Геометрическая прогрессия - Geometric progression

Схема, иллюстрирующая три основные геометрические последовательности узора 1 (р^п−1) глубиной до 6 итераций. Первый блок - это единичный блок, а пунктирная линия представляет бесконечная сумма последовательности, число, к которому он будет всегда приближаться, но никогда не касаться: 2, 3/2 и 4/3 соответственно.

В математика, а геометрическая прогрессия, также известный как геометрическая последовательность, это последовательность из числа где каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное, не единичное число, называемое обычное отношение. Например, последовательность 2, 6, 18, 54, ... представляет собой геометрическую прогрессию с обычным отношением 3. Точно так же 10, 5, 2,5, 1,25, ... геометрическая последовательность с обычным отношением 1/2.

Примеры геометрической последовательности: полномочия р^k фиксированного числа р, Такие как 2^k и 3^k. Общий вид геометрической последовательности:

{displaystyle a, ar, ar ^ {2}, ar ^ {3}, ar ^ {4}, ldots}

куда р ≠ 1 - обычное отношение и а это масштаб, равное начальному значению последовательности.

Элементарные свойства

В п-й член геометрической последовательности с начальным значением а = а₁ и обычное отношение р дан кем-то

{displaystyle a_ {n} = a, r ^ {n-1}.}

Такая геометрическая последовательность также следует рекурсивное отношение

{displaystyle a_ {n} = r, a_ {n-1}}

для каждого целого числа

{displaystyle ngeq 1.}

Как правило, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные записи в последовательности имеют одинаковое соотношение.

Обычное отношение геометрической последовательности может быть отрицательным, что приводит к чередованию последовательности с чередующимися числами между положительными и отрицательными. Например

1, −3, 9, −27, 81, −243, ...

представляет собой геометрическую последовательность с общим отношением −3.

Поведение геометрической последовательности зависит от значения общего отношения.
Если общее соотношение:

положительный, все термины будут того же знака, что и первоначальный член.
отрицательный, термины будут чередоваться между положительными и отрицательными.
больше 1, будет экспоненциальный рост к положительная или отрицательная бесконечность (в зависимости от знака первоначального срока).
1 прогрессия постоянный последовательность.
между -1 и 1, но не ноль, будет экспоненциальный спад к нулю (→ 0).
−1, абсолютное значение каждого члена в последовательности постоянно, а члены меняют знак.
меньше -1, для абсолютных значений наблюдается экспоненциальный рост в сторону (беззнаковый) бесконечность, из-за переменного знака.

Геометрические последовательности (с общим отношением, не равным -1, 1 или 0) показывают экспоненциальный рост или экспоненциальный спад, в отличие от линейный рост (или упадок) арифметическая прогрессия например 4, 15, 26, 37, 48,… (с общим разница 11). Этот результат получил T.R. Мальтус как математическую основу его Принцип населенияОбратите внимание, что два вида прогрессии связаны: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а возведение в степень логарифм каждого члена в геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.

Интересным результатом определения геометрической прогрессии является то, что любые три последовательных члена а, б и c будет удовлетворять следующему уравнению:

{displaystyle b ^ {2} = ac}

куда б считается среднее геометрическое между а и c.

Геометрическая серия

	2	+	10	+	50	+	250			=	312
− (			10	+	50	+	250	+	1250	=	5 × 312 )

	2							−	1250	=	(1 − 5) × 312

Вычисление суммы 2 + 10 + 50 + 250. Последовательность поэтапно умножается на 5, а затем вычитается из исходной последовательности. Осталось два срока: первый срок, а, и термин один после последнего, или ар^м. Желаемый результат 312 находится путем вычитания этих двух членов и деления на 1–5.

