Радиус схождения - Radius of convergence

В математика, то радиус схождения из степенной ряд это радиус наибольшего диск в которой серии сходится. Это либо неотрицательное действительное число, либо ${ displaystyle infty}$ . Когда он положительный, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно на компактах внутри открытого диска радиуса, равного радиусу схождения, и это Серия Тейлор из аналитическая функция к которому он сходится.

Определение

Для степенного ряда ƒ определяется как:

{ Displaystyle е (г) = сумма _ {п = 0} ^ { infty} с_ {п} (г-а) ^ {п},}

куда,

а это сложный константа, центр диск конвергенции,

c_п это п^th комплексный коэффициент, и

z - комплексная переменная.

Радиус схождения р неотрицательное действительное число или ${ displaystyle infty}$ такой, что ряд сходится, если

{ Displaystyle | г-а | <г ,}

и расходится, если

{ Displaystyle | г-а |> г. ,}

Некоторые могут предпочесть альтернативное определение, поскольку существование очевидно:

{ Displaystyle г = sup left {| za | left | sum _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} (za) ^ {n} { text {сходится} }верно-верно}}

На границе, то есть где |z − а| = р, поведение степенного ряда может быть сложным, и ряд может сходиться для некоторых значений z и расходятся для других. Радиус сходимости бесконечен, если ряд сходится при всех сложные числа z.^[1]

Нахождение радиуса сходимости

Возникают два случая. Первый случай теоретический: когда известны все коэффициенты ${ displaystyle c_ {n}}$ затем вы берете определенные пределы и находите точный радиус конвергенции. Второй случай является практическим: когда вы строите решение сложной задачи в виде степенного ряда, вы обычно будете знать только конечное число членов в степенном ряду, от пары до ста членов. Во втором случае экстраполяция графика позволяет оценить радиус сходимости.

Теоретический радиус

Радиус сходимости можно найти, применив корневой тест к условиям сериала. Корневой тест использует число

{ displaystyle C = limsup _ {n rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| c_ {n} (za) ^ {n} |}} = limsup _ {n rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} | za |}

"lim sup" означает предел высшего. Корневой тест утверждает, что ряд сходится, если C <1 и расходится, еслиC > 1. Отсюда следует, что степенной ряд сходится, если расстояние от z в центр а меньше чем

{ displaystyle r = { frac {1} { limsup _ {n rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}}}}

и расходится, если расстояние превышает это число; это заявление является Теорема Коши – Адамара. Обратите внимание, что р = 1/0 интерпретируется как бесконечный радиус, что означает, что ƒ является вся функция.

Предел, связанный с тест соотношения обычно легче вычислить, и когда этот предел существует, он показывает, что радиус сходимости конечен.

{ displaystyle r = lim _ {n rightarrow infty} left | { frac {c_ {n}} {c_ {n + 1}}} right |.}

Это показано следующим образом. Тест отношения говорит, что ряд сходится, если

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {| c_ {n + 1} (za) ^ {n + 1} |} {| c_ {n} (za) ^ {n} |} } <1.}

Это эквивалентно

{ displaystyle | za | <{ frac {1} { lim _ {n to infty} { frac {| c_ {n + 1} |} {| c_ {n} |}}}} = lim _ {n to infty} left | { frac {c_ {n}} {c_ {n + 1}}} right |.}

Практическая оценка радиуса в случае реальных коэффициентов

График Домба – Сайкса функции

{ displaystyle f ( varepsilon) = { frac { varepsilon (1+ varepsilon ^ {3})} { sqrt {1 + 2 varepsilon}}}.}

^[2] Слева (а) приведен прямой график отношения коэффициентов степенного ряда

{ displaystyle c_ {n-1} / c_ {n}}

как функция индекса

{ displaystyle n}

; справа, (b) - график Домба – Сайкса

{ displaystyle c_ {n} / c_ {n-1}}

как функция

{ displaystyle 1 / n}

. Сплошная зеленая линия - это прямая линия асимптота на графике Домба – Сайкса, который пересекает вертикальную ось в точке −2 и имеет наклон +1. Таким образом, имеется особенность при

