Càdlàg - Càdlàg

В математика, а càdlàg (Французский: "продолжить à droite, limit à gauche"), RCLL ("продолжение справа с левыми пределами"), или Corlol («непрерывная справа, предел слева») - это функция, определенная на действительные числа (или подмножество из них), что везде непрерывный вправо и ушел пределы повсюду. Càdlàg функции важны при изучении случайные процессы которые допускают (или даже требуют) прыжки, в отличие от Броуновское движение, который имеет непрерывные пути выборки. Коллекция функций càdlàg на заданном домен известен как Скороход космос.

Два связанных термина: càglàd, что означает "continue à gauche, limite à droite", левый-правый разворот càdlàg, и càllàl для «continue à l'un, limite à l’autre» (непрерывный с одной стороны, предел с другой стороны) для функции, которая взаимозаменяемо либо càdlàg, либо càglàd в каждой точке домена.

Определение

Кумулятивные функции распределения являются примерами функций càdlàg.

Позволять (M, d) быть метрическое пространство, и разреши E ⊆ р. Функция ƒ: E → M называется функция càdlàg если для каждого т ∈ E,

• в левый предел ƒ(t−): = lim_{с ↑ т} ƒ(s) существуют; и
• в правильный предел ƒ(т +): = lim_{с ↓ т} ƒ(s) существует и равно ƒ(т).

То есть, ƒ непрерывна справа с левыми пределами.

Примеры

• Все функции, непрерывные на подмножестве действительных чисел, являются функциями управления на этом подмножестве.
• Вследствие их определения все кумулятивные функции распределения являются càdlàg функциями. Например, кумулятивная в точке ${ displaystyle r}$ соответствуют вероятности быть ниже или равной, чем ${ displaystyle r}$, а именно ${ Displaystyle mathbb {P} [х leq r]}$. Другими словами, полуоткрытый интервал вызывает озабоченность по поводу двустороннего распределения ${ displaystyle (- infty, r]}$ закрыто вправо.
• Правильная производная ${ displaystyle f _ {+} ^ { prime}}$ любой выпуклая функция ж определенная на открытом интервале, является возрастающей функцией кадлага.

Скороход космос

Эта секция не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить этот раздел к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: "Càdlàg"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Май 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Набор всех функций càdlàg из E к M часто обозначается как D(E; M) (или просто D) и называется Скороход космос после Украинский математик Анатолий Скороход. Пространству Скорохода можно присвоить топология что интуитивно позволяет нам "немного покачивать пространство и время" (тогда как традиционная топология равномерное схождение только позволяет нам "немного покачать пространство"). Для простоты возьмем E = [0, Т] и M = р^п - см. Биллингсли для более общей конструкции.

Сначала мы должны определить аналог модуль непрерывности, ϖ ′_ƒ(δ). Для любого F ⊆ E, набор

${ Displaystyle w_ {е} (F): = sup _ {s, t in F} | f (s) -f (t) |}$

и для δ > 0определить càdlàg модуль быть

${ displaystyle varpi '_ {f} ( delta): = inf _ { Pi} max _ {1 leq i leq k} w_ {f} ([t_ {i-1}, t_ { я})),}$

где инфимум проходит по всем разделам Π = {0 = т₀ < т₁ < … < т_k = T}, k ∈ N, с мин_я (т_я - т_я−1) > δ. Это определение имеет смысл для не-càdlàg ƒ (точно так же, как обычный модуль непрерывности имеет смысл для разрывных функций), и можно показать, что ƒ это càdlàg если и только если ϖ ′_ƒ(δ) → 0 в качестве δ → 0.

Обозначим теперь через Λ множество всех строго возрастающий, непрерывный биекции из E самому себе (это «покачивания во времени»). Позволять

${ Displaystyle | е |: = sup _ {т in E} | е (т) |}$

обозначим равномерную норму функций на E. Определить Метрика Скорохода σ на D к

${ Displaystyle sigma (е, г): = inf _ { лямбда в лямбда} макс { | лямбда -I |, | f-g circ лямбда | },}$

куда я: E → E - функция тождества. С точки зрения интуиции "покачивания", ||λ - я|| измеряет размер «покачивания во времени», и ||ƒ - г ○ λ|| измеряет размер «покачивания в пространстве».

Можно показать, что Скороход метрика действительно метрика. Топология Σ, порожденная σ называется Топология Скорохода на D.

Свойства пространства Скорохода

Обобщение равномерной топологии

Космос C непрерывных функций на E это подпространство из D. Топология Скорохода, релятивизированная к C там совпадает с равномерной топологией.

Полнота

Можно показать, что хотя D это не полное пространство относительно метрики Скорохода σ, Существует топологически эквивалентная метрика σ₀ относительно которого D завершено.^[1]

Отделимость

Что касается либо σ или же σ₀, D это отделяемое пространство. Таким образом, пространство Скорохода является Польское пространство.

Герметичность в пространстве Скорохода

По заявлению Теорема Арцела – Асколи, можно показать, что последовательность (μ_п)_п=1,2,... из вероятностные меры на пространстве Скорохода D является в обтяжку тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:

${ displaystyle lim _ {a to infty} limsup _ {n to infty} mu _ {n} { big (} {f in D ; | ; | f | geq a } { big)} = 0,}$

и

${ displaystyle lim _ { delta to 0} limsup _ {n to infty} mu _ {n} { big (} {f in D ; | ; varpi '_ { f} ( delta) geq varepsilon } { big)} = 0 { text {для всех}} varepsilon> 0.}$

Алгебраическая и топологическая структура

При топологии Скорохода и поточечном сложении функций D не является топологической группой, как видно из следующего примера:

Позволять ${ displaystyle E = [0,2)}$ быть единичным интервалом и взять ${ displaystyle f_ {n} = chi _ {[1-1 / n, 2)} in D}$ быть последовательностью характеристических функций, несмотря на то, что ${ displaystyle f_ {n} rightarrow chi _ {[1,2)}}$ в топологии Скорохода последовательность ${ displaystyle f_ {n} - chi _ {[1,2)}}$ не сходится к 0.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-00710-2.
• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер.. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-19745-9.