Число - Number

Подмножества из сложные числа

А номер это математический объект привыкший считать, мера, и метка. Оригинальными примерами являются натуральные числа 1, 2, 3, 4, и так далее.^[1] Числа могут быть представлены на языке с число слов. В более широком смысле отдельные числа могут быть представлены как символы, называется цифры; например, «5» - это цифра, которая представляет номер пять. Поскольку можно запомнить только относительно небольшое количество символов, основные цифры обычно организованы в виде система счисления, который представляет собой организованный способ представления любого числа. Самая распространенная система счисления - это Индусско-арабская система счисления, который позволяет представить любое число с помощью комбинации из десяти основных числовых символов, называемых цифры.^[2][3] В дополнение к их использованию при подсчете и измерении, цифры часто используются для этикеток (как с телефонные номера ), для заказа (как с серийные номера ), а также для кодов (как с ISBN ). В обычном использовании цифра четко не отличается от номер что он представляет.

В математика, понятие числа расширилось на протяжении веков, чтобы включить 0,^[4] отрицательные числа,^[5] рациональное число Такие как 1/2 и −2/3, действительные числа^[6] Такие как √2 и π, и сложные числа^[7] которые расширяют действительные числа с помощью квадратный корень из −1 (и его комбинации с действительными числами путем добавления или вычитания его кратных).^[5] Расчеты с числами сделано с арифметические операции, самое знакомое существо добавление, вычитание, умножение, разделение, и возведение в степень. Их изучение или использование называется арифметика, термин, который также может относиться к теория чисел, изучение свойств чисел.

Помимо практического использования, числа имеют культурное значение во всем мире.^[8][9] Например, в западном обществе номер 13 часто рассматривается как несчастливый, и "миллион "может означать" много ", а не точное количество.^[8] Хотя сейчас это считается лженаука, вера в мистическое значение чисел, известное как нумерология, проникнутые античной и средневековой мыслью.^[10] Нумерология сильно повлияла на развитие Греческая математика, стимулируя исследование многих проблем теории чисел, актуальных и сегодня.^[10]

В течение XIX века математики начали разрабатывать множество различных абстракций, которые разделяют определенные свойства чисел и могут рассматриваться как расширение концепции. Среди первых были гиперкомплексные числа, которые состоят из различных расширений или модификаций комплексное число система. В современной математике системы счисления (наборы ) считаются важными частными примерами более общих категорий, таких как кольца и поля, а применение термина «число» - дело условности, не имеющее фундаментального значения.^[11]

История

В этом разделе фактическая точность оспаривается. Соответствующее обсуждение можно найти на Обсуждение: Номер. Пожалуйста, помогите убедиться, что оспариваемые утверждения надежный источник. (Ноябрь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Цифры

Цифры следует отличать от цифры, символы, используемые для представления чисел. Египтяне изобрели первую зашифрованную систему счисления, а затем греки перенесли свои счетные числа на ионический и дорический алфавиты.^[12] Римские цифры, система, в которой использовались комбинации букв латинского алфавита, оставались доминирующими в Европе, пока не распространились высшие Индусско-арабская система счисления примерно в конце 14 века, и сегодня индуистско-арабская система счисления остается самой распространенной системой представления чисел в мире.^[13] Ключом к эффективности системы был символ нуль, который был разработан древними Индийские математики около 500 г. н.э.^[13]

Первое использование чисел

Были обнаружены кости и другие артефакты с вырезанными на них отметинами, которые, по мнению многих, отметки.^[14] Эти подсчетные метки могли использоваться для подсчета прошедшего времени, например количества дней, лунных циклов или ведения записей количеств, например, животных.

В системе подсчета нет понятия числовой стоимости (как в современной десятичный обозначение), что ограничивает его представление больших чисел. Тем не менее системы подсчета считаются первым видом абстрактной системы счисления.

Первой известной системой с числовой стоимостью была Месопотамская база 60 система (c. 3400 г. до н.э.), а самая ранняя известная система с основанием 10 датируется 3100 г. до н.э. Египет.^[15]

Нуль

Первое известное задокументированное использование нуль датируется 628 годом нашей эры и появился в Брахмаспхунасиддханта, основная работа Индийский математик Брахмагупта. Он рассматривал 0 как число и обсуждал операции с ним, включая разделение. К этому времени (VII век) концепция явно достигла Камбоджи как Кхмерские цифры, и документация показывает, что идея позже распространилась на Китай и Исламский мир.

Число 605 в Кхмерские цифры, из надписи 683 г. н.э. Раннее использование нуля в качестве десятичного числа.

Брахмагупты Брахмаспхунасиддханта - первая книга, в которой ноль упоминается как число, поэтому Брахмагупта обычно считается первым, кто сформулировал концепцию нуля. Он привел правила использования нуля с отрицательными и положительными числами, например «ноль плюс положительное число - положительное число, а отрицательное число плюс ноль - отрицательное число». В Брахмаспхунасиддханта - это самый ранний известный текст, в котором ноль трактуется как само по себе число, а не просто цифра-заполнитель для представления другого числа, как это делали вавилоняне, или как символ отсутствия количества, как это делали Птолемей и римляне. .