{ Displaystyle varepsilon = -1 / 2}

так что радиус сходимости равен

{ displaystyle r = 1/2.}

Обычно в научных приложениях только конечное число коэффициентов ${ displaystyle c_ {n}}$ известны. Обычно^{[нечеткий ]} в качестве ${ displaystyle n}$ возрастает, эти коэффициенты принимают регулярное поведение, определяемое ближайшей сингулярностью, ограничивающей радиус. В этом случае были разработаны два основных метода, основанных на том факте, что коэффициенты ряда Тейлора примерно экспоненциальны с отношением ${ displaystyle 1 / r}$ где r - радиус сходимости.

Основной случай - это когда коэффициенты в конечном итоге имеют общий знак или чередуются по знаку. Как указывалось ранее в статье, во многих случаях предел ${ displaystyle lim _ {n to infty} {{c_ {n}} / {c_ {n-1}}}}$ существует, и в этом случае ${ displaystyle {1} / {r} = lim _ {n to infty} {{c_ {n}} / {c_ {n-1}}}.}$ Отрицательный ${ displaystyle r}$ означает, что сингулярность, ограничивающая сходимость, находится на отрицательной оси. Оцените этот предел, построив график ${ displaystyle c_ {n} / c_ {n-1}}$ против ${ displaystyle 1 / n}$ , и графически экстраполировать на ${ displaystyle 1 / n = 0}$ (эффективно ${ Displaystyle п = infty}$ ) посредством линейной подгонки. Перехват с ${ displaystyle 1 / n = 0}$ оценивает обратную величину радиуса сходимости, ${ displaystyle 1 / r}$ . Этот сюжет называется Заговор Домба – Сайкса.
Более сложный случай, когда знаки коэффициентов имеют более сложный узор. Мерсер и Робертс предложили следующую процедуру.^[3] Определите связанную последовательность

{ displaystyle b_ {n} ^ {2} = { frac {c_ {n + 1} c_ {n-1} -c_ {n} ^ {2}} {c_ {n} c_ {n-2} - c_ {n-1} ^ {2}}} quad n = 3,4,5, ldots.}

Постройте конечное число известных

{ displaystyle b_ {n}}

против

{ displaystyle 1 / n}

, и графически экстраполировать на

{ displaystyle 1 / n = 0}

через линейную посадку. Перехват с

{ displaystyle 1 / n = 0}

оценивает обратную величину радиуса сходимости,

{ displaystyle 1 / r}

.

Эта процедура также оценивает две другие характеристики особенности, предельной сходимости. Предположим, что ближайшая особенность имеет степень

{ displaystyle p}

и имеет угол

{ displaystyle pm theta}

к реальной оси. Тогда наклон приведенной выше линейной аппроксимации равен

{ Displaystyle - (п + 1) / г}

. Далее сюжет

{ displaystyle { frac {1} {2}} left ({ frac {c_ {n-1} b_ {n}} {c_ {n}}}} + { frac {c_ {n + 1}}) {c_ {n} b_ {n}}} right)}

против

{ Displaystyle 1 / п ^ {2}}

, то линейная аппроксимация экстраполирована на

{ displaystyle 1 / n ^ {2} = 0}

перехватил

{ displaystyle cos theta}

.

Радиус сходимости в комплексном анализе

Степенный ряд с положительным радиусом сходимости может быть преобразован в голоморфная функция приняв его аргумент как сложную переменную. Радиус сходимости можно охарактеризовать следующей теоремой:

Радиус сходимости степенного ряда ƒ сосредоточен на точке а равно расстоянию от а до ближайшей точки где ƒ не может быть определен таким образом, чтобы сделать его голоморфным.

