Алгебра физического пространства - Algebra of physical space

В физика, то алгебра физического пространства (APS) использование Клиффорд или геометрическая алгебра Cl_3,0(р) трехмерного Евклидово пространство как модель для (3 + 1) -мерных пространство-время, представляющий точку в пространстве-времени через паравектор (3-мерный вектор плюс одномерный скаляр).

Алгебра Клиффорда Cl_3,0(р) имеет верное представление, создано Матрицы Паули, на представление вращения C²; далее, Cl_3,0(р) изоморфна четной подалгебре Cl^[0]
_3,1(р) алгебры Клиффорда Cl_3,1(р).

APS можно использовать для построения компактного, унифицированного и геометрического формализма как для классической, так и для квантовой механики.

APS не следует путать с алгебра пространства-времени (STA), что касается Алгебра Клиффорда Cl_1,3(р) четырехмерного Пространство-время Минковского.

Специальная теория относительности

Паравектор положения в пространстве-времени

В APS пространство-время позиция представлена ​​как паравектор

${ displaystyle x = x ^ {0} + x ^ {1} mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} mathbf {e } _ {3},}$

где время дается скалярной частью Икс⁰ = т, и е₁, е₂, е₃ являются стандартная основа для позиционного пространства. Повсюду такие единицы, что c = 1 используются, называются натуральные единицы. в Матрица Паули В представлении единичные базисные векторы заменяются матрицами Паули, а скалярная часть - единичной матрицей. Это означает, что матричное представление положения в пространстве-времени Паули имеет вид

${ displaystyle x rightarrow { begin {pmatrix} x ^ {0} + x ^ {3} && x ^ {1} -ix ^ {2} x ^ {1} + ix ^ {2} && x ^ { 0} -x ^ {3} end {pmatrix}}}$

Преобразования Лоренца и роторы

Ограниченные преобразования Лоренца, которые сохраняют направление времени и включают в себя вращения и ускорения, могут быть выполнены путем возведения в степень вращения пространства-времени. бипаравектор W

${ displaystyle L = e ^ {{ frac {1} {2}} W}.}$

В матричном представлении ротор Лоренца образует экземпляр SL (2,C) группа (специальная линейная группа степени 2 над сложные числа ), который является двойной крышкой Группа Лоренца. Унимодулярность ротора Лоренца переводится в следующее условие в терминах произведения ротора Лоренца на его сопряжение Клиффорда

${ displaystyle L { bar {L}} = { bar {L}} L = 1.}$

Этот ротор Лоренца всегда можно разложить на два фактора: один Эрмитский B = B^†, и другие унитарный р^† = р⁻¹, так что

${ Displaystyle L = BR.}$

Унитарный элемент р называется ротор потому что это кодирует вращения, а эрмитов элемент B кодирует бусты.

Четырехскоростной паравектор

В четырехскоростной, также называется собственная скорость, определяется как производная паравектора пространственно-временного положения относительно подходящее время τ:

${ displaystyle u = { frac {dx} {d tau}} = { frac {dx ^ {0}} {d tau}} + { frac {d} {d tau}} (x ^ {1} mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} mathbf {e} _ {3}) = { frac {dx ^ {0}} {d tau}} left [1 + { frac {d} {dx ^ {0}}} (x ^ {1} mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} mathbf {e} _ {3}) right].}$

Это выражение можно привести к более компактному виду, определив обычную скорость как

${ displaystyle mathbf {v} = { frac {d} {dx ^ {0}}} (x ^ {1} mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} mathbf {e} _ {2} + x ^ {3} mathbf {e} _ {3}),}$

и напоминая определение гамма-фактор:

${ displaystyle gamma ( mathbf {v}) = { frac {1} { sqrt {1 - { frac {| mathbf {v} | ^ {2}} {c ^ {2}}}} }},}$

так что собственная скорость будет более компактной:

${ displaystyle u = gamma ( mathbf {v}) (1+ mathbf {v}).}$

Собственная скорость положительная унимодулярный паравектор, который подразумевает следующее условие в терминах Спряжение Клиффорда

${ displaystyle u { bar {u}} = 1.}$

Собственная скорость трансформируется под действием Ротор Лоренца L так как

${ displaystyle u rightarrow u ^ { prime} = LuL ^ { dagger}.}$

Четырехимпульсный паравектор

В четырехимпульсный в APS можно получить, умножив собственную скорость на массу как

${ displaystyle p = mu,}$

с массовая оболочка состояние переведено на

${ displaystyle { bar {p}} p = m ^ {2}.}$

Классическая электродинамика

Электромагнитное поле, потенциал и ток

В электромагнитное поле представлен как би-паравектор F:

${ Displaystyle F = mathbf {E} + я mathbf {B},}$

с эрмитовой частью, представляющей электрическое поле E и антиэрмитская часть, представляющая магнитное поле B. В стандартном матричном представлении Паули электромагнитное поле имеет вид:

${ displaystyle F rightarrow { begin {pmatrix} E_ {3} & E_ {1} -iE_ {2} E_ {1} + iE_ {2} & - E_ {3} end {pmatrix}} + i { begin {pmatrix} B_ {3} & B_ {1} -iB_ {2} B_ {1} + iB_ {2} & - B_ {3} end {pmatrix}} ,.}$

Источник поля F электромагнитный четырехканальный:

${ Displaystyle J = Rho + mathbf {J} ,,}$

где скалярная часть равна плотность электрического заряда ρ, а векторная часть плотность электрического тока j. Представляем электромагнитный потенциал паравектор определяется как:

${ Displaystyle А = фи + mathbf {А} ,,}$

в котором скалярная часть равна электрический потенциал ϕ, а векторная часть магнитный потенциал А. Электромагнитное поле также:

${ displaystyle F = partial { bar {A}}.}$

Поле можно разделить на электрическое.