Использование 0 в качестве числа следует отличать от его использования в качестве числового заполнителя в системы счисления. Многие древние тексты использовали 0. Вавилонские и египетские тексты использовали его. Египтяне использовали слово нфр для обозначения нулевого баланса в двойная бухгалтерия. Индийские тексты использовали санскрит слово Шунье или же шунья относиться к концепции пустота. В текстах по математике это слово часто относится к числу ноль.^[16] В том же духе, Панини (V век до нашей эры) использовали нулевой (ноль) оператор в Аштадхьяи, ранний пример алгебраическая грамматика для санскрита (см. также Пингала ).

Есть и другие варианты использования нуля перед Брахмагуптой, хотя документация не так полна, как в Брахмаспхунасиддханта.

Записи показывают, что Древние греки казались неуверенными в статусе 0 как числа: они спрашивали себя: «как« ничто »может быть чем-то?» ведущий к интересным философский и, к средневековому периоду, религиозные аргументы о природе и существовании 0 и вакуум. В парадоксы из Зенон Элейский частично зависят от неопределенной интерпретации 0. (Древние греки даже сомневались в том, что1 был числом.)

Опоздание Ольмек люди южного и центрального Мексика стали использовать символ нуля, ракушки глиф, в Новом Свете, возможно, 4 век до н.э. но, безусловно, к 40 г. до н.э., который стал неотъемлемой частью Цифры майя и Календарь майя. В арифметике майя используется основание 4 и основание 5, записанное как основание 20. Джордж И. Санчес в 1961 г. сообщалось о счетах с основанием 4 и основанием 5 «пальцами».^{[17][нужен лучший источник ]}

К 130 году нашей эры Птолемей, под влиянием Гиппарх и вавилоняне использовали символ 0 (маленький кружок с длинной чертой над чертой) внутри шестидесятеричный цифровая система, в противном случае используется буквенная Греческие цифры. Поскольку он использовался отдельно, а не просто как заполнитель, этот Эллинистический ноль был первым задокументированный использование настоящего нуля в Старом Свете. Позже византийский рукописи его Синтаксис Mathematica (Альмагест) эллинистический ноль трансформировался в Греческая буква Омикрон (иначе означает 70).

Еще один настоящий ноль использовался в таблицах рядом с римские цифры на 525 (первое известное использование Дионисий Exiguus ), но как слово, nulla смысл ничего, а не как символ. Когда деление дает 0 в качестве остатка, нигил, также означает ничего, использовался. Эти средневековые нули использовались всеми будущими средневековыми вычислители (калькуляторы Пасхальный ). Изолированное использование их начального, N, было использовано в таблице римских цифр Беда или коллега около 725, истинный нулевой символ.

Отрицательные числа

Абстрактное понятие отрицательных чисел было признано еще в 100–50 годах до нашей эры в Китае. Девять глав математического искусства содержит методы нахождения площадей фигур; красные стержни использовались для обозначения положительного коэффициенты, черный для негатива.^[18] Первое упоминание в западной работе относится к III веку нашей эры в Греция. Диофант относится к уравнению, эквивалентному 4Икс + 20 = 0 (решение отрицательное) в Арифметика, сказав, что уравнение дало абсурдный результат.

В 600-х отрицательные числа использовались в Индия представлять долги. Предыдущая ссылка Диофанта более подробно обсуждалась индийским математиком. Брахмагупта, в Брахмаспхунасиддханта в 628 году, который использовал отрицательные числа для получения общей формы квадратичная формула это остается в использовании сегодня. Однако в XII веке в Индии Бхаскара дает отрицательные корни для квадратных уравнений, но говорит, что отрицательное значение «в этом случае не следует принимать, так как оно неадекватно; люди не одобряют отрицательные корни».

Европейский математики, по большей части, сопротивлялись концепции отрицательных чисел до 17 века, хотя Фибоначчи допускали негативные решения финансовых проблем, которые могли быть истолкованы как долги (глава 13 Liber Abaci, 1202) и позже как убытки (в Flos). В то же время китайцы указывали отрицательные числа, проводя диагональной чертой через крайнюю правую ненулевую цифру соответствующего положительного числа.^[19] Первое использование отрицательных чисел в европейской работе было Николя Шуке в течение 15 века. Он использовал их как экспоненты, но назвал их «абсурдными числами».

Еще в XVIII веке было обычной практикой игнорировать любые отрицательные результаты, возвращаемые уравнениями, исходя из предположения, что они бессмысленны, так же как Рене Декарт сделал с отрицательными решениями в Декартова система координат.

Рациональное число

Вполне вероятно, что концепция дробных чисел восходит к доисторические времена. В Древние египтяне использовали свои Египетская фракция обозначение рациональных чисел в математических текстах, таких как Математический папирус Райнда и Кахун Папирус. Классические греческие и индийские математики изучали теорию рациональных чисел как часть общего исследования теория чисел.^{[нужна цитата ]} Самым известным из них является Евклида Элементы, датируемый примерно 300 г. до н. э. Из индийских текстов наиболее актуальным является Стхананга Сутра, который также охватывает теорию чисел как часть общего изучения математики.