Множество всех точек, расстояние до которых а строго меньше радиуса сходимости называется диск схождения.

График функций, описанных в тексте: приближения выделены синим цветом, круг сходимости - белым.

Ближайшая точка означает ближайшую точку в комплексная плоскость, не обязательно на реальной линии, даже если центр и все коэффициенты действительны. Например, функция

{ displaystyle f (z) = { frac {1} {1 + z ^ {2}}}}

не имеет особенностей на прямой, так как ${ displaystyle 1 + z ^ {2}}$ не имеет настоящих корней. Его ряд Тейлора около 0 определяется выражением

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} z ^ {2n}.}

Корневой тест показывает, что его радиус сходимости равен 1. В соответствии с этим функция ƒ(z) имеет особенности в ±я, которые находятся на расстоянии 1 от 0.

Для доказательства этой теоремы см. аналитичность голоморфных функций.

Простой пример

Функция арктангенса тригонометрия может быть расширен в степенной ряд:

{ displaystyle arctan (z) = z - { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ {5}} {5}} - { frac {z ^ {7} } {7}} + cdots.}

В этом случае легко применить корневой тест, чтобы найти, что радиус сходимости равен 1.

Более сложный пример

Рассмотрим этот степенной ряд:

{ displaystyle { frac {z} {e ^ {z} -1}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {B_ {n}} {n!}} z ^ { n}}

где рациональные числа B_п являются Числа Бернулли. Может оказаться обременительным попытаться применить тест отношения, чтобы найти радиус сходимости этого ряда. Но сформулированная выше теорема комплексного анализа быстро решает проблему. В z = 0, особенность фактически отсутствует, поскольку особенность устранима. Таким образом, единственные неизвлекаемые особенности расположены на Другой точки, где знаменатель равен нулю. Мы решаем

{ Displaystyle е ^ {z} -1 = 0 ,}

напоминая, что если z = Икс + иу и е^иу = cos (у) + я грех (у) тогда

{ Displaystyle е ^ {z} = е ^ {х} е ^ {iy} = е ^ {х} ( соз (у) + я грех (у)), ,}

а затем взять Икс и у быть реальным. С у действительно, абсолютное значение cos (у) + я грех (у) обязательно равно 1. Следовательно, абсолютное значение е^z может быть 1, только если е^Икс равно 1; поскольку Икс реально, это происходит, только если Икс = 0. Следовательно z чисто мнимое и cos (у) + я грех (у) = 1. Поскольку у реально, это происходит, только если cos (у) = 1 и sin (у) = 0, так что у целое число, кратное 2 $π$ . Следовательно, особые точки этой функции находятся в точках

z = ненулевое целое число, кратное 2

π

я.

Ближайшие к 0 особенности, являющиеся центром разложения в степенной ряд, находятся на уровне ± 2 $π$ я. Расстояние от центра до любой из этих точек равно 2 $π$ , поэтому радиус сходимости равен 2 $π$ .

Сходимость на границе

Если степенной ряд расширен вокруг точки а а радиус сходимости равен $р$ , то множество всех точек $z$ такой, что $| z - а | = р$ это круг называется граница диска схождения. Степенный ряд может расходиться в каждой точке границы или расходиться в одних точках и сходиться в других точках или сходиться во всех точках границы. Более того, даже если ряд сходится всюду на границе (даже равномерно), он не обязательно сходится абсолютно.

Пример 1: степенной ряд для функции $ƒ (z) = 1/(1 - z)$ , расширился вокруг $z = 0$ , что просто

{ Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} г ^ {п},}

имеет радиус сходимости 1 и расходится в каждой точке границы.

Пример 2: степенной ряд для $грамм (z) = -ln (1 - z)$ , расширился вокруг $z = 0$ , который

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}} z ^ {n},}

имеет радиус сходимости 1 и расходится при $z = 1$ но сходится для всех остальных точек на границе. Функция $ƒ (z)$ примера 1 - это производная из $грамм (z)$ .

