Сходящийся ряд - Википедия - Convergent series

В математика, а серии это сумма условий бесконечная последовательность номеров. Точнее, бесконечная последовательность ${ Displaystyle (а_ {0}, а_ {1}, а_ {2}, ldots)}$ определяет серии S что обозначено

${ displaystyle S = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + cdots = sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k}.}$

В пth частичная сумма S_п это сумма первых п условия последовательности; то есть,

${ displaystyle S_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}.}$

Серия сходящийся (или же сходится) если последовательность ${ Displaystyle (S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, точки)}$ его частичных сумм стремится к предел; это означает, что при добавлении одного ${ displaystyle a_ {k}}$ после другого в порядке, указанном индексами, получаются частичные суммы, которые становятся все ближе и ближе к заданному числу. Точнее, ряд сходится, если существует число ${ displaystyle ell}$ такое, что для любого сколь угодно малого положительного числа ${ displaystyle varepsilon}$, существует (достаточно большой) целое число ${ displaystyle N}$ такой, что для всех ${ Displaystyle п geq N}$,

${ displaystyle left | S_ {n} - ell right | < varepsilon.}$

Если ряд сходится, то (обязательно уникальное) число ${ displaystyle ell}$ называется сумма ряда.

То же обозначение

${ Displaystyle сумма _ {к = 1} ^ { infty} а_ {к}}$

используется для ряда и, если он сходится, для его суммы. Это соглашение аналогично тому, которое используется для добавления: а + б обозначает операция добавления а и б а также результат этого добавление, который называется сумма из а и б.

Любой несходящийся ряд называется расходящийся или расходиться.

Примеры сходящихся и расходящихся рядов

• Обратные положительные целые числа произвести расходящийся ряд (гармонический ряд ):

  ${ displaystyle {1 over 1} + {1 over 2} + {1 over 3} + {1 over 4} + {1 over 5} + {1 over 6} + cdots rightarrow infty.}$

• Изменение знаков обратных положительных целых чисел дает сходящийся ряд (переменный гармонический ряд ):

  ${ displaystyle {1 over 1} - {1 over 2} + {1 over 3} - {1 over 4} + {1 over 5} - cdots = ln (2)}$

• Взаимные простые числа произвести расходящийся ряд (так что набор простых чисел "большой "; видеть расхождение суммы обратных простых чисел ):

  ${ displaystyle {1 over 2} + {1 over 3} + {1 over 5} + {1 over 7} + {1 over 11} + {1 over 13} + cdots rightarrow infty.}$

• Взаимные треугольные числа произвести сходящийся ряд:

  ${ displaystyle {1 over 1} + {1 over 3} + {1 over 6} + {1 over 10} + {1 over 15} + {1 over 21} + cdots = 2. }$

• Взаимные факториалы производят сходящийся ряд (см. е ):

  ${ displaystyle { frac {1} {1}} + { frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {6}} + { frac {1} {24}} + { frac {1} {120}} + cdots = e.}$

• Взаимные квадратные числа производят сходящийся ряд ( Базельская проблема ):

  ${ displaystyle {1 over 1} + {1 over 4} + {1 over 9} + {1 over 16} + {1 over 25} + {1 over 36} + cdots = { pi ^ {2} over 6}.}$

• Взаимные степени 2 производят сходящийся ряд (так что набор степеней двойки равен "маленький "):

  ${ displaystyle {1 over 1} + {1 over 2} + {1 over 4} + {1 over 8} + {1 over 16} + {1 over 32} + cdots = 2. }$

• Взаимные степени любого n> 1 произвести сходящийся ряд:

  ${ displaystyle {1 over 1} + {1 over n} + {1 over n ^ {2}} + {1 over n ^ {3}} + {1 over n ^ {4}} + {1 over n ^ {5}} + cdots = {n over n-1}.}$

• Чередование знаков взаимности степени 2 также производит сходящийся ряд:

  ${ displaystyle {1 over 1} - {1 over 2} + {1 over 4} - {1 over 8} + {1 over 16} - {1 over 32} + cdots = {2 более 3}.}$

• Меняя знаки обратных степеней любого n> 1, получаем сходящийся ряд:

  ${ displaystyle {1 over 1} - {1 over n} + {1 over n ^ {2}} - {1 over n ^ {3}} + {1 over n ^ {4}} - {1 over n ^ {5}} + cdots = {n over n + 1}.}$

• Взаимные Числа Фибоначчи производят сходящийся ряд (см. ψ ):

  ${ displaystyle { frac {1} {1}} + { frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} + { frac {1} {8}} + cdots = psi.}$

Тесты сходимости

Существует несколько способов определить, сходится ли ряд или расходится.

Если синяя серия, ${ displaystyle Sigma b_ {n}}$, можно доказать, что они сходятся, то меньший ряд ${ displaystyle Sigma a_ {n}}$ должны сходиться. Напротив, если красная серия ${ displaystyle Sigma a_ {n}}$ доказано, что расходится, то ${ displaystyle Sigma b_ {n}}$ тоже должны расходиться.