Концепция чего-либо десятичные дроби тесно связано с десятичной записью разрядов; эти два, кажется, развивались в тандеме. Например, для джайнской математики характерно сутра включить вычисления десятичных приближений к число Пи или квадратный корень из 2.^{[нужна цитата ]} Точно так же в вавилонских математических текстах очень часто используются шестидесятеричные (основание 60) дроби.

Иррациональные числа

Самое раннее известное использование иррациональных чисел было в Индийский Сульба Сутры составлен между 800 и 500 годами до нашей эры.^{[20][нужен лучший источник ]} Первые доказательства существования иррациональных чисел обычно приписываются Пифагор, а точнее Пифагорейский Гиппас из Метапонта, который дал (скорее всего геометрическое) доказательство иррациональности квадратный корень из 2. История гласит, что Гиппас обнаружил иррациональные числа, пытаясь представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не мог согласиться с существованием иррациональных чисел. Он не мог опровергнуть их существование с помощью логики, но он не мог принять иррациональные числа, и поэтому, как утверждается и часто сообщалось, он приговорил Гиппаса к смерти через утопление, чтобы воспрепятствовать распространению этой смущающей новости.^{[21][нужен лучший источник ]}

16 век принес окончательное признание европейцами отрицательный интегральные и дробный числа. К 17 веку математики обычно использовали десятичные дроби в современных обозначениях. Однако только в XIX веке математики разделили иррациональное на алгебраическую и трансцендентальную части и снова занялись научным исследованием иррациональности. Он оставался почти бездействующим с тех пор, как Евклид. В 1872 г. публикация теории Карл Вейерштрасс (его ученик Э. Коссак), Эдуард Гейне,^[22] Георг Кантор,^[23] и Ричард Дедекинд^[24] был осуществлен. В 1869 г. Шарль Мере взял ту же отправную точку, что и Гейне, но теория обычно относится к 1872 году. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинчерле (1880), а работа Дедекинда получила дополнительную известность благодаря более поздней работе автора (1888) и одобрению Пол Таннери (1894 г.). Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывают свои теории на бесконечных рядах, в то время как Дедекинд основывает свои теории на идее вырезать (Шнитт) в системе действительные числа, разделяя все рациональное число на две группы, обладающие определенными характерными свойствами. Этот предмет получил более поздние работы от Вейерштрасса, Кронекер,^[25] и Мере.

Поиск корней квинтик и уравнения более высокой степени были важным достижением, Теорема Абеля – Руффини (Руффини 1799, Авель 1824) показал, что они не могут быть решены радикалы (формулы, включающие только арифметические операции и корни). Следовательно, необходимо было рассмотреть более широкий набор алгебраические числа (все решения полиномиальных уравнений). Галуа (1832) связал полиномиальные уравнения с теория групп давая начало области Теория Галуа.

Непрерывные дроби, тесно связанный с иррациональными числами (и благодаря Катальди, 1613 г.), привлек внимание со стороны Эйлер,^[26] и в начале XIX века получили известность благодаря трудам Жозеф Луи Лагранж. Другой заслуживающий внимания вклад был сделан Друкенмюллером (1837), Кунце (1857), Лемке (1870) и Гюнтером (1872). Рамус^[27] сначала связал эту тему с детерминанты, в результате чего, с последующим вкладом Гейне,^[28] Мебиус, и Гюнтер,^[29] в теории Kettenbruchdeterminanten.

Трансцендентные числа и действительные числа

Существование трансцендентные числа^[30] был впервые установлен Liouville (1844, 1851). Эрмит доказал в 1873 г., что е трансцендентен и Lindemann в 1882 г. доказал, что π трансцендентно. Ну наконец то, Кантор показал, что набор всех действительные числа является бесчисленное множество но набор всего алгебраические числа является счетно бесконечный, так что существует бесчисленное множество трансцендентных чисел.

Бесконечность и бесконечно малые

Самая ранняя из известных концепций математического бесконечность появляется в Яджур Веда, древнеиндийское письмо, в котором однажды говорится: «Если вы удалите часть из бесконечности или добавите часть в бесконечность, то останется бесконечность». Бесконечность была популярной темой философских исследований среди Джайн математики c. 400 г. до н.э. Они различали пять типов бесконечности: бесконечность в одном и двух направлениях, бесконечность по площади, бесконечность везде и бесконечность вечно.

Аристотель определил традиционное западное понятие математической бесконечности. Он различал актуальная бесконечность и потенциальная бесконечность - по общему мнению, только последнее имеет истинную ценность. Галилео Галилей с Две новые науки обсудили идею взаимно однозначные соответствия между бесконечными множествами. Но следующий крупный прогресс в теории был сделан Георг Кантор; в 1895 г. он опубликовал книгу о своем новом теория множеств, представляя, среди прочего, трансфинитные числа и формулировка гипотеза континуума.

В 1960-е гг. Авраам Робинсон показал, как бесконечно большие и бесконечно малые числа могут быть строго определены и использованы для развития области нестандартного анализа. Система гиперреальные числа представляет собой строгий метод обработки идей о бесконечный и бесконечно малый числа, которые случайно использовались математиками, учеными и инженерами с момента изобретения исчисление бесконечно малых к Ньютон и Лейбниц.

