Функциональная интеграция

Функциональная интеграция представляет собой набор результатов в математика и физика где домен интеграл уже не область пространства, а пространство функций. Функциональные интегралы возникают в вероятность, при изучении уравнения в частных производных, а в интегральный подход к квантовая механика частиц и полей.

В обычном интеграле (в смысле Интеграция Лебега ) есть функция, которую нужно интегрировать (подынтегральное выражение), и область пространства, по которой нужно интегрировать функцию (область интегрирования). Процесс интеграции состоит из сложения значений подынтегральной функции для каждой точки области интегрирования. Чтобы сделать эту процедуру строгой, требуется ограничивающая процедура, в которой область интегрирования делится на меньшие и меньшие области. Для каждой небольшой области значение подынтегрального выражения не может сильно различаться, поэтому его можно заменить одним значением. В функциональном интеграле область интегрирования - это пространство функций. Для каждой функции подынтегральное выражение возвращает значение, которое нужно сложить. Строгость этой процедуры создает проблемы, которые продолжают оставаться темой текущих исследований.

Функциональная интеграция была разработана Перси Джон Дэниэлл в статье 1919 г.^[1] и Норберт Винер в серии исследований, завершившихся статьями 1921 г. Броуновское движение. Они разработали строгий метод (теперь известный как Мера Винера ) для присвоения вероятности случайному пути частицы. Ричард Фейнман разработал еще один функциональный интеграл, интеграл по путям, полезный для вычисления квантовых свойств систем. В интеграле по путям Фейнмана классическое понятие уникальной траектории частицы заменяется бесконечной суммой классических путей, каждый из которых имеет свой вес в соответствии с его классическими свойствами.

Функциональная интеграция является центральным элементом методов квантования в теоретической физике. Алгебраические свойства функциональных интегралов используются для разработки рядов, используемых для вычисления свойств в квантовая электродинамика и стандартная модель физики элементарных частиц.

В то время как стандартные Интеграция Римана суммирует функцию ж(Икс) в непрерывном диапазоне значений Икс, функциональная интеграция составляет a функциональный грамм[ж], которую можно рассматривать как "функцию функции" в непрерывном диапазоне (или пространстве) функций. ж. Большинство функциональных интегралов не могут быть вычислены точно, но должны быть вычислены с использованием методы возмущения. Формальное определение функционального интеграла:

{ Displaystyle int G [е] [Df] Equiv int limits _ {- infty} ^ { infty} cdots int limits _ {- infty} ^ { infty} G [f] prod _ {x} df (x).}

Однако в большинстве случаев функции ж(Икс) можно записать в виде бесконечного ряда ортогональные функции Такие как ${ Displaystyle е (х) = е_ {п} Н_ {п} (х)}$ , а затем определение становится

{ displaystyle int G [f] [Df] Equiv int limits _ {- infty} ^ { infty} cdots int limits _ {- infty} ^ { infty} G (f_ { 1}, f_ {2}, ldots) prod _ {n} df_ {n},}

что немного более понятно. Показано, что интеграл является функциональным интегралом с большой буквы. D. Иногда в квадратных скобках пишут: [Df] или же D[ж], чтобы указать, что ж это функция.

Примеры

Большинство функциональных интегралов на самом деле бесконечны, но тогда предел частное двух связанных функциональных интегралов могут быть конечными. Функциональные интегралы, которые можно точно вычислить, обычно начинаются со следующих Гауссовский интеграл:

{ Displaystyle { гидроразрыва { int e ^ {я int - { frac {1} {2}} f (x) cdot K (x, y) cdot f (y) , dx , dy + int J (x) cdot f (x) , dx} [Df]} { int e ^ {i int - { frac {1} {2}} f (x) cdot K (x, y) cdot f (y) , dx , dy} [Df]}} = e ^ {i { frac {1} {2}} int J (x) cdot K ^ {- 1} ( x, y) cdot J (y) , dx , dy}.}

Функционально дифференцируя это по J(Икс), а затем установив значение 0, это становится экспоненциальной, умноженной на многочлен от ж. Например, установка ${ Displaystyle К (х, у) = ящик дельта (х-у)}$ , мы нашли:

{ Displaystyle { гидроразрыва { int f (a) f (b) e ^ {я int f (x) Box f (x) , dx ^ {4}} [Df]} { int e ^ {i int f (x) Box f (x) , dx ^ {4}} [Df]}} = K ^ {- 1} (a, b) = { frac {1} {| ab | ^ {2}}},}

куда а, б и Икс являются 4-мерными векторами. Это происходит из формулы распространения фотона в квантовой электродинамике. Еще один полезный интеграл - это функционал дельта-функция:

{ Displaystyle int е ^ {я int е (х) g (x) , dx} [Df] = delta [g] = prod _ {x} delta { big (} g (x) {большой )},}

что полезно для указания ограничений. Функциональные интегралы также могут быть выполнены по Грассмановозначный функции ${ Displaystyle psi (х)}$ , куда ${ Displaystyle psi (x) psi (y) = - psi (y) psi (x)}$ , который полезен в квантовой электродинамике для расчетов, включающих фермионы.

Подходы к интегралам по путям

Функциональные интегралы, в которых пространство интегрирования состоит из путей (ν = 1) можно определить по-разному. Определения делятся на два разных класса: конструкции, производные от Теория Винера дают интеграл на основе мера, тогда как конструкции, следующие за интегралом по путям Фейнмана, нет. Даже внутри этих двух широких разделов интегралы не идентичны, то есть они определены по-разному для разных классов функций.

Винеровский интеграл

в Винеровский интеграл, вероятность приписывается классу Броуновское движение пути. Класс состоит из путей ш которые, как известно, проходят через небольшую область пространства в данный момент. Предполагается, что прохождение через разные области пространства не зависит друг от друга, а расстояние между любыми двумя точками броуновского пути предполагается равным Распределенный по Гауссу с отклонение это зависит от времени т и от постоянной диффузии D:

{ displaystyle Pr { big (} вес (s + t), t mid w (s), s { big)} = { frac {1} { sqrt {2 pi Dt}}} exp left (- { frac { | w (s + t) -w (s) | ^ {2}} {2Dt}} right).}

Вероятность для этого класса путей можно найти, умножив вероятности начала в одном регионе и последующего перехода в следующий. Мера Винера может быть разработана с учетом предела множества небольших регионов.

Исчисление Ито и Стратоновича

Интеграл Фейнмана

Формула рысака, или Формула произведения Ли.
Идея Каца о вращении фитиля.
Использование x-точка-точка-квадрат или i S [x] + x-точка-квадрат.
Cartier DeWitt-Morette полагается на интеграторов, а не на меры

Интеграл Леви

Смотрите также

дальнейшее чтение

Жан Зинн-Джастин (2009), Scholarpedia 4(2):8674.
Кляйнерт, Хаген, Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках, 4-е издание, World Scientific (Сингапур, 2004 г.); Мягкая обложка ISBN 981-238-107-4 (также доступно в Интернете: PDF-файлы )
Ласкин, Ник (2000). «Дробная квантовая механика». Физический обзор E. 62 (3): 3135. arXiv:0811.1769. Bibcode:2000ПхРвЭ..62.3135Л. Дои:10.1103 / PhysRevE.62.3135.
Ласкин, Ник (2002). «Дробное уравнение Шредингера». Физический обзор E. 66 (5): 056108. arXiv:Quant-ph / 0206098. Bibcode:2002PhRvE..66e6108L. Дои:10.1103 / PhysRevE.66.056108. PMID 12513557.
Смолянов О.Г., Шавгулидзе Э.Т. Непрерывные интегралы. М .: Издательство МГУ, 1990. с. http://lib.mexmat.ru/books/5132
Виктор Попов, Функциональные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике, Спрингер, 1983 г.
Серхио Альбеверио, Соня Маццукки, Единый подход к бесконечномерной интеграции, Обзоры по математической физике, 28, 1650005 (2016)

[1] Дэниэл, П. Дж. (Июль 1919 г.). «Интегралы в бесконечном числе измерений». Анналы математики. Вторая серия. 20 (4): 281–288. Дои:10.2307/1967122. JSTOR 1967122.

[1]

Функциональная интеграция - Functional integration

Содержание