Сравнительный тест. Условия последовательности ${ displaystyle left {a_ {n} right }}$ сравниваются с таковыми из другой последовательности ${ displaystyle left {b_ {n} right }}$. Если,

для всех п, ${ Displaystyle 0 Leq a_ {п} leq b_ {п}}$, и ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} b_ {п}}$ сходится, то так же ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}.}$

Однако если

для всех п, ${ Displaystyle 0 Leq b_ {п} leq a_ {п}}$, и ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} b_ {п}}$ расходится, значит, тоже ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}.}$

Соотношение тест. Предположим, что для всех п, ${ displaystyle a_ {n}}$ не равно нулю. Предположим, что существует ${ displaystyle r}$ такой, что

${ displaystyle lim _ {n to infty} left | { frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} right | = r.}$

Если р <1, то ряд абсолютно сходится. Если р > 1, затем ряд расходится. Если р = 1, тест отношения не дает результатов, и ряды могут сходиться или расходиться.

Корневой тест или же пкорень th. Предположим, что члены рассматриваемой последовательности равны неотрицательный. Определять р следующее:

${ displaystyle r = limsup _ {n rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

где "lim sup" обозначает предел высшего (возможно ∞; если предел существует, это то же значение).

Если р <1, то ряд сходится. Если р > 1, затем ряд расходится. Если р = 1, проверка корня неубедительна, и ряды могут сходиться или расходиться.

И тест соотношения, и тест корня основаны на сравнении с геометрическим рядом, и поэтому они работают в аналогичных ситуациях. Фактически, если тест соотношения работает (это означает, что предел существует и не равен 1), то также и корневой тест; обратное, однако, неверно. Таким образом, корневой тест применим более широко, но на практике предел часто бывает трудно вычислить для часто встречающихся типов рядов.

Интегральный тест. Ряд можно сравнить с интегралом, чтобы установить сходимость или расхождение. Позволять ${ displaystyle f (n) = a_ {n}}$ быть позитивным и монотонно убывающая функция. Если

${ displaystyle int _ {1} ^ { infty} е (х) , dx = lim _ {t to infty} int _ {1} ^ {t} f (x) , dx < infty,}$

тогда ряд сходится. Но если интеграл расходится, то расходится и ряд.

Предел сравнительного теста. Если ${ displaystyle left {a_ {n} right }, left {b_ {n} right }> 0}$, а предел ${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}$ существует и не равно нулю, то ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$ сходится если и только если ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} b_ {п}}$ сходится.

Испытание чередующейся серии. Также известен как Критерий Лейбница, то испытание с переменной последовательностью заявляет, что для чередующийся ряд формы ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} (- 1) ^ {n}}$, если ${ displaystyle left {a_ {n} right }}$ монотонно уменьшение, и имеет предел 0 на бесконечности, то ряд сходится.

Тест конденсации Коши. Если ${ displaystyle left {a_ {n} right }}$ - положительная монотонно убывающая последовательность, то${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$ сходится тогда и только тогда, когда ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} 2 ^ {k} a_ {2 ^ {k}}}$ сходится.

Тест Дирихле

Тест Авеля

Условная и абсолютная сходимость

Иллюстрация абсолютной сходимости степенного ряда Exp [z] около 0 оценивается в z = Exp [^я⁄₃]. Длина линии конечна.

Иллюстрация условной сходимости степенного ряда log (z+1) около 0 оценивается в z = exp ((π−¹⁄₃)я). Длина линии бесконечна.

Для любой последовательности ${ Displaystyle left {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, dots right }}$, ${ Displaystyle a_ {n} leq left | a_ {n} right vert}$ для всех п. Следовательно,

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} leq sum _ {n = 1} ^ { infty} left | a_ {n} right vert.}$

Это означает, что если ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left | a_ {n} right vert}$ сходится, то ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$ тоже сходится (но не наоборот).

Если сериал ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left | a_ {n} right vert}$ сходится, то ряд ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$ является абсолютно сходящийся. Абсолютно сходящаяся последовательность - это линия, в которой длина линии, созданной путем объединения всех приращений в частичную сумму, конечна. Силовой ряд экспоненциальная функция абсолютно везде сходится.

Если сериал ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$ сходится, но ряд ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left | a_ {n} right vert}$ расходится, то серия ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$ является условно сходящийся. Путь, образованный соединением частичных сумм условно сходящегося ряда, бесконечно велик. Силовой ряд логарифм условно сходится.

В Теорема рядов Римана утверждает, что если ряд сходится условно, можно переставить члены ряда таким образом, чтобы ряд сходился к любому значению или даже расходился.

Равномерная сходимость

Позволять ${ displaystyle left {f_ {1}, f_ {2}, f_ {3}, dots right }}$ - последовательность функций. Сериал ${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} е_ {п}}$ называется равномерно сходящейся к жесли последовательность ${ displaystyle {s_ {n} }}$ частичных сумм, определяемых

${ displaystyle s_ {n} (x) = sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (x)}$

равномерно сходится к ж.

Существует аналог теста сравнения для бесконечного ряда функций, называемый М-тест Вейерштрасса.

Критерий сходимости Коши

В Критерий сходимости Коши заявляет, что серия

${ Displaystyle сумма _ {п = 1} ^ { infty} а_ {п}}$

сходится если и только если последовательность частичные суммы это Последовательность Коши Это означает, что для каждого ${ displaystyle varepsilon> 0,}$ есть положительное целое число ${ displaystyle N}$ такой, что для всех ${ Displaystyle п geq м geq N}$ у нас есть

${ displaystyle left | sum _ {k = m} ^ {n} a_ {k} right | < varepsilon,}$

что эквивалентно

${ displaystyle lim _ {n to infty attop m to infty} sum _ {k = n} ^ {n + m} a_ {k} = 0.}$

Смотрите также

• Нормальная конвергенция
• Список математических рядов

внешняя ссылка

• "Серии", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик (2005). Теорема о рядах Римана.. Проверено 16 мая 2005 года.