Настоящий номер - Real number

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Апрель 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Символ для набора действительных чисел

В математика, а настоящий номер является значением непрерывного количество который может представлять расстояние вдоль линия (или, альтернативно, количество, которое может быть представлено как бесконечное десятичное разложение ). Прилагательное настоящий в этом контексте был введен в 17 веке Рене Декарт, которые различали настоящие и воображаемый корни из многочлены. Реальные числа включают все рациональное число, такой как целое число −5 и дробная часть 4/3, и все иррациональные числа, Такие как √2 (1.41421356 ..., то квадратный корень из 2, иррациональное алгебраическое число ). В число иррациональных входят трансцендентные числа, Такие как π (3.14159265...).^[1] Помимо измерения расстояния, вещественные числа могут использоваться для измерения таких величин, как время, масса, энергия, скорость и многое другое. Набор действительных чисел обозначается с помощью символа р или же ${ Displaystyle mathbb {R}}$.^[2][3]

Действительные числа можно рассматривать как точки на бесконечно длинном линия называется числовая строка или же реальная линия, где точки, соответствующие целые числа равномерно разнесены. Любое действительное число можно определить с помощью возможно бесконечного десятичное представление, например, 8.632, где каждая следующая цифра измеряется в единицах, составляющих одну десятую размера предыдущей. В реальная линия можно рассматривать как часть комплексная плоскость, а действительные числа можно рассматривать как часть сложные числа.

Действительные числа можно рассматривать как точки на бесконечно длинном числовая строка

Эти описания действительных чисел не являются достаточно строгими по современным стандартам чистой математики. Открытие подходящего строгого определения действительных чисел - действительно, осознание необходимости лучшего определения - было одним из наиболее важных достижений математики XIX века. Текущее стандартное аксиоматическое определение состоит в том, что действительные числа образуют уникальную Дедекинд-полный упорядоченное поле (р ; + ; · ; <), вплоть до ан изоморфизм,^[а] в то время как популярные конструктивные определения действительных чисел включают объявление их как классы эквивалентности из Последовательности Коши (рациональных чисел), Дедекинд сокращает, или бесконечное десятичные представления вместе с точными интерпретациями арифметических операций и отношения порядка. Все эти определения удовлетворяют аксиоматическому определению и поэтому эквивалентны.

Набор всех действительных чисел бесчисленный, в том смысле, что в то время как набор всех натуральные числа и набор всех действительных чисел бесконечные множества, не может быть индивидуальная функция от действительных чисел к натуральным числам. Фактически, мощность множества всех действительных чисел, обозначаемых ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$ и назвал мощность континуума,^[2] строго больше, чем мощность множества всех натуральных чисел (обозначаемых ${ displaystyle aleph _ {0}}$, 'алеф-ничто'^[2]).

Утверждение о том, что не существует подмножества вещественных чисел с мощностью строго больше, чем ${ displaystyle aleph _ {0}}$ и строго меньше, чем ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$ известен как гипотеза континуума (CH). Как известно, это нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью аксиом Теория множеств Цермело – Френкеля в том числе аксиома выбора (ZFC) - стандартная основа современной математики. Фактически, одни модели ZFC удовлетворяют CH, а другие его нарушают.

История

Действительные числа (ℝ) включают рациональное число (ℚ), которые включают целые числа (ℤ), которые, в свою очередь, включают натуральные числа (ℕ)

Простые дроби использовались Египтяне около 1000 г. до н.э .; то Ведический "Шульба Сутры "(" Правила аккордов ") в, c. 600 г. до н.э., укажите, что может быть первым "использованием" иррациональные числа. Концепция иррациональности была безоговорочно принята ранними Индийские математики Такие как Манава (c. 750–690 до н.э.), которые знали, что квадратные корни некоторых чисел, таких как 2 и 61, невозможно точно определить.^[4] Около 500 г. до н.э. Греческие математики во главе с Пифагор осознал необходимость иррациональных чисел, в частности иррациональность квадратный корень из 2.