Современная геометрическая версия бесконечности дается формулой проективная геометрия, который вводит «идеальные точки на бесконечности», по одной для каждого направления в пространстве. Постулируется, что каждое семейство параллельных прямых в заданном направлении сходится к соответствующей идеальной точке. Это тесно связано с идеей точек схода в перспектива Рисунок.

Сложные числа

Самое раннее мимолетное упоминание о квадратных корнях из отрицательных чисел произошло в работе математика и изобретателя. Цапля Александрийская в 1 век нашей эры, когда он считал объем невозможным усеченный из пирамида. Они стали более заметными, когда в 16 веке замкнутые формулы для корней многочленов третьей и четвертой степени были открыты итальянскими математиками, такими как Никколо Фонтана Тарталья и Джероламо Кардано. Вскоре стало понятно, что эти формулы, даже если кто-то интересовался только действительными решениями, иногда требовали манипуляции с квадратными корнями из отрицательных чисел.

Это было вдвойне тревожным, поскольку в то время они даже не считали, что отрицательные числа имеют твердую основу. Когда Рене Декарт ввел термин «мнимая» для этих величин в 1637 году, он имел в виду унизительный. (Видеть мнимое число для обсуждения «реальности» комплексных чисел.) Еще одним источником путаницы было то, что уравнение

${displaystyle left ({sqrt {-1}} ight) ^ {2} = {sqrt {-1}} {sqrt {-1}} = - 1}$

казался капризным несовместимым с алгебраическим тождеством

${displaystyle {sqrt {a}} {sqrt {b}} = {sqrt {ab}},}$

что верно для положительных действительных чисел а и б, а также использовался в вычислениях комплексных чисел с одним из а, б положительный и другой отрицательный. Неправильное использование этого удостоверения и связанного удостоверения личности

${displaystyle {frac {1} {sqrt {a}}} = {sqrt {frac {1} {a}}}}$

в случае, когда оба а и б отрицательны, даже сбиты с толку Эйлер. Эта трудность в конечном итоге привела его к соглашению использовать специальный символ я на месте ${displaystyle {sqrt {-1}}}$ чтобы избежать этой ошибки.

В 18 веке работали Абрахам де Муавр и Леонард Эйлер. Формула де Муавра (1730) утверждает:

${displaystyle (cos heta + isin heta) ^ {n} = cos n heta + isin n heta}$

пока Формула Эйлера из комплексный анализ (1748 г.) дал нам:

${displaystyle cos heta + isin heta = e ^ {i heta}.}$

Существование комплексных чисел не было полностью признано до тех пор, пока Каспар Вессель описал геометрическую интерпретацию в 1799 г. Карл Фридрих Гаусс повторно открыл и популяризировал ее несколько лет спустя, и в результате теория комплексных чисел получила заметное расширение. Однако идея графического изображения комплексных чисел появилась еще в 1685 г. Уоллис с De algebra tractatus.

Также в 1799 году Гаусс представил первое общепринятое доказательство основная теорема алгебры, показывая, что каждый многочлен над комплексными числами имеет полный набор решений в этой области. Общее признание теории комплексных чисел связано с трудами Огюстен Луи Коши и Нильс Хенрик Абель и особенно последний, который первым смело использовал комплексные числа, и этот успех хорошо известен.^{[павлинья проза ]}

Гаусс учился комплексные числа формы а + би, куда а и б являются интегральными или рациональными (и я один из двух корней Икс² + 1 = 0). Его ученица, Готтхольд Эйзенштейн, изучил тип а + bω, куда ω сложный корень Икс³ − 1 = 0. Другие такие классы (называемые циклотомические поля ) комплексных чисел получаются из корни единства Икс^k − 1 = 0 для более высоких значений k. Это обобщение во многом связано с Эрнст Куммер, который также изобрел идеальные числа, которые были выражены как геометрические объекты Феликс Кляйн в 1893 г.

В 1850 г. Виктор Александр Пюизо сделал ключевой шаг в различении полюсов и точек ветвления и ввел понятие существенные особые точки.^{[требуется разъяснение ]} В конечном итоге это привело к концепции расширенная комплексная плоскость.

простые числа

простые числа были изучены на протяжении всей письменной истории.^{[нужна цитата ]} Евклид посвятил одну книгу Элементы к теории простых чисел; в нем он доказал бесконечность простых чисел и основная теорема арифметики, и представил Евклидов алгоритм для поиска наибольший общий делитель из двух номеров.

В 240 г. до н.э. Эратосфен использовал Сито Эратосфена для быстрого выделения простых чисел. Но самое дальнейшее развитие теории простых чисел в Европе относится к эпоха Возрождения и более поздние эпохи.^{[нужна цитата ]}

В 1796 г. Адриан-Мари Лежандр предположил теорема о простых числах, описывающее асимптотическое распределение простых чисел. Другие результаты, касающиеся распределения простых чисел, включают доказательство Эйлера, что сумма обратных простых чисел расходится, и Гипотеза Гольдбаха, который утверждает, что любое достаточно большое четное число является суммой двух простых чисел. Еще одна гипотеза, связанная с распределением простых чисел, - это Гипотеза Римана, сформулированный Бернхард Риманн в 1859 г. теорема о простых числах наконец было доказано Жак Адамар и Шарль де ла Валле-Пуссен в 1896 г. Предположения Гольдбаха и Римана остаются недоказанными и неопровержимыми.

