Броуновское движение - Википедия - Brownian motion

2-х мерное случайное блуждание серебра адатом на поверхности Ag (111)^[1]

Это моделирование броуновского движения 5 частиц (желтого цвета), которые сталкиваются с большим набором из 800 частиц. Желтые частицы оставляют 5 синих следов случайного движения, одна из которых имеет красный вектор скорости.

Это моделирование броуновского движения большой частицы (частицы пыли), которая сталкивается с большим набором более мелких частиц (молекул газа), которые движутся с разными скоростями в разных случайных направлениях.

Броуновское движение, или же педезис (из Древнегреческий: πήδησις / pɛ̌ːdɛːsis / "прыгающий") - это случайное движение частицы приостановлено в среде ( жидкость или газ ).^[2]

Этот паттерн движения обычно состоит из случайный флуктуации положения частицы внутри подобласти жидкости с последующим перемещением в другую подобласть. Каждое перемещение сопровождается новыми колебаниями в новом закрытом объеме. Этот паттерн описывает жидкость в тепловое равновесие, определяемый данным температура. Внутри такой жидкости не существует предпочтительного направления потока (как в явления переноса ). В частности, общая линейный и угловатый импульсы остаются нулевыми с течением времени. В кинетическая энергия молекулярных броуновских движений, вместе с молекулярными вращениями и колебаниями, суммируются в калорийную составляющую жидкости внутренняя энергия (в Теорема о равнораспределении ).

Это движение названо в честь ботаника. Роберт Браун, который впервые описал это явление в 1827 году, глядя в микроскоп на пыльца завода Кларкия пульчелла погружен в воду. В 1905 году, почти восемьдесят лет спустя, физик-теоретик Альберт Эйнштейн опубликовано бумага где он смоделировал движение частиц пыльцы как движение отдельных молекул воды, сделав один из своих первых крупных научных вкладов.^[3] Это объяснение броуновского движения послужило убедительным доказательством существования атомов и молекул и было дополнительно подтверждено экспериментально. Жан Перрен в 1908 году. Перрен был награжден Нобелевская премия по физике в 1926 г. «за работу о разрывной структуре вещества».^[4] Направление силы атомной бомбардировки постоянно меняется, и в разное время частица получает больше ударов с одной стороны, чем с другой, что приводит к кажущемуся случайному характеру движения.

В многочастные взаимодействия которые дают броуновский образец, не могут быть решены с помощью модели, учитывающей каждую вовлеченную молекулу. Следовательно, только вероятностные модели, применяемые к молекулярные популяции можно использовать для его описания. Две такие модели статистическая механика, принадлежащих Эйнштейну и Смолуховскому, представлены ниже. Другой, чисто вероятностный класс моделей - это класс случайный процесс модели. Существуют последовательности как более простых, так и более сложных случайных процессов, которые сходятся (в предел ) к броуновскому движению (см. случайная прогулка и Теорема Донскера ).^[5][6]

История

Воспроизведено из книги Жан Батист Перрен, Les Atomes, отображаются три записи движения коллоидных частиц радиусом 0,53 мкм, видимых под микроскопом. Последовательные позиции каждые 30 секунд соединяются прямыми отрезками (размер ячейки 3,2 мкм).^[7]

Римский философ Лукреций 'научная поэма "О природе вещей "(ок. 60 г. до н.э.) есть замечательное описание движения пыль частицы в стихах 113–140 из Книги II. Он использует это как доказательство существования атомов:

Понаблюдайте, что происходит, когда солнечные лучи попадают в здание и проливают свет на его темные места. Вы увидите множество крошечных частиц, смешивающихся множеством способов ... их танец является фактическим указанием основных движений материи, которые скрыты от нашего взора ... Это происходит от атомов, которые движутся сами по себе [т. Е. Спонтанно ]. Затем те маленькие составные тела, которые меньше всего удалены от импульса атомов, приводятся в движение ударом их невидимых ударов и, в свою очередь, пушкой по чуть более крупным телам. Таким образом, движение поднимается вверх от атомов и постепенно выходит на уровень наших чувств, так что эти тела находятся в движении, которое мы видим в солнечных лучах, движимые ударами, которые остаются невидимыми.

Хотя смешанное движение пылевых частиц вызвано в основном воздушными потоками, сверкающее, падающее движение маленьких пылевых частиц действительно вызвано главным образом истинной броуновской динамикой; Лукреций «прекрасно описывает и объясняет броуновское движение на неверном примере».^[8]

Пока Ян Ингенхауз описал нерегулярное движение каменный уголь пыль частицы на поверхности алкоголь в 1785 году открытие этого явления часто приписывают ботанику Роберт Браун в 1827 г. Браун изучал пыльца зерна растения Кларкия пульчелла подвешен в воде под микроскопом, когда он наблюдал мельчайшие частицы, выброшенные пыльцевыми зернами, совершающие нервное движение. Повторяя эксперимент с частицами неорганической материи, он смог исключить, что движение было связано с жизнью, хотя его происхождение еще не было объяснено.