В Средний возраст привело к принятию нуль, отрицательные числа, целые числа, и дробный числа, сначала Индийский и Китайские математики, а затем Арабские математики, которые также первыми стали рассматривать иррациональные числа как алгебраические объекты (последнее стало возможным благодаря развитию алгебры).^[5] Арабские математики объединили понятия "номер " и "величина "в более общее представление о действительных числах.^[6] Египетский математик Абу Камил Шуджа ибн Аслам (c. 850–930) был первым, кто принял иррациональные числа как решение квадратные уравнения, или как коэффициенты в уравнение (часто в виде квадратных корней, кубические корни и четвертые корни ).^[7]

В 16 веке Саймон Стевин создали основу для современных десятичный обозначение и настаивал на том, что в этом отношении нет разницы между рациональными и иррациональными числами.

В 17 веке Декарт ввел термин «реальные» для описания корней многочлена, отличая их от «мнимых».

В XVIII и XIX веках было много работ по иррациональному и трансцендентные числа. Иоганн Генрих Ламберт (1761 г.) дал первое ошибочное доказательство того, что π не может быть рациональным; Адриан-Мари Лежандр (1794) завершил доказательство,^[8] и показал, что π не является квадратным корнем из рационального числа.^[9] Паоло Руффини (1799) и Нильс Хенрик Абель (1842) оба построили доказательства Теорема Абеля – Руффини: что генерал квинтик или более высокие уравнения не могут быть решены с помощью общей формулы, включающей только арифметические операции и корни.

Эварист Галуа (1832) разработал методы определения того, можно ли решить данное уравнение с помощью радикалов, что привело к появлению области Теория Галуа. Джозеф Лиувиль (1840) показал, что ни е ни е² может быть корнем целого числа квадратное уровненеие, а затем установил существование трансцендентных чисел; Георг Кантор (1873) расширил и значительно упростил это доказательство.^[10] Чарльз Эрмит (1873) впервые доказал, что е трансцендентен, и Фердинанд фон Линдеманн (1882) показал, что π трансцендентен. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885 г.), а еще дальше - Дэвид Гильберт (1893), и, наконец, был сделан элементарным Адольф Гурвиц^[11] и Пол Гордан.^[12]

Развитие исчисление в 18 веке использовали весь набор действительных чисел, не дав их строгое определение. Первое строгое определение было опубликовано Георг Кантор в 1871 году. В 1874 году он показал, что множество всех действительных чисел бесчисленное множество, но набор всех алгебраические числа является счетно бесконечный. Вопреки широко распространенному мнению, его первый метод не был его знаменитым. диагональный аргумент, который он опубликовал в 1891 году. Подробнее см. Первое доказательство несчетности Кантора.

Определение

Реальная система счисления ${ Displaystyle ( mathbf {R}; {} + {}; {} cdot {}; {} <{})}$ можно определить аксиоматически до изоморфизм, который описан ниже. Существует также много способов построения «» действительной системы счисления, и популярный подход включает в себя начало с натуральных чисел, затем определение рациональных чисел алгебраически и, наконец, определение действительных чисел как классов эквивалентности их Последовательности Коши или как Дедекинд сокращает, которые являются некоторыми подмножествами рациональных чисел. Другой подход - начать с некоторой строгой аксиоматизации евклидовой геометрии (скажем, Гильберта или Тарского), а затем определить геометрическую систему счисления. Было показано, что все эти конструкции действительных чисел эквивалентны в том смысле, что получающиеся системы счисления являются изоморфный.

Аксиоматический подход

Позволять р обозначить набор всех действительных чисел, тогда:

• Набор р это поле, означающий, что добавление и умножение определены и имеют обычные свойства.
• Поле р является упорядоченный, что означает наличие общий заказ ≥ такое, что для всех действительных чисел Икс, у и z:
  • если Икс ≥ у, тогда Икс + z ≥ у + z;
  • если Икс ≥ 0 и у ≥ 0, то ху ≥ 0.
• Порядок Дедекинд-полный, что означает, что каждый непустой подмножество S из р с верхняя граница в р имеет наименьшая верхняя граница (a.k.a., супремум) в р.

