Аналитическая функция - Википедия - Analytic function

В математика, аналитическая функция это функция который локально задается сходящийся степенной ряд. Существуют как вещественные аналитические функции и комплексные аналитические функции. Функции каждого типа бесконечно дифференцируемый, но комплексные аналитические функции обладают свойствами, которые обычно не выполняются для вещественных аналитических функций. Функция аналитична тогда и только тогда, когда ее Серия Тейлор о Икс₀ сходится к функции в некоторых район для каждого Икс₀ в его домен.

Определения

Формально функция ${ displaystyle f}$ является настоящий аналитик на открытый набор ${ displaystyle D}$ в реальная линия если для любого ${ displaystyle x_ {0} in D}$ можно писать

{ displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} left (x-x_ {0} right) ^ {n} = a_ {0} + a_ {1 } (x-x_ {0}) + a_ {2} (x-x_ {0}) ^ {2} + a_ {3} (x-x_ {0}) ^ {3} + cdots}

в котором коэффициенты ${ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, dots}$ реальные числа и серии является сходящийся к ${ displaystyle f (x)}$ за ${ displaystyle x}$ в районе ${ displaystyle x_ {0}}$ .

В качестве альтернативы аналитическая функция - это бесконечно дифференцируемая функция так что Серия Тейлор в любой момент ${ displaystyle x_ {0}}$ в своей области

{ displaystyle T (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} (x-x_ {0 }) ^ {n}}

сходится к ${ displaystyle f (x)}$ за ${ displaystyle x}$ в районе ${ displaystyle x_ {0}}$ точечно.^[а] Множество всех действительных аналитических функций на данном множестве ${ displaystyle D}$ часто обозначается как ${ Displaystyle C ^ {, omega} (D)}$ .

Функция ${ displaystyle f}$ определенная на некотором подмножестве вещественной прямой, называется вещественно-аналитической в точке ${ displaystyle x}$ если есть район ${ displaystyle D}$ из ${ displaystyle x}$ на котором ${ displaystyle f}$ действительно аналитический.

Определение комплексная аналитическая функция получается заменой в приведенных выше определениях слова «реальный» на «комплексный» и «действительная прямая» на «комплексную плоскость». Функция является комплексно-аналитической тогда и только тогда, когда она голоморфный т.е. комплексно дифференцируемый. По этой причине термины «голоморфный» и «аналитический» часто используются как синонимы для таких функций.^[1]

Примеры

Типичные примеры аналитических функций:

Все элементарные функции:
- Все многочлены: если многочлен имеет степень п, любые члены степени выше, чем п в его разложении в ряд Тейлора должен немедленно обращаться в нуль до 0, и поэтому этот ряд будет тривиально сходящимся. Более того, каждый многочлен сам по себе Серия Маклорена.
- В экспоненциальная функция аналитический. Любой ряд Тейлора для этой функции сходится не только при Икс достаточно близко к Икс₀ (как в определении), но для всех значений Икс (реальный или сложный).
- В тригонометрические функции, логарифм, а степенные функции аналитичны на любом открытом множестве своей области.
Наиболее специальные функции (по крайней мере, в некотором диапазоне комплексной плоскости):

Типичные примеры неаналитических функций:

В абсолютная величина Функция, когда она определена на множестве действительных или комплексных чисел, не везде аналитическая, потому что она не дифференцируема в 0. Кусочно определенный функции (функции, заданные разными формулами в разных областях) обычно не аналитичны в местах пересечения частей.
В комплексно сопряженный функция z → z* не является комплексным аналитическим, хотя его ограничение действительной линией является тождественной функцией и, следовательно, действительным аналитическим, и оно является действительным аналитическим как функция от ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ к ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ .
Другой неаналитические гладкие функции, и, в частности, любая гладкая функция ${ displaystyle f}$ с компактной опорой, т.е. ${ Displaystyle е в C_ {0} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$ , не может быть аналитическим на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ .^[2]

Альтернативные характеристики

Следующие условия эквивалентны:

1. ${ displaystyle f}$ вещественно аналитичен на открытом множестве ${ displaystyle D}$ .

2. Существует комплексное аналитическое расширение ${ displaystyle f}$ в открытый набор ${ Displaystyle G подмножество mathbb {C}}$ который содержит ${ displaystyle D}$ .

3. ${ displaystyle f}$ действительно гладко и для каждого компактный набор ${ displaystyle K subset D}$ существует постоянная ${ displaystyle C}$ так что для каждого ${ displaystyle x in K}$ и каждое неотрицательное целое число ${ displaystyle k}$ справедлива следующая оценка^[3]

{ displaystyle left | { гидроразрыва {d ^ {k} f} {dx ^ {k}}} (x) right | leq C ^ {k + 1} k!}

Комплексные аналитические функции в точности эквивалентны голоморфные функции, и поэтому их гораздо легче охарактеризовать.