Первым, кто описал математику броуновского движения, был Торвальд Н. Тиле в статье о методе наименьших квадратов опубликовано в 1880 году. Луи Башелье в 1900 году в своей докторской диссертации «Теория спекуляции», в которой он представил стохастический анализ фондовых и опционных рынков. Модель броуновского движения фондовый рынок часто цитируется, но Бенуа Мандельброт отклонил его применимость к движениям цен акций отчасти потому, что они носят прерывистый характер.^[9]

Альберт Эйнштейн (в одном из его 1905 г. ) и Мариан Смолуховский (1906) привлек внимание физиков к решению проблемы и представил его как способ косвенного подтверждения существования атомов и молекул. Их уравнения, описывающие броуновское движение, впоследствии были проверены экспериментальной работой Жан Батист Перрен в 1908 г.

Теории статистической механики

Теория Эйнштейна

Теория Эйнштейна состоит из двух частей: первая часть состоит из формулировки уравнения диффузии для броуновских частиц, в котором коэффициент диффузии связан с среднеквадратичное смещение броуновской частицы, а вторая часть состоит в том, чтобы связать коэффициент диффузии с измеримыми физическими величинами.^[10] Таким образом Эйнштейн смог определить размер атомов и количество атомов в моль, или молекулярную массу в граммах газа.^[11] В соответствии с Закон Авогадро этот объем одинаков для всех идеальных газов и составляет 22,414 литра при стандартной температуре и давлении. Число атомов, содержащихся в этом объеме, называется Число Авогадро, и определение этого числа равносильно знанию массы атома, поскольку последнее получается делением массы моля газа на массу Константа Авогадро.

Характерные колоколообразные кривые диффузии броуновских частиц. Распределение начинается как Дельта-функция Дирака, что указывает на то, что все частицы находятся в начале координат в момент времени т = 0. Поскольку т увеличивается, распределение выравнивается (хотя и остается колоколообразным) и в конечном итоге становится однородным в пределе, когда время уходит в бесконечность.

Первая часть аргумента Эйнштейна заключалась в том, чтобы определить, как далеко броуновская частица перемещается в заданный интервал времени.^[3] Классическая механика не может определить это расстояние из-за огромного количества бомбардировок, которым подвергнется броуновская частица, примерно порядка 10¹⁴ столкновений в секунду.^[2] Таким образом, Эйнштейн был вынужден рассмотреть коллективное движение броуновских частиц.^{[нужна цитата ]}

Он рассматривал приращение положения частиц во времени ${ Displaystyle тау}$ в одномерном (Икс) пространство (с координатами, выбранными так, чтобы начало координат лежало в начальном положении частицы) как случайная величина (${ displaystyle Delta}$) с некоторой функцией плотности вероятности ${ displaystyle varphi ( Delta)}$. Далее, предполагая сохранение числа частиц, он расширил плотность (число частиц в единице объема) во время ${ Displaystyle т + тау}$ в серии Тейлора,

${ Displaystyle { begin {align} rho (x, t) + tau { frac { partial rho (x)} { partial t}} + cdots = rho (x, t + tau) = {} & int _ {- infty} ^ { infty} rho (x- Delta, t) cdot varphi ( Delta) , mathrm {d} Delta = mathbb {E} _ { Delta} [ rho (x- Delta, t)] = {} & rho (x, t) cdot int _ {- infty} ^ { infty} varphi ( Delta ) , d Delta - { frac { partial rho} { partial x}} cdot int _ {- infty} ^ { infty} Delta cdot varphi ( Delta) , mathrm {d} Delta & {} + { frac { partial ^ {2} rho} { partial x ^ {2}}} cdot int _ {- infty} ^ { infty} { frac { Delta ^ {2}} {2}} cdot varphi ( Delta) , mathrm {d} Delta + cdots = {} & rho (x, t) cdot 1 + 0 + { frac { partial ^ {2} rho} { partial x ^ {2}}} cdot int _ {- infty} ^ { infty} { frac { Delta ^ { 2}} {2}} cdot varphi ( Delta) , mathrm {d} Delta + cdots end {align}}}$

где второе равенство в первой строке по определению ${ displaystyle varphi}$. Интеграл в первом члене равен единице по определению вероятности, а второй и другие четные члены (то есть первый и другие нечетные моменты) исчезают из-за пространственной симметрии. То, что осталось, порождает следующее соотношение:

${ displaystyle { frac { partial rho} { partial t}} = { frac { partial ^ {2} rho} { partial x ^ {2}}} cdot int _ {- infty} ^ { infty} { frac { Delta ^ {2}} {2 , tau}} cdot varphi ( Delta) , mathrm {d} Delta + { text {выше- упорядочить четные моменты.}}}$

Где коэффициент после лапласиана, второй момент вероятности смещения ${ displaystyle Delta}$, интерпретируется как массовая диффузия D:

${ Displaystyle D = int _ {- infty} ^ { infty} { frac { Delta ^ {2}} {2 , tau}} cdot varphi ( Delta) , mathrm { d} Delta.}$

Тогда плотность броуновских частиц ρ в точке Икс вовремя т удовлетворяет уравнение диффузии:

${ Displaystyle { frac { partial rho} { partial t}} = D cdot { frac { partial ^ {2} rho} { partial x ^ {2}}},}$

При условии, что N частицы стартуют из начала координат в начальный момент времени т = 0 уравнение диффузии имеет решение

${ displaystyle rho (x, t) = { frac {N} { sqrt {4 pi Dt}}} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {4Dt}}}.}$

Это выражение (которое является нормальное распределение со средним ${ displaystyle mu = 0}$ и дисперсия ${ Displaystyle sigma ^ {2} = 2Dt}$ обычно называется броуновским движением ${ displaystyle B_ {t}}$) позволил Эйнштейну вычислить моменты напрямую. Видно, что первый момент исчезает, а это означает, что броуновская частица с одинаковой вероятностью движется влево и вправо. Второй момент, однако, не исчезает, он задается

${ displaystyle { overline {x ^ {2}}} = 2 , D , t.}$

Это уравнение выражает среднеквадратичное смещение через прошедшее время и коэффициент диффузии. Исходя из этого выражения, Эйнштейн утверждал, что смещение броуновской частицы пропорционально не прошедшему времени, а скорее его квадратному корню.^[10] Его аргумент основан на концептуальном переключении от «ансамбля» броуновских частиц к «единственной» броуновской частице: мы можем говорить об относительном количестве частиц в один момент, а также о времени, которое требуется броуновской частице, чтобы достичь заданной точки.^[12]

Вторая часть теории Эйнштейна связывает константу диффузии с физически измеримыми величинами, такими как средний квадрат смещения частицы в заданный интервал времени. Этот результат позволяет экспериментально определить число Авогадро и, следовательно, размер молекул. Эйнштейн проанализировал динамическое равновесие, устанавливаемое между противостоящими силами. Красота его аргумента состоит в том, что конечный результат не зависит от того, какие силы участвуют в установлении динамического равновесия.

В своей первоначальной трактовке Эйнштейн считал осмотическое давление экспериментируйте, но к тому же выводу можно прийти и другими способами.

Рассмотрим, например, частицы, взвешенные в вязкой жидкости в гравитационном поле. Гравитация заставляет частицы оседать, тогда как диффузия способствует их гомогенизации, перемещая их в области с меньшей концентрацией. Под действием силы тяжести частица приобретает скорость движения вниз v = мкг, куда м - масса частицы, грамм - ускорение свободного падения, а μ это частица мобильность в жидкости. Джордж Стоукс показал, что подвижность сферической частицы радиуса р является ${ displaystyle mu = { tfrac {1} {6 pi eta r}}}$, куда η это динамическая вязкость жидкости. В состоянии динамического равновесия и согласно гипотезе изотермической жидкости частицы распределяются согласно барометрическое распределение

${ displaystyle rho = rho _ {0} e ^ {- { frac {mgh} {k _ { rm {B}} T}}},}$

куда ρ − ρ₀ - разница в плотности частиц, разделенных разницей высот в час, k_B это Постоянная Больцмана (соотношение универсальная газовая постоянная, р, к постоянной Авогадро, N_А), и Т это абсолютная температура.

Равновесное распределение для частиц gamboge показывает тенденцию гранул перемещаться в области с более низкой концентрацией под действием силы тяжести.