А геометрическая серия это сумма чисел в геометрической прогрессии. Например:

{displaystyle 2 + 10 + 50 + 250 = 2 + 2 imes 5 + 2 imes 5 ^ {2} +2 imes 5 ^ {3}.}

Сдача а - первый член (здесь 2), n - количество членов (здесь 4), и р быть константой, на которую умножается каждый член, чтобы получить следующий член (здесь 5), сумма определяется как:

{displaystyle {frac {a (1-r ^ {n})} {1-r}}}

В приведенном выше примере это дает:

{displaystyle 2 + 10 + 50 + 250 = {frac {2 (1-5 ^ {4})} {1-5}} = {frac {-1248} {- 4}} = 312.}

Формула работает для любых действительных чисел а и р (Кроме р = 1, что приводит к делению на ноль). Например:

{displaystyle -2pi + 4pi ^ {2} -8pi ^ {3} = - 2pi + (- 2pi) ^ {2} + (- 2pi) ^ {3} = {frac {-2pi (1 - (- 2pi) ^ {3})} {1 - (- 2pi)}} = {frac {-2pi (1 + 2pi ^ {3})} {1 + 2pi}} приблизительно -54,360768.}

Поскольку вывод (ниже) не зависит от а и р будучи реальным, это верно и для комплексных чисел.

Вывод

Чтобы вывести эту формулу, сначала напишите общий геометрический ряд как:

{displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} ar ^ {k-1} = ar ^ {0} + ar ^ {1} + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ { п-1}.}

Мы можем найти более простую формулу для этой суммы, умножив обе части приведенного выше уравнения на 1 - р, и мы увидим это

{displaystyle {egin {align} (1-r) sum _ {k = 1} ^ {n} ar ^ {k-1} & = (1-r) (ar ^ {0} + ar ^ {1} + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ {n-1}) & = ar ^ {0} + ar ^ {1} + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ {n-1} -ar ^ {1} -ar ^ {2} -ar ^ {3} -cdots -ar ^ {n-1} -ar ^ {n} & = a-ar ^ { n} конец {выровнен}}}

так как все остальные условия отменяются. Если р ≠ 1, мы можем изменить приведенное выше, чтобы получить удобную формулу для геометрического ряда, который вычисляет сумму n членов:

{displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} ar ^ {k-1} = {frac {a (1-r ^ {n})} {1-r}}.}

Связанные формулы

Если бы можно было начать сумму не с k = 1, а с другого значения, скажем м, тогда

{displaystyle sum _ {k = m} ^ {n} ar ^ {k} = {frac {a (r ^ {m} -r ^ {n + 1})} {1-r}},}

при условии ${displaystyle req 1}$ . Если ${displaystyle r = 1}$ тогда сумма равна постоянной ${displaystyle a}$ и так равно ${displaystyle a (n-m + 1)}$ .

Дифференцировать эта формула относительно р позволяет прийти к формулам для сумм вида

{displaystyle G_ {s} (n, r): = sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {s} r ^ {k}.}

Например:

{displaystyle {frac {d} {dr}} sum _ {k = 0} ^ {n} r ^ {k} = sum _ {k = 1} ^ {n} kr ^ {k-1} = {frac { 1-r ^ {n + 1}} {(1-r) ^ {2}}} - {гидроразрыв {(n + 1) r ^ {n}} {1-r}}.}

Для геометрического ряда, содержащего только четные степени р умножить на 1 - р² :

{displaystyle (1-r ^ {2}) sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k} = a-ar ^ {2n + 2}.}

потом

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k} = {frac {a (1-r ^ {2n + 2})} {1-r ^ {2}}}.}

Аналогично, возьмитер² в качестве общего отношения и используйте стандартную формулировку.

Для серии только с нечетными степенями р

{displaystyle (1-r ^ {2}) sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k + 1} = ar-ar ^ {2n + 3}}

и

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {2k + 1} = {frac {ar (1-r ^ {2n + 2})} {1-r ^ {2}}}.}.}

Точная формула для обобщенной суммы ${displaystyle G_ {s} (n, r)}$ когда ${displaystyle sin mathbb {N}}$ расширяется Числа Стирлинга второго рода в качестве ^[1]

{displaystyle G_ {s} (n, r) = sum _ {j = 0} ^ {s} leftlbrace {s atop j} ightbrace x ^ {j} {frac {d ^ {j}} {dx ^ {j} }} left [{frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}} ight].}

Бесконечный геометрический ряд

An бесконечный геометрический ряд является бесконечная серия чьи последовательные члены имеют общее отношение. Такой ряд сходится если и только если в абсолютная величина общего отношения меньше единицы (|р| <1). Его значение затем может быть вычислено по формуле конечной суммы

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} ar ^ {k} = lim _ {n o infty} {sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {k}} = lim _ {n o infty} {frac {a (1-r ^ {n + 1})} {1-r}} = {frac {a} {1-r}} - lim _ {n o infty} {frac {ar ^ { n + 1}} {1-r}}}

Анимация, показывающая сходимость частичных сумм геометрической прогрессии

{ограничения суммы в displaystyle _ {k = 0} ^ {n} q ^ {k}}

(красная линия) к его сумме

{displaystyle {1 over 1-q}}

(синяя линия) для

{displaystyle | q | <1}

.