Последнее свойство - это то, что отличает реальные числа от реальных. рациональные (и из другие более экзотические упорядоченные поля ). Например, набор рациональных чисел с квадратом меньше 2 имеет рациональные верхние границы (например, 1,42), но не имеет рациональных наименее верхняя граница, поскольку квадратный корень 2 не рационально.

Эти свойства подразумевают Архимедова собственность (что не подразумевается другими определениями полноты), в котором говорится, что набор целые числа не имеет верхней границы в вещественных числах. Фактически, если бы это было ложно, то целые числа имели бы наименьшую верхнюю границу N; тогда, N - 1 не будет верхней границей, а будет целое число п такой, что п > N – 1, и поэтому п + 1 > N, что противоречит свойству оценки сверху N.

Действительные числа однозначно задаются указанными выше свойствами. Точнее, для любых двух полных по Дедекинду упорядоченных полей р₁ и р₂, существует единственное поле изоморфизм из р₁ к р₂. Эта уникальность позволяет нам думать о них как об одном и том же математическом объекте.

По поводу другой аксиоматизации см. Аксиоматизация действительных чисел Тарским.

Построение из рациональных чисел

Действительные числа могут быть построены как завершение рациональных чисел таким образом, чтобы последовательность, определяемая десятичным или двоичным расширением, например (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) сходится к уникальному действительному числу - в данном случае π. Подробнее и другие конструкции действительных чисел см. построение действительных чисел.

Характеристики

Основные свойства

• Любые не-нуль реальное число либо отрицательный или же положительный.
• Сумма и произведение двух неотрицательных действительных чисел снова являются неотрицательными действительными числами, т. Е. Они замкнуты при этих операциях и образуют положительный конус, тем самым порождая линейный порядок реальных чисел вдоль числовая строка.
• Реальные числа составляют бесконечный набор чисел, которые не могут быть инъективно сопоставлен с бесконечным множеством натуральные числа, т.е. есть бесчисленно бесконечно много действительных чисел, тогда как натуральные числа называются счетно бесконечный. Это устанавливает, что в некотором смысле существуют более действительные числа, чем количество элементов в любом счетном множестве.
• Существует иерархия счетно бесконечных подмножеств действительных чисел, например, целые числа, то рациональные, то алгебраические числа и вычислимые числа, каждый набор является надлежащим подмножеством следующего в последовательности. В дополняет всех этих наборов (иррациональный, трансцендентный, и невычислимые действительные числа) по отношению к действительным числам, являются бесчисленными бесконечными множествами.
• Реальные числа могут использоваться для выражения измерения из непрерывный количества. Они могут быть выражены десятичные представления, большинство из них имеют бесконечную последовательность цифр справа от десятичная точка; они часто представлены как 324.823122147 ..., где многоточие (три точки) означает, что будут еще цифры. Это намекает на то, что мы можем точно обозначить только несколько выбранных действительных чисел конечным числом символов.

Более формально, действительные числа обладают двумя основными свойствами: упорядоченное поле, и имея наименьшая верхняя граница свойство. Первый говорит, что действительные числа составляют поле, со сложением и умножением, а также делением на ненулевые числа, которые могут быть полностью заказанный на числовой прямой способом, совместимым со сложением и умножением. Второй говорит, что если непустой набор действительных чисел имеет верхняя граница, тогда это настоящий наименьшая верхняя граница. Второе условие отличает действительные числа от рациональных: например, набор рациональных чисел, квадрат которых меньше 2, является набором с верхней границей (например, 1,5), но без (рациональной) наименьшей верхней границы: следовательно, рациональные числа не удовлетворяют свойству наименьшей верхней границы.

Полнота

Основная причина использования действительных чисел заключается в том, что они содержат все пределы. Точнее, последовательность действительных чисел имеет предел, который является действительным числом, если (и только если) ее элементы в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близкими друг к другу. Это формально определено ниже и означает, что действительные числа равны полный (в смысле метрические пространства или же равномерные пространства, что отличается от дедекиндовской полноты порядка в предыдущем разделе). :

А последовательность (Икс_п) действительных чисел называется Последовательность Коши если для любого ε> 0 существует целое число N (возможно, в зависимости от ε) такие, что расстояние |Икс_п − Икс_м| меньше ε для всех п и м которые оба больше, чем N. Это определение, первоначально предоставленное Коши, формализует тот факт, что Икс_п в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близкими друг к другу.