Основная классификация

Числа можно разделить на наборы, называется системы счисления, такой как натуральные числа и действительные числа.^[31] Основные категории номеров следующие:

Основные системы счисления

${displaystyle mathbb {N}}$	Естественный	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... или 1, 2, 3, 4, 5, ... ${displaystyle mathbb {N} _ {0}}$ или же ${displaystyle mathbb {N} _ {1}}$ иногда используются.
${displaystyle mathbb {Z}}$	Целое число	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
${displaystyle mathbb {Q}}$	Рациональный	а/б куда а и б целые числа и б не 0
${displaystyle mathbb {R}}$	Настоящий	Предел сходящейся последовательности рациональных чисел
${displaystyle mathbb {C}}$	Сложный	а + би куда а и б настоящие числа и я является формальным квадратным корнем из −1

Обычно нет проблем в идентификации каждой системы счисления с правильным подмножеством следующей ( злоупотребление обозначениями ), поскольку каждая из этих систем счисления канонически изоморфный к собственному подмножеству следующего.^{[нужна цитата ]} Полученная иерархия позволяет, например, формально правильно говорить о действительных числах, которые являются рациональными числами, и символически выражается записью

${displaystyle mathbb {N} subset mathbb {Z} subset mathbb {Q} subset mathbb {R} subset mathbb {C}}$.

Натуральные числа

Натуральные числа, начиная с 1

Самые знакомые числа - это натуральные числа (иногда называемые целыми числами или счетными числами): 1, 2, 3 и так далее. Традиционно последовательность натуральных чисел начиналась с 1 (0 даже не считался числом для Древние греки.) Однако в 19 веке теоретики множества и другие математики начали включать 0 (мощность из пустой набор, т.е.0 элементов, где 0, таким образом, является наименьшим количественное числительное ) в множестве натуральных чисел.^[32][33] Сегодня разные математики используют этот термин для описания обоих множеств, включая 0 или нет. В математический символ для набора всех натуральных чисел N, также написано ${displaystyle mathbb {N}}$, и иногда ${displaystyle mathbb {N} _ {0}}$ или же ${displaystyle mathbb {N} _ {1}}$ когда необходимо указать, должен ли набор начинаться с 0 или 1 соответственно.

в база 10 система счисления, которая сегодня почти повсеместно используется для математических операций, символы натуральных чисел записываются с использованием десяти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. основание или основание - это количество уникальных числовых цифр, включая ноль, которые система счисления использует для представления чисел (для десятичной системы основание системы счисления равно 10). В этой системе с основанием 10 самая правая цифра натурального числа имеет размещаемая стоимость 1, а каждая вторая цифра имеет разрядное значение в десять раз больше разрядного значения цифры справа от нее.

В теория множеств, которая может служить аксиоматическим основанием современной математики,^[34] натуральные числа могут быть представлены классами эквивалентных множеств. Например, число 3 можно представить как класс всех наборов, в которых ровно три элемента. В качестве альтернативы в Арифметика Пеано, число 3 представлено как sss0, где s - это функция-последователь (т.е. 3 является третьим преемником 0). Возможно множество различных представлений; все, что нужно для формального представления 3, - это трижды начертать определенный символ или набор символов.

Целые числа

В отрицательный положительного целого числа определяется как число, которое дает 0 при добавлении к соответствующему положительному целому числу. Отрицательные числа обычно пишутся с отрицательным знаком ( знак минус ). Например, отрицательное значение 7 записывается как -7, а 7 + (−7) = 0. Когда набор отрицательных чисел объединяется с набором натуральных чисел (включая 0), результат определяется как набор целые числа, Z также написано ${displaystyle mathbb {Z}}$. Здесь буква Z происходит от Немецкий Захл 'номер'. Набор целых чисел образует звенеть с операциями сложения и умножения.^[35]

Натуральные числа образуют подмножество целых чисел. Поскольку не существует единого стандарта для включения или исключения нуля в натуральные числа, натуральные числа без нуля обычно называют положительные целые числа, а натуральные числа с нулем называются неотрицательные целые числа.

Рациональное число

Рациональное число - это число, которое можно выразить как дробная часть с целым числителем и положительным целым знаменателем. Отрицательные знаменатели разрешены, но их обычно избегают, поскольку каждое рациональное число равно дроби с положительным знаменателем. Дроби записываются в виде двух целых чисел, числителя и знаменателя, с разделительной чертой между ними. Фракция м/п представляет м части целого, разделенные на п равные части. Одному и тому же рациональному числу могут соответствовать две разные дроби; Например 1/2 и 2/4 равны, то есть:

${displaystyle {1 больше 2} = {2 больше 4}.}$

В целом,

${displaystyle {a over b} = {c over d}}$ если и только если ${displaystyle {a imes d} = {c imes b}.}$

Если абсолютная величина из м больше, чем п (предполагается, что она положительна), тогда абсолютное значение дроби больше 1. Дроби могут быть больше, меньше или равны 1, а также могут быть положительными, отрицательными или 0. Набор всех рациональных чисел включает целые числа, поскольку каждое целое число может быть записано как дробь со знаминателем 1. Например, можно записать −7−7/1. Символ рациональных чисел: Q (за частное ), также написано ${displaystyle mathbb {Q}}$.