Динамическое равновесие устанавливается, потому что чем больше частицы уносятся сила тяжести, тем сильнее тенденция к миграции частиц в области с более низкой концентрацией. Поток определяется выражением Закон Фика,

${ displaystyle J = -D { frac {d rho} {dh}},}$

куда J = ρv. Вводя формулу для ρ, мы находим, что

${ displaystyle v = { frac {Dmg} {k _ { rm {B}} T}}.}$

В состоянии динамического равновесия эта скорость также должна быть равна v = мкг. Оба выражения для v пропорциональны мг, отражая, что вывод не зависит от типа рассматриваемых сил. Аналогичным образом можно получить эквивалентную формулу для одинаковых заряженные частицы заряда q в униформе электрическое поле величины E, куда мг заменяется на электростатическая сила qE. Приравнивание этих двух выражений дает формулу для коэффициента диффузии, не зависящую от мг или же qE или другие подобные силы:

${ displaystyle { frac { overline {x ^ {2}}} {2t}} = D = mu k _ { rm {B}} T = { frac { mu RT} {N _ { text { A}}}} = { frac {RT} {6 pi eta rN _ { text {A}}}}.}.$

Здесь первое равенство следует из первой части теории Эйнштейна, третье равенство следует из определения Постоянная Больцмана в качестве k_B = р / N_А, а четвертое равенство следует из формулы Стокса для подвижности. Измеряя среднеквадратичное смещение за интервал времени вместе с универсальной газовой постоянной р, температура Т, вязкость η, а радиус частицы р, постоянная Авогадро N_А можно определить.

Предложенный Эйнштейном тип динамического равновесия не был новым. Ранее на это указывал Дж. Дж. Томсон^[13] в своей серии лекций в Йельском университете в мае 1903 года, что динамическое равновесие между скоростью, порождаемой градиент концентрации заданная законом Фика, и скорость, обусловленная изменением парциального давления, вызванного движением ионов », дает нам метод определения постоянной Авогадро, которая не зависит от какой-либо гипотезы относительно формы или размера молекул или способа в котором они действуют друг на друга ".^[13]

Выражение, идентичное формуле Эйнштейна для коэффициента диффузии, также было найдено Вальтер Нернст в 1888 г.^[14] в котором он выразил коэффициент диффузии как отношение осмотического давления к отношению сила трения и скорость, с которой он возникает. Первый приравнивался к закон Ван 'т Гоффа в то время как последний был дан Закон Стокса. Он написал ${ displaystyle k '= p_ {0} / k}$ для коэффициента диффузии k ′, куда ${ displaystyle p_ {0}}$ осмотическое давление и k это отношение силы трения к молекулярной вязкости, которое, как он предполагает, дается формулой Стокса для вязкости. Представляем закон идеального газа на единицу объема для осмотического давления, формула становится идентичной формуле Эйнштейна.^[15] Использование закона Стокса в случае Нернста, а также в случае Эйнштейна и Смолуховского не является строго применимым, поскольку не применяется в случае, когда радиус сферы мал по сравнению с длина свободного пробега.^[16]

Сначала предсказания формулы Эйнштейна были опровергнуты серией экспериментов Сведберга в 1906 и 1907 годах, которые дали смещения частиц в 4-6 раз больше предсказанного значения, а также Генри в 1908 году, который обнаружил смещения в 3 раза больше, чем Формула Эйнштейна предсказывала.^[17] Но предсказания Эйнштейна были окончательно подтверждены в серии экспериментов, проведенных Шодесайгом в 1908 году и Перреном в 1909 году. кинетическая теория тепла. По сути, Эйнштейн показал, что движение можно предсказать непосредственно из кинетической модели тепловое равновесие. Важность теории заключалась в том, что она подтвердила описание кинетической теории второй закон термодинамики как по существу статистический закон.^[18]

Смолуховский модель

Смолуховский теория броуновского движения^[19] начинается с той же посылки, что и Эйнштейн, и выводит то же распределение вероятностей ρ(Икс, т) для смещения броуновской частицы вдоль Икс во время т. Таким образом, он получает то же выражение для среднего квадрата смещения: ${ Displaystyle { overline {( Delta x) ^ {2}}}}$. Однако, когда он соотносит это с частицей массы м движется со скоростью ${ displaystyle u}$ который является результатом силы трения, регулируемой законом Стокса, он считает

${ displaystyle { overline {( Delta x) ^ {2}}} = 2Dt = t { frac {32} {81}} { frac {u ^ {2}} { pi mu a}} = t { frac {64} {27}} { frac {{ frac {1} {2}} u ^ {2}} {3 pi mu a}},}$

куда μ - коэффициент вязкости, а ${ displaystyle a}$ - радиус частицы. Связывание кинетической энергии ${ displaystyle u ^ {2} / 2}$ с тепловой энергией RT/N, выражение для среднего квадрата смещения в 64/27 раз больше, чем было найдено Эйнштейном. Фракцию 27/64 прокомментировал Арнольд Зоммерфельд в его некрологии о Смолуховском: «Числовой коэффициент Эйнштейна, который отличается от Смолуховского на 27/64, может быть только подвергнут сомнению».^[20]