Пример 3: степенной ряд

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}} z ^ {n}}

имеет радиус сходимости 1 и абсолютно сходится всюду на границе. Если $час$ - функция, представленная этим рядом на единичном круге, то производная от час(z) равно грамм(z)/z с грамм примера 2. Оказывается, что $час (z)$ это дилогарифм функция.

Пример 4: степенной ряд

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} a_ {i} z ^ {i} { text {where}} a_ {i} = { frac {(-1) ^ {n-1 }} {2 ^ {n} n}} { text {for}} n = lfloor log _ {2} (i) rfloor +1 { text {, уникальное целое число с}} 2 ^ {n -1} leq i <2 ^ {n},}

имеет радиус сходимости 1 и сходится равномерно на всей границе $| z | = 1$ , но не сходятся абсолютно на границе.^[4]

Скорость сходимости

Если мы расширим функцию

{ displaystyle f (x) = sin x = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ { 2n + 1} = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {5}} {5!}} - cdots { text {для всех}} x }

вокруг точки Икс = 0, получаем, что радиус сходимости этого ряда равен ${ Displaystyle scriptstyle infty}$ означает, что этот ряд сходится для всех комплексных чисел. Однако в приложениях часто интересует точность числовой ответ. И количество членов, и значение, по которому должна оцениваться серия, влияют на точность ответа. Например, если мы хотим вычислить $ж (0,1) = грех (0,1)$ с точностью до пяти десятичных знаков, нам нужны только первые два члена ряда. Однако, если нам нужна такая же точность для $Икс = 1$ мы должны оценить и суммировать первые пять членов ряда. За $ж (10)$ , требуются первые 18 членов ряда, а для $ж (100)$ нам нужно оценить первые 141 член.

Таким образом, для этих конкретных значений самая быстрая сходимость разложения степенного ряда находится в центре, а по мере удаления от центра сходимости скорость сходимости замедляется, пока вы не достигнете границы (если она существует) и не пересечете ее, и в этом случае серии будут расходиться.

Абсцисса сходимости ряда Дирихле.

Аналогичным понятием является абсцисса схождения Серия Дирихле

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} {a_ {n} over n ^ {s}}.}

Такой ряд сходится, если действительная часть s больше определенного числа в зависимости от коэффициентов а_п: the абсцисса конвергенции.

Примечания

^ Математический анализ-II. Кришна Пракашан СМИ. 16 ноября 2010 г.
^ См. Рисунок 8.1 в: Хинч, Э.Дж. (1991), Методы возмущений, Кембриджские тексты по прикладной математике, 6, Cambridge University Press, стр. 146, ISBN 0-521-37897-4
^ Mercer, G.N .; Робертс, А.Дж. (1990), "Описание центрального многообразия рассеивания загрязняющих веществ в каналах с различными свойствами потока", SIAM J. Appl. Математика., 50 (6): 1547–1565, Дои:10.1137/0150091
^ Серпинский, Вацлав (1918), "O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie", Праче Математика-физика, 29, стр. 263–266

внешняя ссылка

Что такое радиус конвергенции?

[1] Математический анализ-II. Кришна Пракашан СМИ. 16 ноября 2010 г.

[2] См. Рисунок 8.1 в: Хинч, Э.Дж. (1991), Методы возмущений, Кембриджские тексты по прикладной математике, 6, Cambridge University Press, стр. 146, ISBN 0-521-37897-4

[3] Mercer, G.N .; Робертс, А.Дж. (1990), "Описание центрального многообразия рассеивания загрязняющих веществ в каналах с различными свойствами потока", SIAM J. Appl. Математика., 50 (6): 1547–1565, Дои:10.1137/0150091

[4] Серпинский, Вацлав (1918), "O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie", Праче Математика-физика, 29, стр. 263–266

[1]

[2]

[3]

[4]