Действительные числа

Обозначение действительных чисел: р, также записывается как ${displaystyle mathbb {R}.}$ Они включают в себя все измерительные числа. Каждое действительное число соответствует точке на числовая строка. В следующем абзаце основное внимание будет уделено положительным действительным числам. Отрицательные действительные числа обрабатываются в соответствии с общими правилами арифметики, и их обозначение заключается в простом добавлении соответствующего положительного числа перед соответствующим положительным числом. знак минус, например -123,456.

Большинство реальных чисел могут быть только приблизительный к десятичный цифры, в которых десятичная точка помещается справа от цифры с разрядным значением 1. Каждая цифра справа от десятичной точки имеет разряд, равный одной десятой от разрядного значения цифры слева от нее. Например, 123,456 представляет 123456/1000, или, словами, сто, две десятки, три единицы, четыре десятых, пять сотых и шесть тысячных. Действительное число может быть выражено конечным числом десятичных цифр, только если оно рационально и дробная часть имеет знаменатель, у которого простые множители равны 2 или 5 или обоим, потому что это простые множители 10, основания десятичной системы. Так, например, одна половина равна 0,5, одна пятая - 0,2, одна десятая - 0,1, а одна пятидесятая - 0,02. Для представления других действительных чисел в виде десятичных дробей потребовалась бы бесконечная последовательность цифр справа от десятичной точки. Если эта бесконечная последовательность цифр соответствует шаблону, ее можно записать с многоточием или другим обозначением, которое указывает повторяющийся шаблон. Такая десятичная дробь называется повторяющаяся десятичная дробь. Таким образом 1/3 можно записать как 0,333 ... с многоточием, чтобы указать, что образец продолжается. Вечно повторяющиеся тройки также записываются как 0.3.^[36]

Оказывается, эти повторяющиеся десятичные дроби (включая повторение нулей ) обозначают в точности рациональные числа, т. е. все рациональные числа также являются действительными числами, но не каждое действительное число является рациональным. Действительное число, которое не является рациональным, называется иррациональный. Известное иррациональное действительное число - это число π, отношение длина окружности любого круга к его диаметр. Когда пи записывается как

${displaystyle pi = 3,14159265358979dots,}$

как это иногда бывает, многоточие не означает, что десятичные дроби повторяются (они не повторяются), а скорее, что им нет конца. Доказано, что π иррационально. Другое известное число, которое оказалось иррациональным действительным числом, - это

${displaystyle {sqrt {2}} = 1,41421356237dots,}$

то квадратный корень из 2, то есть уникальное положительное действительное число, квадрат которого равен 2. Оба эти числа были аппроксимированы (компьютером) до триллионов (1 триллион = 10¹² = 1,000,000,000,000 ) цифр.

Не только эти выдающиеся примеры, но и почти все действительные числа иррациональны и поэтому не имеют повторяющихся шаблонов и, следовательно, не имеют соответствующей десятичной цифры. Их можно приблизительно представить только десятичными цифрами, обозначающими округлый или же усеченный действительные числа. Любое округленное или усеченное число обязательно является рациональным числом, из которых только счетно много. Все измерения по своей природе являются приблизительными и всегда имеют погрешность. Таким образом, 123,456 считается приближением любого действительного числа, большего или равного 1234555/10000 и строго меньше чем 1234565/10000 (округление до трех знаков после запятой) или любое действительное число, большее или равное 123456/1000 и строго меньше чем 123457/1000 (усечение после 3. десятичного знака). Цифры, свидетельствующие о большей точности, чем само измерение, следует удалить. Остальные цифры затем называются значащие цифры. Например, измерения с помощью линейки редко могут быть выполнены без погрешности не менее 0,001. м. Если стороны прямоугольник измеряются как 1,23 м и 4,56 м, то умножение дает площадь прямоугольника между 5,614591 кв.м.² и 5.603011 кв.м.². Поскольку не сохраняется даже вторая цифра после десятичного разряда, следующие цифры не существенный. Поэтому результат обычно округляется до 5,61.

Так же, как одну и ту же дробь можно записать более чем одним способом, одно и то же действительное число может иметь более одного десятичного представления. Например, 0.999..., 1.0, 1.00, 1.000, ..., все представляют натуральное число 1. Данное действительное число имеет только следующие десятичные представления: приближение к некоторому конечному числу десятичных знаков, приближение, в котором устанавливается шаблон, который продолжается в течение неограниченное количество десятичных знаков или точное значение только с конечным числом десятичных знаков. В этом последнем случае последняя ненулевая цифра может быть заменена цифрой на единицу меньше, за которой следует неограниченное количество девяток, или за последней ненулевой цифрой может следовать неограниченное количество нулей. Таким образом, точное действительное число 3,74 может быть записано как 3,7399999999 ... и 3,74000000000 .... Аналогичным образом, десятичное число с неограниченным количеством нулей можно переписать, отбросив 0 справа от десятичного знака, а десятичное число с неограниченным количеством девяток можно переписать, увеличив крайнюю правую цифру -9 на единицу, заменив все девятки справа от этой цифры на 0. Наконец, можно отбросить неограниченную последовательность нулей справа от десятичного знака. Например, 6,849999999999 ... = 6,85 и 6,850000000000 ... = 6,85. Наконец, если все цифры в числительном равны 0, число равно 0, и если все цифры в числительном представляют собой бесконечную строку из девяток, вы можете опустить девятки справа от десятичного разряда и добавить один к строке девяток слева от десятичного знака. Например, 99,999 ... = 100.