Смолуховский^[21] пытается ответить на вопрос, почему броуновская частица должна перемещаться бомбардировкой более мелкими частицами, когда вероятности удара в прямом и заднем направлениях равны. м прибыль и п − м потери после биномиальное распределение,

${ displaystyle P_ {m, n} = { binom {n} {m}} 2 ^ {- n},}$

с равным априори вероятности 1/2, средний общий выигрыш равен

${ displaystyle { overline {2m-n}} = sum _ {m = { frac {n} {2}}} ^ {n} (2m-n) P_ {m, n} = { frac { nn!} {2 ^ {n} left [ left ({ frac {n} {2}} right)! right] ^ {2}}}.}$

Если п достаточно велик, так что приближение Стирлинга можно использовать в виде

${ displaystyle n! приблизительно left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n} { sqrt {2 pi n}},}$

тогда ожидаемый общий выигрыш будет^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle { overline {2m-n}} приблизительно { sqrt { frac {2n} { pi}}},}$

показывая, что он увеличивается как квадратный корень от общей численности населения.

Предположим, что броуновская частица массы M окружен более легкими частицами массы м которые движутся со скоростью ты. Тогда, рассуждает Смолуховский, при любом столкновении между окружающей и броуновской частицами скорость, передаваемая последней, будет равна му/M. Это отношение порядка 10⁻⁷ см / с. Но мы также должны учитывать, что в газе будет более 10¹⁶ столкновений в секунду, и даже больше в жидкости, где мы ожидаем, что будет 10²⁰ столкновение за одну секунду. Некоторые из этих столкновений будут иметь тенденцию ускорять броуновскую частицу; другие будут стремиться замедлить его. Если среднее превышение одного или другого вида столкновения составляет порядка 10⁸ до 10¹⁰ столкновения за одну секунду, то скорость броуновской частицы может быть где-то между 10 и 1000 см / с. Таким образом, несмотря на то, что вероятность прямого и обратного столкновения равна, будет иметь место общая тенденция к удержанию броуновской частицы в движении, как и предсказывает теорема голосования.

Эти порядки величины не точны, потому что они не принимают во внимание скорость броуновской частицы, U, который зависит от столкновений, которые приводят к его ускорению и замедлению. Чем больше U То есть тем больше будет столкновений, которые замедлят его, так что скорость броуновской частицы никогда не может увеличиваться без ограничений. Если бы такой процесс произошел, он был бы равносилен вечному двигателю второго типа. А поскольку применяется равнораспределение энергии, кинетическая энергия броуновской частицы ${ displaystyle MU ^ {2} / 2}$, будет в среднем равняться кинетической энергии окружающей жидкой частицы, ${ displaystyle mu ^ {2} / 2}$.

В 1906 году Смолуховский опубликовал одномерную модель для описания частицы, совершающей броуновское движение.^[22] Модель предполагает столкновения с M ≫ м куда M - масса пробной частицы и м масса одной из отдельных частиц, составляющих жидкость. Предполагается, что столкновения частиц ограничены одним измерением и что пробная частица с равной вероятностью может быть поражена как слева, так и справа. Также предполагается, что каждое столкновение всегда дает одну и ту же величину ΔV. Если N_р количество столкновений справа и N_L количество столкновений слева, затем после N при столкновении скорость частицы изменится на ΔV(2N_р − N). В множественность тогда просто дается:

${ displaystyle { binom {N} {N _ { rm {R}}}} = { frac {N!} {N _ { rm {R}}! (N-N _ { rm {R}}) !}}}$

а общее количество возможных состояний равно 2^N. Следовательно, вероятность попадания частицы справа N_р раз:

${ displaystyle P_ {N} (N _ { rm {R}}) = { frac {N!} {2 ^ {N} N _ { rm {R}}! (N-N _ { rm {R} })!}}}$

В результате своей простоты одномерная модель Смолуховского может только качественно описывать броуновское движение. Для реалистичной частицы, совершающей броуновское движение в жидкости, многие предположения неприменимы. Например, предположение о том, что в среднем происходит одинаковое количество столкновений справа и слева, разваливается, когда частица находится в движении. Кроме того, было бы распределение различных возможных ΔVs вместо всегда одного в реальной ситуации.

Другие физические модели, использующие уравнения в частных производных

В уравнение диффузии дает приближение временной эволюции функция плотности вероятности связанный с положением частицы, находящейся под броуновским движением согласно физическому определению. Приближение действительно на короткая сроки.

Временную эволюцию положения самой броуновской частицы лучше всего описать с помощью Уравнение Ланжевена, уравнение, которое включает случайное силовое поле, представляющее влияние тепловые колебания растворителя на частице.