Последовательность (Икс_п) сходится к пределу Икс если его элементы в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близкими к Икс, то есть если для любого ε> 0 существует целое число N (возможно, в зависимости от ε) такое, что расстояние |Икс_п − Икс| меньше ε для п лучше чем N.

Каждая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши, и обратное верно для действительных чисел, и это означает, что топологическое пространство реальных чисел завершено.

Набор рациональных чисел не полный. Например, последовательность (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...), где каждый член добавляет цифру десятичного разложения положительного квадратный корень числа 2, является Коши, но не сходится к рациональному числу (в действительных числах, напротив, сходится к положительному числу квадратный корень из 2).

Свойство полноты вещественных чисел является основой, на которой исчисление, и в более общем плане математический анализ построены. В частности, проверка того, что последовательность является последовательностью Коши, позволяет доказать, что последовательность имеет предел, не вычисляя его и даже не зная об этом.

Например, стандартная серия экспоненциальная функция

${ displaystyle e ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}}}$

сходится к действительному числу для каждого Икс, потому что суммы

${ displaystyle sum _ {n = N} ^ {M} { frac {x ^ {n}} {n!}}}$

можно сделать сколь угодно малым (независимо от M) выбрав N достаточно большой. Это доказывает, что последовательность коши, и, таким образом, сходится, показывая, что ${ displaystyle e ^ {x}}$ хорошо определено для каждого Икс.

«Полное упорядоченное поле»

Действительные числа часто описываются как «полное упорядоченное поле», фраза, которую можно интерпретировать по-разному.

Во-первых, заказ может быть решетчатый. Легко видеть, что никакое упорядоченное поле не может быть решеточно-полным, потому что оно не может иметь наибольшего элемента (для любого элемента z, z + 1 больше), так что это не тот смысл, который имеется в виду.

Дополнительно заказ может быть Дедекинд-полный, как определено в разделе Аксиомы. Результат уникальности в конце этого раздела оправдывает использование слова «the» во фразе «полное упорядоченное поле», когда имеется в виду смысл «полного». Это ощущение полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из дедекиндовских разрезов, поскольку это построение начинается с упорядоченного поля (рациональных чисел) и затем стандартным образом формирует его дедекиндовое завершение.

Эти два понятия полноты игнорируют структуру поля. Однако упорядоченная группа (в данном случае аддитивная группа поля) определяет униформа структура, и однородные структуры имеют понятие полнота; описание в предыдущем разделе Полнота это особый случай. (Мы ссылаемся на понятие полноты в равномерных пространствах, а не на родственное и более известное понятие для метрические пространства, поскольку определение метрического пространства опирается на уже имеющуюся характеристику действительных чисел.) Неверно, что р это Только равномерно полное упорядоченное поле, но это единственное равномерно полное Архимедово поле, и действительно, часто можно услышать фразу «полное архимедово поле» вместо «полностью упорядоченное поле». Каждое единообразно полное архимедово поле также должно быть дедекиндовым (и наоборот), оправдывая использование «the» во фразе «полное архимедово поле». Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением вещественных чисел из последовательностей Коши (построение полностью проведено в этой статье), поскольку оно начинается с архимедова поля (рациональных чисел) и образует его единообразное завершение в стандарте. путь.

Но первоначальное использование фразы «полное архимедово поле» было Дэвид Гильберт, кто имел в виду еще что-то под этим. Он имел в виду, что реальные числа образуют самый большой Архимедово поле в том смысле, что любое другое архимедово поле является подполем р. Таким образом р является «полным» в том смысле, что к нему больше ничего нельзя добавить, не делая его больше архимедовым полем. Это чувство завершенности наиболее тесно связано с построением действительных чисел из сюрреалистические числа, поскольку эта конструкция начинается с правильного класса, который содержит все упорядоченные поля (сюрреали), а затем выбирает из него самое большое архимедово подполе.