Реальные числа также обладают важным, но весьма техническим свойством, называемым наименьшая верхняя граница свойство.

Можно показать, что любой упорядоченное поле, который также полный, изоморфна действительным числам. Однако реальные числа не алгебраически замкнутое поле, потому что они не содержат решения (часто называемого квадратный корень из минус единицы ) к алгебраическому уравнению ${displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$.

Сложные числа

Переходя на более высокий уровень абстракции, действительные числа могут быть расширены до сложные числа. Этот набор чисел исторически возник в результате попыток найти закрытые формулы для корней кубический и квадратичный полиномы. Это привело к выражениям, включающим квадратные корни из отрицательных чисел, и, в конечном итоге, к определению нового числа: квадратный корень −1, обозначаемый я, символ, присвоенный Леонард Эйлер, и назвал мнимая единица. Комплексные числа состоят из всех чисел вида

${displaystyle, a + bi}$

куда а и б настоящие числа. По этой причине комплексные числа соответствуют точкам на комплексная плоскость, а векторное пространство двух реальных размеры. В выражении а + би, реальное число а называется реальная часть и б называется мнимая часть. Если действительная часть комплексного числа равна 0, то число называется мнимое число или упоминается как чисто воображаемый; если мнимая часть равна 0, то число является действительным числом. Таким образом, реальные числа - это подмножество комплексных чисел. Если действительная и мнимая части комплексного числа являются целыми числами, то число называется Целое гауссово. Символ комплексных чисел: C или же ${displaystyle mathbb {C}}$.

В основная теорема алгебры утверждает, что комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле, что означает, что каждый многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в комплексных числах. Как и действительные числа, комплексные числа образуют поле, который полный, но в отличие от реальных чисел, это не упорядоченный. То есть нет никакого последовательного смысла в том, чтобы сказать, что я больше 1, и нет никакого смысла говорить, что я меньше 1. С технической точки зрения комплексные числа не имеют общий заказ то есть совместим с полевыми операциями.

Подклассы целых чисел

Четные и нечетные числа

An четное число является целым числом, которое «делится без остатка» на два, то есть делится на два без остатка; ан нечетное число является целым числом, которое не является четным. (Старомодный термин «равномерно делимый» теперь почти всегда сокращается до «делимый ".) Любое нечетное число п можно построить по формуле п = 2k + 1, для подходящего целого числа k. Начиная с k = 0, первые неотрицательные нечетные числа - это {1, 3, 5, 7, ...}. Любое четное число м имеет форму м = 2k куда k снова целое число. Точно так же первые неотрицательные четные числа - это {0, 2, 4, 6, ...}.

простые числа

А простое число, часто сокращается до основной, является целым числом больше 1, которое не является произведением двух меньших положительных целых чисел. Первые несколько простых чисел - это 2, 3, 5, 7 и 11. Нет такой простой формулы, как для нечетных и четных чисел, для генерации простых чисел. Простые числа широко изучались более 2000 лет и привели к множеству вопросов, только на некоторые из которых были даны ответы. Изучение этих вопросов принадлежит теория чисел. Гипотеза Гольдбаха это пример вопроса, на который до сих пор нет ответа: «Каждое ли четное число является суммой двух простых чисел?»

Был подтвержден один ответ на вопрос о том, является ли каждое целое число больше единицы произведением простых чисел только одним способом, за исключением перестановки простых чисел; это доказанное утверждение называется основная теорема арифметики. Доказательство появляется в Элементы Евклида.

Другие классы целых чисел

Многие подмножества натуральных чисел были предметом конкретных исследований и получили названия, часто в честь первого математика, изучившего их. Примеры таких наборов целых чисел: Числа Фибоначчи и идеальные числа. Дополнительные примеры см. Целочисленная последовательность.

Подклассы комплексных чисел

Алгебраические, иррациональные и трансцендентные числа

Алгебраические числа те, которые являются решением полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Действительные числа, не являющиеся рациональными числами, называются иррациональные числа. Комплексные числа, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентные числа. Алгебраические числа, являющиеся решениями монический многочлен уравнения с целыми коэффициентами называются алгебраические целые числа.

Конструируемые числа

Мотивированные классическими проблемами конструкции с линейкой и циркулем, то конструктивные числа представляют собой комплексные числа, действительная и мнимая части которых могут быть построены с помощью линейки и циркуля, начиная с заданного сегмента единичной длины за конечное число шагов.