Смещение частицы, совершающей броуновское движение, получается путем решения уравнение диффузии при соответствующих граничных условиях и нахождение среднеквадратичное значение решения. Это показывает, что смещение изменяется как квадратный корень из времени (а не линейно), что объясняет, почему предыдущие экспериментальные результаты, касающиеся скорости броуновских частиц, дали бессмысленные результаты. Неправильно предполагалась линейная зависимость от времени.

Однако на очень коротких временных масштабах движение частицы определяется ее инерцией, и ее перемещение будет линейно зависеть от времени: ΔИкс = vΔт. Таким образом, мгновенную скорость броуновского движения можно измерить как v = ΔИкс/ Δт, когда Δт << τ, куда τ - время релаксации импульса. В 2010 году мгновенная скорость броуновской частицы (стеклянной микросферы, запертой в воздухе с оптический пинцет ) был успешно измерен.^[23] Данные скорости подтвердили Распределение Максвелла – Больцмана по скоростям, и теорема о равнораспределении для броуновской частицы.

Астрофизика: движение звезд в галактиках

В звездная динамика, массивное тело (звезда, черная дыра и т. д.) может испытывать броуновское движение при ответе на гравитационные силы от окружающих звезд.^[24] Среднеквадратичная скорость V массивного объекта, массы M, связана со среднеквадратичной скоростью ${ displaystyle v _ { star}}$ фоновых звезд

${ displaystyle MV ^ {2} приблизительно mv _ { star} ^ {2}}$

куда ${ displaystyle m ll M}$ - масса звезд фона. Гравитационная сила массивного объекта заставляет близлежащие звезды двигаться быстрее, чем в противном случае, увеличивая оба ${ displaystyle v _ { star}}$ и V.^[24] Броуновская скорость Sgr A *, то огромная черная дыра в центре Млечный путь, прогнозируется по этой формуле менее 1 км s⁻¹.^[25]

Математика

Воспроизвести медиа

Анимированный пример броуновского движения случайная прогулка на тор. в предел масштабирования случайное блуждание приближается к винеровскому процессу согласно Теорема Донскера.

В математика, Броуновское движение описывается Винеровский процесс, непрерывное время случайный процесс назван в честь Норберт Винер. Это один из самых известных Леви процессы (càdlàg случайные процессы с стационарный независимые приращения ) и часто встречается в чистой и прикладной математике, экономика и физика.

Единственная реализация трехмерного броуновского движения для времен 0 ≤т ≤ 2

Винеровский процесс W_т характеризуется четырьмя фактами:^{[нужна цитата ]}

1. W₀ = 0
2. W_т является почти наверняка непрерывный
3. W_т имеет независимые приращения
4. ${ displaystyle W_ {t} -W_ {s} sim { mathcal {N}} (0, t-s)}$ (за ${ displaystyle 0 leq s leq t}$).

${ Displaystyle { mathcal {N}} ( mu, sigma ^ {2})}$ обозначает нормальное распределение с ожидаемое значение μ и отклонение σ². Условие наличия независимых приращений означает, что если ${ displaystyle 0 leq s_ {1}$ тогда ${ displaystyle W_ {t_ {1}} - W_ {s_ {1}}}$ и ${ displaystyle W_ {t_ {2}} - W_ {s_ {2}}}$ являются независимыми случайными величинами.

Альтернативной характеристикой винеровского процесса является так называемая Леви характеристика это говорит о том, что винеровский процесс почти наверняка непрерывный мартингейл с W₀ = 0 и квадратичная вариация ${ displaystyle [W_ {t}, W_ {t}] = t}$.

Третья характеристика заключается в том, что винеровский процесс имеет спектральное представление в виде синусоидального ряда, коэффициенты которого независимы. ${ Displaystyle { mathcal {N}} (0,1)}$ случайные переменные. Это представление можно получить, используя Теорема Карунена – Лоэва.

Винеровский процесс можно построить как предел масштабирования из случайная прогулка или другие случайные процессы с дискретным временем со стационарными независимыми приращениями. Это известно как Теорема Донскера. Как и случайное блуждание, винеровский процесс повторяется в одном или двух измерениях (что означает, что он почти наверняка возвращается к любому фиксированному район происхождения бесконечно часто), тогда как он не повторяется в трех измерениях и выше. В отличие от случайного блуждания, это масштабный инвариант.

Временную эволюцию положения самой броуновской частицы можно приблизительно описать Уравнение Ланжевена, уравнение, которое включает случайное силовое поле, представляющее влияние тепловые колебания растворителя на броуновской частице. В долгосрочной перспективе математическое броуновское движение хорошо описывается уравнением Ланжевена. В короткие сроки, инерционный эффекты преобладают в уравнении Ланжевена. Однако математическая Броуновское движение не подвержен таким инерционным эффектам. В уравнении Ланжевена необходимо учитывать инерционные эффекты, иначе уравнение станет сингулярным.^{[требуется разъяснение ]} чтобы просто удалить инерция Член этого уравнения не даст точного описания, а скорее даст сингулярное поведение, при котором частица вообще не движется.^{[требуется разъяснение ]}

Статистика

Броуновское движение можно смоделировать случайным блужданием.^[26] Случайные блуждания в пористой среде или фракталах аномальны.^[27]

В общем случае броуновское движение есть немарковский случайный процесс и описан стохастические интегральные уравнения.^[28]

Леви характеристика

Французский математик Поль Леви доказал следующую теорему, которая дает необходимое и достаточное условие непрерывности р^п-значный случайный процесс Икс на самом деле быть п-мерное броуновское движение. Следовательно, условие Леви может фактически использоваться как альтернативное определение броуновского движения.

Позволять Икс = (Икс₁, ..., Икс_п) - непрерывный случайный процесс на вероятностное пространство (Ω, Σ,п) принимая значения в р^п. Тогда следующие эквиваленты:

1. Икс является броуновским движением относительно п, т.е. закон Икс относительно п то же самое, что и закон п-мерное броуновское движение, т.е. проталкивающая мера Икс_∗(п) является классическая мера Винера на C₀([0, +∞); р^п).
2. обе
   1. Икс это мартингейл относительно п (и свой естественная фильтрация ); и
   2. для всех 1 ≤я, j ≤ п, Икс_я(т)Икс_j(т) −δ_ijт является мартингалом относительно п (и свой естественная фильтрация ), куда δ_ij обозначает Дельта Кронекера.

Спектральное содержание

Спектральное содержание случайного процесса ${ displaystyle X_ {t}}$можно найти в спектральная плотность мощности, формально определяемый как

${ Displaystyle S ( omega) = lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} mathbb {E} left { left | int _ {0} ^ {T } e ^ {i omega t} X_ {t} dt right | ^ {2} right }}$,

куда ${ displaystyle mathbb {E}}$ стоит за ожидаемое значение. Спектральная плотность мощности броуновского движения равна^[29]

${ displaystyle S_ {BM} ( omega) = { frac {4D} { omega ^ {2}}}}$.

куда ${ displaystyle D}$ это коэффициент диффузии из ${ displaystyle X_ {t}}$. Для естественных сигналов спектральный состав может быть найден по спектральной плотности мощности одной реализации с конечным доступным временем, т. Е.

${ Displaystyle S ^ {(1)} ( omega, T) = { frac {1} {T}} left | int _ {0} ^ {T} e ^ {я omega t} X_ { t} dt right | ^ {2}}$,

что для индивидуальной реализации траектории броуновского движения,^[30] обнаружено, что оно имеет ожидаемое значение ${ displaystyle mu _ {BM} ( omega, T)}$

${ displaystyle mu _ {BM} ( omega, T) = { frac {4D} { omega ^ {2}}} left [1 - { frac { sin left ( omega T right )} { omega T}} right]}$

и отклонение ${ Displaystyle sigma _ {BM} ^ {2} ( omega, T)}$^[30]

${ Displaystyle sigma _ {S} ^ {2} (е, T) = mathbb {E} left { left (S_ {T} ^ {(j)} (f) right) ^ {2 } right } - mu _ {S} ^ {2} (f, T) = { frac {20D ^ {2}} {f ^ {4}}} { Bigg [} 1 - { Big (} 6- cos left (fT right) { Big)} { frac {2 sin left (fT right)} {5fT}} + { frac {{ Big (} 17- cos left (2fT right) -16 cos left (fT right) { Big)}} {10f ^ {2} T ^ {2}}} { Bigg]}}$.

При достаточно длительных временах реализации ожидаемое значение спектра мощности одиночной траектории сходится к формально определенной спектральной плотности мощности ${ Displaystyle S ( omega)}$, но его коэффициент вариации ${ displaystyle gamma = { sqrt { sigma ^ {2}}} / mu}$ как правило ${ displaystyle { sqrt {5}} / 2}$. Отсюда следует распределение ${ Displaystyle S ^ {(1)} ( omega, T)}$широка даже в бесконечном временном ограничении.