Дополнительные свойства

Реалы бесчисленный; то есть реальных чисел строго больше, чем натуральные числа, хотя оба набора бесконечный. Фактически, мощность действительных чисел равно множеству подмножеств (то есть множеству степеней) натуральных чисел, и Диагональный аргумент Кантора утверждает, что мощность последнего набора строго больше, чем мощность N. Поскольку набор алгебраические числа счетно, почти все реальные числа трансцендентный. Несуществование подмножества вещественных чисел с мощностью строго между целыми и действительными числами известно как гипотеза континуума. Гипотезу континуума нельзя ни доказать, ни опровергнуть; это независимый от аксиомы теории множеств.

В качестве топологического пространства действительные числа отделяемый. Это потому, что множество рациональных чисел, которое можно счет, плотно в действительных числах. Иррациональные числа также плотны в действительных числах, однако они неисчислимы и имеют ту же мощность, что и действительные числа.

Действительные числа образуют метрическое пространство: расстояние между Икс и у определяется как абсолютная величина |Икс − у|. В силу того, что полностью заказанный набор, они также несут топология заказа; то топология возникающие из метрики и возникающие из порядка идентичны, но дают разные представления для топологии - в топологии порядка как упорядоченные интервалы, в метрической топологии как эпсилон-шары. Конструкция разрезов Дедекинда использует представление топологии порядка, в то время как конструкция последовательностей Коши использует представление метрической топологии. Реалы - это стягиваемый (следовательно связаны и односвязный ), отделяемый и полный метрическое пространство Хаусдорфово измерение 1. Реальные числа локально компактный но нет компактный. Существуют различные свойства, которые однозначно определяют их; например, все неограниченные, связанные и отделимые заказать топологии обязательно гомеоморфный к реалам.

Каждое неотрицательное действительное число имеет квадратный корень в р, хотя отрицательного числа нет. Это показывает, что порядок на р определяется его алгебраической структурой. Кроме того, каждый многочлен нечетной степени допускает хотя бы один действительный корень: эти два свойства делают р главный пример настоящее закрытое поле. Доказательство этого - первая половина одного доказательства основная теорема алгебры.

Реалы несут каноническую мера, то Мера Лебега, какой Мера Хаара по их структуре как топологическая группа нормализованы так, что единичный интервал [0; 1] имеет меру 1. Существуют наборы действительных чисел, которые не измеримы по Лебегу, например Виталий наборы.

Аксиома супремума действительных чисел относится к подмножествам вещественных чисел и, следовательно, является логическим утверждением второго порядка. Реалы нельзя охарактеризовать логика первого порядка в одиночку: Теорема Левенгейма – Сколема означает, что существует счетное плотное подмножество действительных чисел, удовлетворяющих точно таким же предложениям в логике первого порядка, что и сами действительные числа. Набор гиперреальные числа удовлетворяет тем же предложениям первого порядка, что и р. Упорядоченные поля, удовлетворяющие тем же предложениям первого порядка, что и р называются нестандартные модели из р. Это то, что делает нестандартный анализ работай; путем доказательства утверждения первого порядка в какой-либо нестандартной модели (что может быть проще, чем доказывать его в р), мы знаем, что то же утверждение должно быть верным и для р.

В поле р реальных чисел - это поле расширения поля Q рациональных чисел и р поэтому можно рассматривать как векторное пространство над Q. Теория множеств Цермело – Френкеля с аксиома выбора гарантирует наличие основа этого векторного пространства: существует множество B действительных чисел, так что каждое действительное число может быть однозначно записано как конечное линейная комбинация элементов этого набора, используя только рациональные коэффициенты, и такие, что ни один элемент B является рациональной линейной комбинацией остальных. Однако эта теорема существования носит чисто теоретический характер, поскольку такая основа никогда не описывалась явно.

В теорема о хорошем порядке означает, что действительные числа могут быть хорошо организованный если предполагается аксиома выбора: существует общий заказ на р с тем свойством, что каждый непустой подмножество из р имеет наименьший элемент в этом заказе. (Стандартный порядок ≤ вещественных чисел не является правильным, поскольку, например, открытый интервал не содержит ни малейшего элемента в этом порядке). Опять же, существование такого хорошего упорядочения чисто теоретическое, поскольку не было явно описано. Если V = L Предполагается, что в дополнение к аксиомам ZF можно показать, что хорошее упорядочение действительных чисел явно определяется формулой.^[13]

Реальное число может быть либо вычислимый или невычислимые; либо алгоритмически случайный или нет; и либо арифметически случайный или нет.