Диаграмма, показывающая геометрический ряд 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯, который сходится к 2.

С:

{displaystyle r ^ {n + 1} o 0 {mbox {as}} n o infty {mbox {when}} | r | <1.}

Потом:

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} ar ^ {k} = {frac {a} {1-r}} - 0 = {frac {a} {1-r}}}

Для серии, содержащей только четные степени ${displaystyle r}$ ,

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} ar ^ {2k} = {frac {a} {1-r ^ {2}}}}

и только для нечетных полномочий,

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} ar ^ {2k + 1} = {frac {ar} {1-r ^ {2}}}}

В случаях, когда сумма не начинается с k = 0,

{displaystyle sum _ {k = m} ^ {infty} ar ^ {k} = {frac {ar ^ {m}} {1-r}}}

Приведенные выше формулы действительны только для |р| <1. Последняя формула верна в любом Банахова алгебра, пока норма р меньше единицы, а также в области п-адические числа если |р|_п <1. Как и в случае с конечной суммой, мы можем дифференцировать, чтобы вычислить формулы для связанных сумм. Например,

{displaystyle {frac {d} {dr}} sum _ {k = 0} ^ {infty} r ^ {k} = sum _ {k = 1} ^ {infty} kr ^ {k-1} = {frac { 1} {(1-r) ^ {2}}}}

Эта формула работает только для |р| <1. Отсюда следует, что при |р| < 1,

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} kr ^ {k} = {frac {r} {left (1-right) ^ {2}}},;, sum _ {k = 0} ^ {infty } k ^ {2} r ^ {k} = {frac {rleft (1 + right)} {left (1-right) ^ {3}}},;, sum _ {k = 0} ^ {infty} k ^ {3} r ^ {k} = {frac {rleft (1 + 4r + r ^ {2} ight)} {left (1-right) ^ {4}}}}

Также бесконечная серия 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ является простейшим примером серии, сходится абсолютно.

Это геометрическая серия первый член которого равен 1/2, а общее отношение равно 1/2, поэтому его сумма равна

{displaystyle {frac {1} {2}} + {frac {1} {4}} + {frac {1} {8}} + {frac {1} {16}} + cdots = {frac {1/2 } {1 - (+ 1/2)}} = 1.}

Обратный к вышеуказанному ряду является 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ это простой пример чередующийся ряд что абсолютно сходится.

Это геометрическая серия первый член которого равен 1/2, а общее отношение равно -1/2, поэтому его сумма равна

{displaystyle {frac {1} {2}} - {frac {1} {4}} + {frac {1} {8}} - {frac {1} {16}} + cdots = {frac {1/2 } {1 - (- 1/2)}} = {гидроразрыв {1} {3}}.}

Сложные числа

Формула суммирования для геометрических рядов остается в силе, даже если обычное отношение равно комплексное число. В этом случае условие, что абсолютное значение р меньше 1 становится, что модуль из р быть меньше 1. Можно вычислить суммы некоторых неочевидных геометрических рядов. Например, рассмотрим предложение

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {sin (kx)} {r ^ {k}}} = {frac {rsin (x)} {1 + r ^ {2} -2rcos (x )}}}

Доказательство этого исходит из того факта, что

{displaystyle sin (kx) = {frac {e ^ {ikx} -e ^ {- ikx}} {2i}},}

что является следствием Формула Эйлера. Подстановка этого в исходную серию дает

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {sin (kx)} {r ^ {k}}} = {frac {1} {2i}} left [sum _ {k = 0} ^ { infty} left ({frac {e ^ {ix}} {r}} ight) ^ {k} -sum _ {k = 0} ^ {infty} left ({frac {e ^ {- ix}} {r} } ight) ^ {k} ight]}

.

В этом разница двух геометрических рядов, поэтому доказательство завершается прямым применением формулы для бесконечных геометрических рядов.