${ displaystyle E = langle partial { bar {A}} rangle _ {V}}$

и магнитный

${ Displaystyle B = я langle partial { bar {A}} rangle _ {BV}}$

компоненты.

${ displaystyle partial = partial _ {t} + mathbf {e} _ {1} , partial _ {x} + mathbf {e} _ {2} , partial _ {y} + mathbf {e} _ {3} , partial _ {z}}$

и F инвариантен относительно калибровочное преобразование формы

${ Displaystyle A rightarrow A + частичная чи ,,}$

где ${ displaystyle chi}$ это скалярное поле.

Электромагнитное поле ковариантный при преобразованиях Лоренца по закону

${ Displaystyle F rightarrow F ^ { prime} = LF { bar {L}} ,.}$

Уравнения Максвелла и сила Лоренца

В Уравнения Максвелла можно выразить одним уравнением:

${ displaystyle { bar { partial}} F = { frac {1} { epsilon}} { bar {j}} ,,}$

где черта сверху представляет Спряжение Клиффорда.

В Сила Лоренца уравнение принимает вид

${ displaystyle { frac {dp} {d tau}} = e langle Fu rangle _ {R} ,.}$

Электромагнитный лагранжиан

Электромагнитный Лагранжиан является

${ displaystyle L = { frac {1} {2}} langle FF rangle _ {S} - langle A { bar {j}} rangle _ {S} ,,}$

который является действительным скалярным инвариантом.

Релятивистская квантовая механика

В Уравнение Дирака, для электрически заряженная частица массы м и зарядить е, принимает вид:

${ displaystyle i { bar { partial}} Psi mathbf {e} _ {3} + e { bar {A}} Psi = m { bar { Psi}} ^ { dagger}}$,

где е₃ - произвольный унитарный вектор, а А - электромагнитный паравекторный потенциал, как указано выше. В электромагнитное взаимодействие был включен через минимальное сцепление с точки зрения потенциала А.

Классический спинор

В дифференциальное уравнение ротора Лоренца, который согласуется с силой Лоренца, равен

${ displaystyle { frac {d Lambda} {d tau}} = { frac {e} {2mc}} F Lambda,}$

таким образом, что собственная скорость вычисляется как преобразование Лоренца собственной скорости в состоянии покоя

${ displaystyle u = Lambda Lambda ^ { dagger},}$

которые можно проинтегрировать, чтобы найти пространственно-временную траекторию ${ Displaystyle х ( тау)}$ с дополнительным использованием

${ displaystyle { frac {dx} {d tau}} = u.}$

Смотрите также

• Paravector
• Мультивектор
• викиучебники: Физика на языке геометрической алгебры. Подход с алгеброй физического пространства
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства

использованная литература

Учебники

• Бейлис, Уильям (2002). Электродинамика: современный геометрический подход (2-е изд.). ISBN  0-8176-4025-8.
• Бейлис, Уильям, изд. (1999) [1996]. Алгебры Клиффорда (геометрические): с приложениями к физике, математике и технике. Springer. ISBN  978-0-8176-3868-9.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007) [2003]. Геометрическая алгебра для физиков. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-139-64314-6.
• Гестен, Дэвид (1999). Новые основы классической механики (2-е изд.). Kluwer. ISBN  0-7923-5514-8.

Статьи

• Бейлис, W.E. (2004). «Относительность во вводной физике». Канадский журнал физики. 82 (11): 853–873. arXiv:физика / 0406158. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. Дои:10.1139 / p04-058. S2CID  35027499.
• Baylis, W. E; Джонс, Г. (7 января 1989 г.). "Подход алгебры Паули к специальной теории относительности". Журнал физики A: математические и общие. 22 (1): 1–15. Bibcode:1989JPhA ... 22 .... 1B. Дои:10.1088/0305-4470/22/1/008.
• Бейлис, В. Э. (1 марта 1992 г.). «Классические собственные спины и уравнение Дирака». Физический обзор A. 45 (7): 4293–4302. Bibcode:1992ПхРвА..45.4293Б. Дои:10.1103 / Physreva.45.4293. PMID  9907503.
• Baylis, W. E .; Яо, Ю. (1 июля 1999 г.). «Релятивистская динамика зарядов в электромагнитных полях: собственный спинорный подход». Физический обзор A. 60 (2): 785–795. Bibcode:1999ПхРвА..60..785Б. Дои:10.1103 / Physreva.60.785.