Приложения и связи с другими областями

Реальные числа и логика

Реальные числа чаще всего формализуются с помощью Цермело – Френкель аксиоматизация теории множеств, но некоторые математики изучают действительные числа вместе с другими логическими основаниями математики. В частности, действительные числа также изучаются в обратная математика И в конструктивная математика.^[14]

В гиперреальные числа как разработано Эдвин Хьюитт, Авраам Робинсон и другие расширяют набор действительных чисел, вводя бесконечно малый и бесконечные числа, что позволяет построить исчисление бесконечно малых в некотором роде ближе к первоначальной интуиции Лейбниц, Эйлер, Коши и другие.

Эдвард Нельсон с теория внутренних множеств обогащает Цермело – Френкель теория множеств синтаксически путем введения унарного предиката «стандарт».В этом подходе бесконечно малые числа являются (нестандартными) элементами множества действительных чисел (а не элементами его расширения, как в теории Робинсона).

В гипотеза континуума утверждает, что мощность множества действительных чисел равна ${ displaystyle aleph _ {1}}$; т.е. наименьшее бесконечное количественное числительное после ${ displaystyle aleph _ {0}}$, мощность целых чисел. Пол Коэн доказал в 1963 г., что это аксиома, независимая от других аксиом теории множеств; то есть: можно без противоречия выбрать либо гипотезу континуума, либо ее отрицание в качестве аксиомы теории множеств.

В физике

В физических науках большинство физических констант, таких как универсальная гравитационная постоянная, и физических переменных, таких как положение, масса, скорость и электрический заряд, моделируются с помощью действительных чисел. Фактически, фундаментальные физические теории, такие как классическая механика, электромагнетизм, квантовая механика, общая теория относительности и стандартная модель описываются с использованием математических структур, обычно гладкие многообразия или же Гильбертовы пространства, которые основаны на действительных числах, хотя реальные измерения физических величин конечны. тщательность и точность.

Иногда физики предполагали, что более фундаментальная теория заменит действительные числа величинами, которые не образуют континуум, но такие предложения остаются спекулятивными.^[15]

В вычислении

С некоторыми исключения, большинство калькуляторов не работают с действительными числами. Вместо этого они работают с приближениями конечной точности, называемыми числа с плавающей запятой. Фактически, большинство научные вычисления использует арифметику с плавающей запятой. Реальные числа удовлетворяют обычные правила арифметики, но числа с плавающей запятой не.

Компьютеры не могут напрямую хранить произвольные действительные числа с бесконечным числом цифр. Достижимая точность ограничена количеством бит, выделенных для хранения числа, независимо от того, как числа с плавающей запятой или же числа произвольной точности. Тем не мение, системы компьютерной алгебры может работать на иррациональные величины точно манипулируя формулами для них (например, ${ displaystyle { sqrt {2}},}$ ${ Displaystyle arcsin (2/23),}$ или же ${ displaystyle textstyle int _ {0} ^ {1} x ^ {x} , dx}$), а не их рациональное или десятичное приближение.^[16] Как правило, невозможно определить, равны ли два таких выражения ( постоянная проблема ).

Настоящее число называется вычислимый если существует алгоритм, выдающий свои цифры. Потому что есть только счетно много алгоритмов,^[17] но бесчисленное количество реалов, почти все действительные числа не могут быть вычислимы. Более того, равенство двух вычислимых чисел является неразрешимая проблема. Немного конструктивисты принять существование только тех действительных чисел, которые можно вычислить. Набор определяемые числа является более широким, но все же только счетным.

«Реалы» в теории множеств

В теория множеств, конкретно описательная теория множеств, то Пространство Бэра используется в качестве заменителя действительных чисел, поскольку последние обладают некоторыми топологическими свойствами (связностью), которые доставляют технические неудобства. Элементы пространства Бэра называют «реалами».