Вычислимые числа

А вычислимое число, также известный как рекурсивное число, это настоящий номер такой, что существует алгоритм который, учитывая положительное число п в качестве ввода производит первый п цифры десятичного представления вычислимого числа. Эквивалентные определения могут быть даны с помощью μ-рекурсивные функции, Машины Тьюринга или же λ-исчисление. Вычислимые числа стабильны для всех обычных арифметических операций, включая вычисление корней многочлен, и таким образом образуют настоящее закрытое поле который содержит настоящие алгебраические числа.

Вычислимые числа можно рассматривать как действительные числа, которые могут быть точно представлены в компьютере: вычислимое число точно представлено своими первыми цифрами и программой для вычисления дополнительных цифр. Однако на практике вычислимые числа используются редко. Одна из причин заключается в том, что не существует алгоритма проверки равенства двух вычислимых чисел. Точнее, не может существовать никакого алгоритма, который принимает на вход любое вычислимое число и в каждом случае решает, равно это число нулю или нет.

Набор вычислимых чисел имеет ту же мощность, что и натуральные числа. Следовательно, почти все действительные числа невычислимы. Однако очень сложно явно получить действительное число, которое невозможно вычислить.

Расширения концепции

п-адические числа

В п-адические числа могут иметь бесконечно длинные разложения слева от десятичной точки, точно так же, как действительные числа могут иметь бесконечно длинные разложения вправо. Полученная система счисления зависит от того, что основание используется для цифр: возможно любое основание, но простое число base обеспечивает лучшие математические свойства. Набор п-адические числа содержат рациональные числа, но не входят в комплексные числа.

Элементы поле алгебраических функций через конечное поле и алгебраические числа обладают многими похожими свойствами (см. Аналогия функционального поля ). Поэтому теоретики чисел часто рассматривают их как числа. В п-адические числа играют важную роль в этой аналогии.

Гиперкомплексные числа

Некоторые системы счисления, которые не включены в комплексные числа, могут быть построены из действительных чисел таким образом, чтобы обобщить конструкцию комплексных чисел. Их иногда называют гиперкомплексные числа. Они включают кватернионы ЧАС, представленный сэром Уильям Роуэн Гамильтон, в котором умножение не коммутативный, то октонионы, в котором умножение не ассоциативный помимо того, что они не коммутативны, седенионы, в котором умножение не альтернатива, ни ассоциативные, ни коммутативные.

Трансфинитные числа

Для работы с бесконечным наборы, натуральные числа были обобщены на порядковые номера и к Количественные числительные. Первый дает порядок набора, а второй - его размер. Для конечных множеств и порядковые, и кардинальные числа отождествляются с натуральными числами. В бесконечном случае многие порядковые числа соответствуют одному и тому же количественному числу.

Нестандартные числа

Гиперреальные числа используются в нестандартный анализ. Гиперреальные числа или нестандартные числа (обычно обозначаемые *р), обозначим упорядоченное поле это правильный расширение упорядоченного поля действительные числа р и удовлетворяет принцип передачи. Этот принцип позволяет истинным первый заказ заявления о р быть переинтерпретированы как истинные утверждения первого порядка о *р.

Сверхреальный и сюрреалистические числа расширить действительные числа, добавляя бесконечно малые числа и бесконечно большие числа, но все же образуют поля.

Смотрите также

• Конкретный номер
• Список номеров
• Список номеров на разных языках
• Список типов номеров
• Математическая константа - Фиксированный номер, получивший имя
• Сложные числа
• Численное познание
• Порядки величины
• Физическая постоянная - Универсальная и неизменная физическая величина
• число Пи - Отношение длины окружности к ее диаметру
• Позиционное обозначение - Метод представления или кодирования чисел
• простое число - Положительное целое число с ровно двумя делителями, 1 и самим собой
• Субитизация и подсчет

Примечания

Рекомендации

• Тобиас Данциг, Число, язык науки; критический обзор, написанный для образованных нематематиков, Нью-Йорк, компания Macmillan, 1930.^{[ISBN отсутствует ]}
• Эрих Фридман, Что особенного в этом номере?
• Стивен Галович, Введение в математические структуры, Харкорт Брейс Яванович, 1989 г., ISBN  0-15-543468-3.
• Пол Халмос, Наивная теория множеств, Спрингер, 1974, ISBN  0-387-90092-6.
• Моррис Клайн, Математическая мысль от древних до наших дней, Oxford University Press, 1990. ISBN  978-0195061352
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, Principia Mathematica к * 56, Cambridge University Press, 1910.^{[ISBN отсутствует ]}

внешняя ссылка

• Нечаев, В. (2001) [1994], "Число", Энциклопедия математики, EMS Press
• Таллант, Джонатан. "Существуют ли числа?". Numberphile. Брэди Харан. Архивировано из оригинал на 2016-03-08. Получено 2013-04-06.
• BBC Radio 4, В наше время: отрицательные числа
• '4000 лет цифр', лекция Робина Уилсона, 11.07.07, Gresham College (доступно для скачивания в формате MP3 или MP4, а также в виде текстового файла).
• "Какое самое любимое число в мире?". 2011-06-22. Получено 2011-09-17.; "Обниматься с 9, обниматься с 8, подмигивать в 7". 2011-08-11. Получено 2011-09-17.
• Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей