Бесчисленное множество - Uncountable set

В математика, бесчисленное множество (или же бесчисленное множество)^[1] является бесконечный набор который содержит слишком много элементы быть счетный. Бесчисленность множества тесно связана с его количественное числительное: набор является несчетным, если его кардинальное число больше, чем у набора всех натуральные числа.

Характеристики

Есть много эквивалентных характеристик несчетности. Множество Икс несчетно тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

• Здесь нет инъективная функция (следовательно, нет биекция ) из Икс к множеству натуральных чисел.
• Икс непусто и для любого ω-последовательность элементов Икс, существует хотя бы один элемент X, не входящий в него. То есть, Икс непусто и нет сюръективная функция от натуральных чисел до Икс.
• В мощность из Икс не является ни конечным, ни равным ${displaystyle aleph _ {0}}$ (алеф-нуль, мощность натуральные числа ).
• Набор Икс имеет мощность строго больше, чем ${displaystyle aleph _ {0}}$.

Первые три из этих характеристик могут быть доказаны эквивалентными в Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиома выбора, но эквивалентность третьего и четвертого не может быть доказана без дополнительных принципов выбора.

Характеристики

• Если бесчисленное множество Икс является подмножеством множества Y, тогда Y бесчисленное множество.

Примеры

Самый известный пример несчетного множества - это множество р из всех действительные числа; Диагональный аргумент Кантора показывает, что этот набор бесчислен. Технику доказательства диагонализации можно также использовать, чтобы показать, что несколько других множеств неисчислимы, например, множество всех бесконечных последовательности из натуральные числа и набор всего подмножества множества натуральных чисел. Мощность р часто называют мощность континуума, и обозначается ${displaystyle {mathfrak {c}}}$,^[2] или же ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}}}$, или же ${displaystyle eth _ {1}}$ (Beth-One ).

В Кантор набор несчетное подмножество р. Множество Кантора - это фрактал и имеет Хаусдорфово измерение больше нуля, но меньше единицы (р имеет размерность один). Это пример следующего факта: любое подмножество р размерности Хаусдорфа строго больше нуля должно быть несчетным.

Другой пример несчетного множества - это множество всех функции из р к р. Этот набор даже «бесчисленнее», чем р в том смысле, что мощность этого множества равна ${displaystyle eth _ {2}}$ (Beth-Two ), что больше, чем ${displaystyle eth _ {1}}$.

Более абстрактный пример несчетного множества - это множество всех исчисляемых порядковые номера, обозначаемые Ω или ω₁.^[1] Мощность множества Ω обозначается ${displaystyle aleph _ {1}}$ (алеф-он ). Это можно показать, используя аксиома выбора, который ${displaystyle aleph _ {1}}$ это самый маленький неисчислимое кардинальное число. Таким образом, либо ${displaystyle eth _ {1}}$, мощность действительных чисел равна ${displaystyle aleph _ {1}}$ или он строго больше. Георг Кантор был первым, кто поставил вопрос о том, ${displaystyle eth _ {1}}$ равно ${displaystyle aleph _ {1}}$. В 1900 г. Дэвид Гильберт поставил этот вопрос как первый из своих 23 задачи. Заявление о том, что ${displaystyle aleph _ {1} = eth _ {1}}$ теперь называется гипотеза континуума, и, как известно, не зависит от Аксиомы Цермело – Френкеля за теория множеств (в том числе аксиома выбора ).

Без аксиомы выбора

Без аксиома выбора, могут существовать мощности несравненный к ${displaystyle aleph _ {0}}$ (а именно, мощности Дедекинд-конечный бесконечные множества). Наборы этих мощностей удовлетворяют первым трем указанным выше характеристикам, но не четвертой характеристике. Поскольку эти множества не больше натуральных чисел в смысле мощности, некоторые могут не захотеть называть их несчетными.

Если выбрана аксиома, то следующие условия на кардинал ${displaystyle kappa}$ эквивалентны:

• ${displaystyle kappa leq aleph _ {0};}$
• ${displaystyle kappa> алеф _ {0};}$ и
• ${displaystyle kappa geq aleph _ {1}}$, куда ${displaystyle aleph _ {1} = | omega _ {1} |}$ и ${displaystyle omega _ {1}}$ меньше всего начальный порядковый номер лучше чем ${displaystyle omega.}$

Однако все они могут быть разными, если аксиома выбора не работает. Поэтому не очевидно, какое из них является подходящим обобщением «несчетности», когда аксиома не работает. Возможно, лучше в этом случае не использовать это слово и указать, какое из них означает.

Смотрите также

• Число Алеф
• Число Бет
• Первый несчетный порядковый номер
• Инъективная функция

Рекомендации

Библиография

• Халмос, Пол, Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (Издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN  978-1-61427-131-4 (Издание в мягкой обложке).
• Jech, Thomas (2002), Теория множеств, Springer Monographs in Mathematics (изд. 3-го тысячелетия), Springer, ISBN  3-540-44085-2

внешняя ссылка

• Доказательство того, что р бесчисленное множество