В случае аналитической функции с несколькими переменными (см. Ниже) действительная аналитичность может быть охарактеризована с помощью Преобразование Фурье – Броса – Ягольницера.

В случае многих переменных действительные аналитические функции удовлетворяют прямому обобщению третьей характеризации.^[4] Позволять ${ Displaystyle U подмножество mathbb {R} ^ {n}}$ быть открытым множеством, и пусть ${ displaystyle f: U to mathbb {R}}$ .

потом ${ displaystyle f}$ действительно аналитический на ${ displaystyle U}$ если и только если ${ Displaystyle е в С ^ { infty} (U)}$ и для каждого компактного ${ displaystyle K substeq U}$ существует постоянная ${ displaystyle C}$ так что для каждого мультииндекса ${ Displaystyle альфа в mathbb {Z} _ { geq 0} ^ {п}}$ справедлива следующая оценка^[5]

${ displaystyle sup _ {x in K} left | { frac { partial ^ { alpha} f} { partial x ^ { alpha}}} (x) right | leq C ^ { | альфа | +1} альфа!}$

Свойства аналитических функций

Суммы, продукты и композиции аналитических функций являются аналитическими.
В взаимный аналитической функции, которая нигде не равна нулю, является аналитической, как и обратная обратимая аналитическая функция, чья производная нигде не ноль. (См. Также Теорема обращения Лагранжа.)
Любая аналитическая функция гладкий, т.е. бесконечно дифференцируемые. Обратное неверно для реальных функций; фактически, в определенном смысле, реальные аналитические функции разрежены по сравнению со всеми действительными бесконечно дифференцируемыми функциями. Для комплексных чисел верно обратное, и фактически любая дифференцируемая функция однажды на открытом множестве является аналитическим на этом множестве (см. «аналитичность и дифференцируемость» ниже).
Для любого открытый набор Ω ⊆C, набор А(Ω) всех аналитических функций ты : Ω →C это Fréchet space относительно равномерной сходимости на компактах. Тот факт, что равномерные пределы на компактах аналитических функций аналитичны, легко вытекает из Теорема Мореры. Набор ${ Displaystyle scriptstyle А _ { infty} ( Omega)}$ из всех ограниченный аналитические функции с верхняя норма это Банахово пространство.

Многочлен не может быть нулем в слишком большом количестве точек, если он не является нулевым многочленом (точнее, количество нулей не превышает степени многочлена). Аналогичное, но более слабое утверждение справедливо для аналитических функций. Если множество нулей аналитической функции имеет точка накопления внутри его домен, то всюду на связный компонент содержащая точку накопления. Другими словами, если (р_п) это последовательность различных чисел такие, что (р_п) = 0 для всех п и эта последовательность сходится в точку р в области D, то ƒ тождественно равно нулю на связной компоненте D содержащий р. Это известно как Принцип постоянства.

Кроме того, если все производные аналитической функции в точке равны нулю, функция постоянна на соответствующем компоненте связности.

Эти утверждения подразумевают, что, хотя аналитические функции имеют больше степени свободы чем многочлены, они все еще довольно жесткие.

Аналитичность и дифференцируемость

Как отмечалось выше, любая аналитическая функция (действительная или комплексная) бесконечно дифференцируема (также известна как гладкая или C^∞). (Обратите внимание, что эта дифференцируемость имеет место в смысле вещественных переменных; сравните комплексные производные ниже.) Существуют гладкие вещественные функции, которые не являются аналитическими: см. неаналитическая гладкая функция. На самом деле таких функций много.

Совершенно иная ситуация возникает при рассмотрении сложных аналитических функций и сложных производных. Можно доказать, что любая комплексная функция, дифференцируемая (в комплексном смысле) в открытом множестве, является аналитической. Следовательно, в комплексный анализ, период, термин аналитическая функция является синонимом голоморфная функция.

Реальные и сложные аналитические функции

Реальные и сложные аналитические функции имеют важные различия (это можно заметить даже по их разным отношениям с дифференцируемостью). Аналитичность сложных функций является более ограничивающим свойством, так как она имеет более строгие необходимые условия, а сложные аналитические функции имеют большую структуру, чем их аналоги в реальном масштабе времени.^[6]

В соответствии с Теорема Лиувилля, любая ограниченная комплексная аналитическая функция, определенная на всей комплексной плоскости, постоянна. Соответствующее утверждение для вещественных аналитических функций с заменой комплексной плоскости вещественной линией явно неверно; это иллюстрируется

{ displaystyle f (x) = { frac {1} {x ^ {2} +1}}.}

Кроме того, если комплексная аналитическая функция определена в открытом мяч вокруг точки Икс₀, расширение его степенного ряда на Икс₀ сходится во всем открытом шаре (голоморфные функции аналитичны ). Это утверждение для вещественных аналитических функций (открытый шар означает открытый интервал реальной линии, а не открытой диск комплексной плоскости) в общем случае неверно; функция из приведенного выше примера дает пример для Икс₀ = 0 и шар радиуса больше 1, поскольку степенной ряд 1 − Икс² + Икс⁴ − Икс⁶... расходится на |Икс| > 1.

Любая вещественная аналитическая функция на некотором открытый набор на вещественной прямой может быть расширен до комплексной аналитической функции на некотором открытом множестве комплексной плоскости. Однако не каждую вещественную аналитическую функцию, определенную на всей вещественной прямой, можно расширить до комплексной функции, определенной на всей комплексной плоскости. Функция ƒ (Икс), определенный в параграфе выше, является контрпримером, поскольку он не определен для Икс = ±я. Это объясняет, почему ряд Тейлора (Икс) расходится при |Икс| > 1, т.е. радиус схождения равно 1, потому что комплексная функция имеет столб на расстоянии 1 от оценочной точки 0 и никаких других полюсов в открытом диске радиуса 1 вокруг оценочной точки.

Аналитические функции нескольких переменных

Можно определить аналитические функции от нескольких переменных с помощью степенных рядов от этих переменных (см. степенной ряд ). Аналитические функции нескольких переменных обладают некоторыми из тех же свойств, что и аналитические функции одной переменной. Однако, особенно для сложных аналитических функций, новые и интересные явления проявляются в двух или более сложных измерениях:

Нулевые наборы сложных аналитических функций от более чем одной переменной никогда дискретный. Это может быть доказано Теорема Хартогса о продолжении.
Области голоморфности для однозначных функций состоят из произвольных (связных) открытых множеств. Однако в некоторых комплексных переменных только некоторые связанные открытые множества являются областями голоморфности. Характеристика областей голоморфности приводит к понятию псевдовыпуклость.

Смотрите также

Примечания

^ Из этого следует равномерное схождение а также в (возможно меньшей) окрестности ${ displaystyle x_ {0}}$ .

^ Черчилль; Коричневый; Верхей (1948). Комплексные переменные и приложения. Макгроу-Хилл. п.46. ISBN 0-07-010855-2. Функция ж комплексной переменной z является аналитический в точке z₀ если его производная существует не только при z но в каждой точке z в каком-то районе z₀. Это аналитично в регионе р если он аналитичен в каждой точке р. Период, термин голоморфный также используется в литературе для обозначения аналитичности
^ Стрихарц, Роберт С. (1994). Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье. Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 0-8493-8273-4. OCLC 28890674.
^ Кранц и парки 2002, п. 15.
^ Комацу, Хикосабуро (1960). «Характеристика реальных аналитических функций». Труды Японской академии. 36 (3): 90–93. Дои:10.3792 / pja / 1195524081. ISSN 0021-4280.
^ «Класс Жевре - Математическая энциклопедия». encyclopediaofmath.org. Получено 2020-08-30.
^ Кранц и парки 2002.

внешняя ссылка

[1] Из этого следует равномерное схождение а также в (возможно меньшей) окрестности ${ displaystyle x_ {0}}$ .

[2] Черчилль; Коричневый; Верхей (1948). Комплексные переменные и приложения. Макгроу-Хилл. п.46. ISBN 0-07-010855-2. Функция ж комплексной переменной z является аналитический в точке z₀ если его производная существует не только при z но в каждой точке z в каком-то районе z₀. Это аналитично в регионе р если он аналитичен в каждой точке р. Период, термин голоморфный также используется в литературе для обозначения аналитичности

[3] Стрихарц, Роберт С. (1994). Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье. Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 0-8493-8273-4. OCLC 28890674.

[FOOTNOTEKrantzParks200215-4] Кранц и парки 2002, п. 15.

[5] Комацу, Хикосабуро (1960). «Характеристика реальных аналитических функций». Труды Японской академии. 36 (3): 90–93. Дои:10.3792 / pja / 1195524081. ISSN 0021-4280.

[6] «Класс Жевре - Математическая энциклопедия». encyclopediaofmath.org. Получено 2020-08-30.

[FOOTNOTEKrantzParks2002-7] Кранц и парки 2002.

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]