теория категорий, где отношение подмножества явно моделируется функция включения.

[NB_Rucker-19] Альфред Прингсхайм и Жюль Мольк обозначение (1907 г.) $п ж (Икс)$ обозначение функциональных композиций не следует путать с Рудольф фон Биттер Рукер s (1982) обозначение $п Икс$ , введенный Гансом Маурером (1901) и Рубен Луи Гудштейн (1947) для тетрация, или с Дэвид Паттерсон Эллерман s (1995) $п Икс$ пре-верхний индекс для корни.

[2] «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-28.

[Velleman_2006-3] а ^б Веллеман, Дэниел Дж. (2006). Как это доказать: структурированный подход. Издательство Кембриджского университета. п. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.

[4] «3.4: Состав функций». Математика LibreTexts. 2020-01-16. Получено 2020-08-28.

[:0-5] а ^б Вайсштейн, Эрик В. "Сочинение". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-28.

[Rodgers_2000-7] Роджерс, Нэнси (2000). Учимся рассуждать: введение в логику, множества и отношения. Джон Уайли и сыновья. С. 359–362. ISBN 978-0-471-37122-9.

[Hollings_2014-8] Холлингс, Кристофер (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп. Американское математическое общество. п. 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.

[Grillet_1995-9] Грийе, Пьер А. (1995). Полугруппы: введение в теорию структуры. CRC Press. п. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.

[Dömösi-Nehaniv_2005-10] Dömösi, Pál; Неханив, Кристофер Л. (2005). Алгебраическая теория сетей автоматов: введение. СИАМ. п. 8. ISBN 978-0-89871-569-9.

[Carter_2009-11] Картер, Натан (2009-04-09). Визуальная теория групп. MAA. п. 95. ISBN 978-0-88385-757-1.

[Ganyushkin-Mazorchuk_2008-12] Ганюшкин Александр; Мазорчук, Владимир (2008). Классические полугруппы конечных преобразований: введение. Springer Science & Business Media. п. 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

[Herschel_1820-13] а ^б ^c Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода различий». Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей. Кембридж, Великобритания: Напечатано Дж. Смитом, продано J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. В архиве из оригинала 2020-08-04. Получено 2020-08-04. [1] (NB. Здесь Гершель ссылается на 1813 работа и упоминает Ганс Генрих Бюрманн более старая работа.)

[Cajori_1929-14] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм Кахори, Флориан (1952) [март 1929]. «§472. Степень логарифма / §473. Итерированные логарифмы / §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратных функций / §537. Полномочия тригонометрических функций». История математических обозначений. 2 (3-е исправленное издание номера 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательство open court. С. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Получено 2016-01-18. […] §473. Итерированные логарифмы […] Здесь мы отмечаем символизм, используемый Pringsheim и Молк в их совместных Энциклопедия статья: "²бревно_б а = журнал_б (бревно_б а), …, ^k+1бревно_б а = журнал_б (^kбревно_б а)."^[а] […] §533. Джон Гершель обозначение обратных функций, грех⁻¹ Икс, загар⁻¹ Икси др., была опубликована им в Философские труды Лондона, за 1813 год. Он говорит (п. 10 ): "Это обозначение cos.⁻¹ е не следует понимать как 1 / cos.е, но то, что обычно пишут так, arc (cos. =е). "Он признает, что некоторые авторы используют cos.^м А для (cos.А)^м, но он оправдывает свои собственные обозначения, указывая, что, поскольку d² Икс, Δ³ Икс, Σ² Икс иметь в виду дд Икс, ΔΔΔИкс, ΣΣИкс, мы должны написать грех.² Икс за грех. грех.Икс, бревно.³ Икс для журнала. бревно. бревно.Икс. Как мы пишем d^−п V = ∫^п V, мы можем написать аналогично sin.⁻¹ Икс= дуга (грех. =Икс), бревно.⁻¹ Икс. = c^Икс. Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал ж^п(Икс), ж^−п(Икс), грех.⁻¹ Икси т. д. ", как он тогда предполагал впервые. Работа немецкого аналитика, Бурманн, однако, в течение этих нескольких месяцев пришел к его знанию, в котором то же самое объясняется значительно раньше. Однако он [Бурманн], похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan⁻¹и т. д., и при этом он, кажется, совсем не осведомлен об обратном исчислении функций, которое оно порождает ». Гершель добавляет:« Симметрия этой записи и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые она открывает на природу аналитических операций. похоже, санкционирует его всеобщее принятие ".^[b] […] §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратной функции.- […] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения в Бенджамин Пирс книги, чтобы снять главное возражение против них; Пирс писал: «потому что^[−1] Икс," "бревно^[−1] Икс."^[c] […] §537. Степени тригонометрических функций.- Для обозначения, скажем, квадрата греха использовались три основных обозначения.Икс, а именно (грехИкс)²грехИкс²грех² Икс. В настоящее время преобладающее обозначение - грех.² Икс, хотя вероятность того, что первое будет неправильно истолковано, будет меньше всего. В случае греха² Икс напрашиваются две интерпретации; во-первых, грехИкс · ГрехИкс; во-вторых,^[d] грех (грехИкс). Поскольку функции последнего типа обычно не проявляются, опасность неправильной интерпретации намного меньше, чем в случае журнала² Икс, где журналИкс · бревноИкс и журнал (журналИкс) часто встречаются в анализе. […] Обозначение греха^п Икс для (грехаИкс)^п широко использовался и в настоящее время является преобладающим. […] (xviii + 367 + 1 страница, включая 1 страницу дополнений) (NB. ISBN и ссылка для перепечатки 2-го издания компанией Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)

[Herschel_1813-15] а ^б Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «Об одном замечательном применении теоремы Котеса». Философские труды Лондонского королевского общества. Лондон: Лондонское королевское общество, напечатано W. Bulmer and Co., Кливленд-Роу, Сент-Джеймс, продано G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Часть 1): 8–26 [10]. Дои:10.1098 / рстл.1813.0005. JSTOR 107384. S2CID 118124706.

[Peano_1903-16] Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (На французском). IV. п. 229.

[Peirce_1852-17] Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы. я (новое изд.). Бостон, США. п. 203.

[Pringsheim-Molk_1907-18] Pringsheim, Альфред; Молк, Жюль (1907). Энциклопедия чистых математических наук и прикладных наук (На французском). я. п. 195. Часть I.

[Ivanov_2009-20] Иванов, Олег А. (2009-01-01). Оживление математики: руководство для учителей и студентов. Американское математическое общество. С. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.

[Gallier_2011-21] Галье, Жан (2011). Дискретная математика. Springer. п. 118. ISBN 978-1-4419-8047-2.

[Barr-Wells_1990-22] Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1998). Теория категорий для вычислительной науки (PDF). п. 6. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2014-08-23. (NB. Это обновленная и бесплатная версия книги, изначально опубликованной Prentice Hall в 1990 году как ISBN 978-0-13-120486-7.)

[ISOIEC13568-23] ISO / IEC 13568: 2002 (E), стр. 23

[Bryant_1986-24] Брайант, Р. Э. (август 1986 г.). «Алгоритмы логической минимизации для синтеза СБИС» (PDF). Транзакции IEEE на компьютерах. С-35 (8): 677–691. Дои:10.1109 / tc.1986.1676819. S2CID 10385726.

[Bergman_2011-25] а ^б ^c ^d Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы. CRC Press. стр.79 –80, 90 –91. ISBN 978-1-4398-5129-6.

[Tourlakis_2012-26] Турлакис, Джордж (2012). Теория вычислений. Джон Уайли и сыновья. п. 100. ISBN 978-1-118-31533-0.

[Lipcomb_1997-27] Липскомб, С. (1997). Симметричные обратные полугруппы. Математические обзоры и монографии AMS. п. XV. ISBN 0-8218-0627-0.

[Hilton-Wu_1989-28] Хилтон, Питер; Ву, Ель-Чианг (1989). Курс современной алгебры. Джон Уайли и сыновья. п. 65. ISBN 978-0-471-50405-4.

[nb 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[nb 2]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[№ 3]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]