Риманово многообразие

Броуновское движение на сфере

Эта секция может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Июнь 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В бесконечно малый генератор (и, следовательно, характеристический оператор) броуновского движения на р^п легко вычисляется как ½Δ, где Δ обозначает Оператор Лапласа. В обработка изображений и компьютерное зрение, оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как blob и обнаружение края. Это наблюдение полезно при определении броуновского движения на м-размерный Риманово многообразие (M, грамм): а Броуновское движение на M определяется как распространение на M чей характеристический оператор ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ в местных координатах Икс_я, 1 ≤ я ≤ м, определяется как ½Δ_ФУНТ, где Δ_ФУНТ это Оператор Лапласа – Бельтрами задано в местных координатах

${ displaystyle Delta _ { mathrm {LB}} = { frac {1} { sqrt { det (g)}}} sum _ {i = 1} ^ {m} { frac { partial } { partial x_ {i}}} left ({ sqrt { det (g)}} sum _ {j = 1} ^ {m} g ^ {ij} { frac { partial} { частичный x_ {j}}} right),}$

куда [грамм^ij] = [грамм_ij]⁻¹ в смысле обратная квадратная матрица.

Узкий побег

В узкая проблема побега является повсеместной проблемой в биологии, биофизике и клеточной биологии, которая имеет следующую формулировку: броуновская частица (ион, молекула, или же белок ) ограничен ограниченной областью (отсеком или ячейкой) отражающей границей, за исключением небольшого окна, через которое он может выйти. Узкая проблема ухода - это вычисление среднего времени ухода. На этот раз расходится по мере уменьшения окна, таким образом делая расчет сингулярное возмущение проблема.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Brown, Robert (1828). "A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies" (PDF). Философский журнал. 4 (21): 161–173. Дои:10.1080/14786442808674769. Also includes a subsequent defense by Brown of his original observations, Additional remarks on active molecules.
• Chaudesaigues, M. (1908). "Le mouvement brownien et la formule d'Einstein" [Brownian motion and Einstein's formula]. Comptes Rendus (На французском). 147: 1044–6.
• Clark, P. (1976). "Atomism versus thermodynamics". In Howson, Colin (ed.). Method and appraisal in the physical sciences. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521211109.
• Cohen, Ruben D. (1986). "Self Similarity in Brownian Motion and Other Ergodic Phenomena" (PDF). Журнал химического образования. 63 (11): 933–934. Bibcode:1986JChEd..63..933C. Дои:10.1021/ed063p933.
• Dubins, Lester E.; Schwarz, Gideon (15 May 1965). "On Continuous Martingales". Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 53 (3): 913–916. Bibcode:1965PNAS...53..913D. Дои:10.1073/pnas.53.5.913. JSTOR  72837. ЧВК  301348. PMID  16591279.
• Einstein, A. (1956). Исследования по теории броуновского движения. New York: Dover. ISBN  978-0-486-60304-9. Получено 6 января 2014.
• Henri, V. (1908). "Études cinématographique du mouvement brownien" [Cinematographic studies of Brownian motion]. Comptes Rendus (in French) (146): 1024–6.
• Лукреций, On The Nature of Things, переведено Уильям Эллери Леонард. (on-line version, из Проект Гутенберг. See the heading 'Atomic Motions'; this translation differs slightly from the one quoted).
• Nelson, Edward, (1967). Dynamical Theories of Brownian Motion. (PDF version of this out-of-print book, from the author's webpage.) This is primarily a mathematical work, but the first four chapters discuss the history of the topic, in the era from Brown to Einstein.
• Pearle, P.; Collett, B.; Bart, K.; Bilderback, D.; Newman, D.; Samuels, S. (2010). "What Brown saw and you can too". Американский журнал физики. 78 (12): 1278–1289. arXiv:1008.0039. Bibcode:2010AmJPh..78.1278P. Дои:10.1119/1.3475685. S2CID  12342287.
• Perrin, J. (1909). "Mouvement brownien et réalité moléculaire" [Brownian movement and molecular reality]. Анналы химии и тела. 8-я серия. 18: 5–114.
  • See also Perrin's book "Les Atomes" (1914).
• von Smoluchowski, M. (1906). "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen". Annalen der Physik. 21 (14): 756–780. Bibcode:1906AnP...326..756V. Дои:10.1002/andp.19063261405.
• Svedberg, T. (1907). Studien zur Lehre von den kolloiden Losungen.
• Theile, T. N.
  • Danish version: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en ‘systematisk’ Karakter".
  • French version: "Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" published simultaneously in Виденск. Сельск. Skr. 5. Rk., naturvid. og mat. Afd., 12:381–408, 1880.

внешняя ссылка

• Einstein on Brownian Motion
• Discusses history, botany and physics of Brown's original observations, with videos
• "Einstein's prediction finally witnessed one century later" : a test to observe the velocity of Brownian motion
• Large-Scale Brownian Motion Demonstration