Словарь и обозначения

Математики используют символ р, или, альтернативно, ℝ, буква "R" в классная доска жирным шрифтом (закодировано в Unicode в качестве U + 211D ℝ ДВОЙНОЙ КАПИТАЛ R (HTMLℝ · & Reals ;, & Ropf;)), чтобы представить набор всех действительных чисел. Поскольку это множество естественно наделено структурой поле, выражение поле действительных чисел часто используется при рассмотрении его алгебраических свойств.

Часто отмечаются наборы положительных действительных чисел и отрицательных действительных чисел. р⁺ и р⁻,^[18] соответственно; р₊ и р₋ также используются.^[19] Можно отметить неотрицательные действительные числа р_≥0 но часто можно увидеть этот набор отмеченным р⁺ ∪ {0}.^[18] Во французской математике положительные действительные числа и отрицательные действительные числа обычно включают нуль, и эти множества отмечены соответственно ℝ₊ и ℝ₋.^[19] В этом понимании соответствующие множества без нуля называются строго положительными действительными числами и строго отрицательными действительными числами и отмечаются ℝ₊* и ℝ₋*.^[19]

Обозначение р^п относится к Декартово произведение из п копии р, что является п-размерный векторное пространство над полем действительных чисел; это векторное пространство можно отождествить с п-размерный пространство Евклидова геометрия как только система координат был выбран в последнем. Например, значение из р³ состоит из кортеж трех действительных чисел и указывает координаты из точка в 3-х мерном пространстве.

В математике настоящий используется как прилагательное, означающее, что основное поле - это поле действительных чисел (или реальное поле). Например, настоящий матрица, настоящий многочлен и настоящий Алгебра Ли. Слово также используется как имя существительное, означающее действительное число (например, «набор всех действительных чисел»).

Обобщения и расширения

Действительные числа можно обобщить и расширить в нескольких направлениях:

• В сложные числа содержат решения для всех многочлен уравнения и, следовательно, являются алгебраически замкнутое поле в отличие от реальных чисел. Однако комплексные числа не являются упорядоченное поле.
• В аффинно расширенная система действительных чисел складывает два элемента + ∞ и −∞. Это компактное пространство. Это больше не поле и даже не аддитивная группа, но у него все еще есть общий заказ; кроме того, это полная решетка.
• В реальная проективная линия добавляет только одно значение ∞. Это еще и компактное пространство. Опять же, это больше не поле и даже не аддитивная группа. Однако он позволяет делить ненулевой элемент на ноль. Она имеет циклический порядок описанный разделительное отношение.
• В длинная реальная линия пасты вместе ℵ₁* + ℵ₁ копии реальной линии плюс одна точка (здесь ℵ₁* обозначает обратный порядок ℵ₁) создать упорядоченный набор, который "локально" идентичен реальным числам, но несколько длиннее; например, существует сохраняющее порядок вложение ℵ₁ в длинной действительной строке, но не в реальных числах. Длинная действительная линия - это самый большой упорядоченный набор, полный и локально архимедов. Как и в предыдущих двух примерах, этот набор больше не является полем или аддитивной группой.
• Упорядоченные поля, расширяющие вещественные числа, являются гиперреальные числа и сюрреалистические числа; оба они содержат бесконечно малый и бесконечно большие числа и поэтому неархимедовы упорядоченные поля.
• Самосопряженные операторы на Гильбертово пространство (например, самосопряженный квадратный комплекс матрицы ) обобщают действительные числа во многих отношениях: их можно упорядочить (хотя и не полностью), они полны, все их собственные значения реальны, и они образуют настоящие ассоциативная алгебра. Положительно определенный операторы соответствуют положительным числам и нормальные операторы соответствуют комплексным числам.

Смотрите также

• Полнота действительных чисел
• Непрерывная дробь
• Определимые действительные числа
• Положительные действительные числа
• Реальный анализ

Примечания

Рекомендации

Цитаты

Источники

внешняя ссылка

• "Настоящий номер", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Реальные числа: от Пифагора до Стевина
• Реальные числа: от Стевина до Гильберта
• Реальные числа: попытки понять
• Что такое «реальные числа» на самом деле?