Товар

Результатом геометрической прогрессии является произведение всех терминов. Его можно быстро вычислить, взяв среднее геометрическое первого и последнего отдельных членов прогрессии и возведения этого значения в степень, заданную числом членов. (Это очень похоже на формулу для суммы членов арифметическая последовательность: возьми среднее арифметическое первого и последнего отдельных членов и умножьте на количество членов.)

Поскольку среднее геометрическое двух чисел равно квадратному корню из их произведения, произведение геометрической прогрессии равно:

{displaystyle prod _ {i = 0} ^ {n} ar ^ {i} = ({sqrt {acdot ar ^ {n}}}) ^ {n + 1} = ({sqrt {a ^ {2} r ^ {n}}}) ^ {n + 1}}

.

(Интересный аспект этой формулы состоит в том, что, хотя она включает извлечение квадратного корня из потенциально нечетной степени потенциально отрицательной $р$ , он не может дать сложный результат, если ни $а$ ни $р$ имеет мнимую часть. Возможно, следует $р$ быть отрицательным и $п$ быть нечетным, чтобы извлечь квадратный корень из отрицательного промежуточного результата, в результате чего последующий промежуточный результат будет мнимым числом. Однако образованный таким образом воображаемый промежуточный продукт вскоре будет возведен в степень ${displaystyle extstyle n + 1}$ , которое должно быть четным числом, потому что $п$ само по себе было странно; таким образом, окончательный результат вычисления может быть вероятным нечетным числом, но никогда не может быть мнимым.)

Доказательство

Позволять $п$ представляют продукт. По определению, его вычисляют путем явного умножения каждого отдельного члена вместе. Написано полностью,

{displaystyle P = acdot arcdot ar ^ {2} cdots ar ^ {n-1} cdot ar ^ {n}}

.

Производя умножения и собирая подобные термины,

{displaystyle P = a ^ {n + 1} r ^ {1 + 2 + 3 + cdots + (n-1) + n}}

.

Показатель $р$ это сумма арифметической последовательности. Подставляя формулу для этого расчета,

{displaystyle P = a ^ {n + 1} r ^ {гидроразрыв {n (n + 1)} {2}}}

,

что позволяет упростить выражение до

{displaystyle P = (ar ^ {frac {n} {2}}) ^ {n + 1} = (a {sqrt {r ^ {n}}}) ^ {n + 1}}

.

Перезапись $а$ в качестве ${displaystyle extstyle {sqrt {a ^ {2}}}}$ ,

{displaystyle P = ({sqrt {a ^ {2} r ^ {n}}}) ^ {n + 1}}

,

что завершает доказательство.

История

Глиняная табличка из Ранний династический период в Месопотамии, MS 3047, содержит геометрическую прогрессию с основанием 3 и множителем 1/2. Было предложено быть Шумерский, из города Шуруппак. Это единственное известное свидетельство геометрической прогрессии до времен Вавилонская математика.^[2]

Книги VIII и IX из Евклид с Элементы анализирует геометрические прогрессии (например, силы двух подробности см. в статье) и приведите несколько их свойств.^[3]

Смотрите также

Арифметическая прогрессия - Последовательность чисел с постоянной разницей между последовательными числами
Арифметико-геометрическая последовательность
Линейное разностное уравнение
Экспоненциальная функция - Класс математических функций
Гармоническая прогрессия
Гармонический ряд - Бесконечная серия обратных положительных целых чисел
Бесконечная серия - Бесконечная сумма
Предпочтительный номер - Стандартные рекомендации по выбору точных размеров продукта в рамках заданного набора ограничений.
Томас Роберт Мальтус - британский политический экономист
Геометрическое распределение

внешняя ссылка

[1] «Установить перегородки: числа Стирлинга». Электронная библиотека математических функций. Получено 24 мая 2018.

[2] Фриберг, Йоран (2007). "MS 3047: Текст старой шумерской метроматематической таблицы". Во Фриберге, Йоран (ред.). Замечательная коллекция вавилонских математических текстов. Источники и исследования по истории математики и физических наук. Нью-Йорк: Спрингер. С. 150–153. Дои:10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN 978-0-387-34543-7. МИСТЕР 2333050.

[3] Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг стихий Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: издательство Кембриджского университета, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.

[1]

[2]

[3]