Наивная теория множеств (книга) - Naive Set Theory (book)

Смотрите также Наивная теория множеств по математической теме.

Первое издание

Наивная теория множеств это математика учебник Пол Халмос обеспечение студентов вводными теория множеств.^[1] Первоначально опубликовано Ван Ностранд в 1960 г.^[2] это было переиздано в Springer-Verlag Тексты для бакалавриата по математике серия 1974 года.^[3]

Хотя в названии говорится, что это наивно, что обычно означает без аксиомы, книга вводит все аксиомы Теория множеств ZFC (кроме Аксиома Основания ), и дает правильные и строгие определения основных объектов.^[2]^[4] Чем отличается от «истинного» аксиоматическая теория множеств книга - это ее персонаж: здесь нет обсуждения аксиоматических мелочей, и почти ничего нет на такие сложные темы, как большие кардиналы. Вместо этого он пытается быть понятным для тех, кто никогда раньше не задумывался о теории множеств.

Позже Халмос заявил, что это была самая быстрая книга, которую он написал, за шесть месяцев, и что книга «написала сама себя».^[5]

Отсутствие аксиомы основания

Как отмечалось выше, в книге отсутствует Аксиома Основания. Халмос постоянно танцует вокруг вопроса о том, может ли набор содержать себя.

п. 1: "набор также может быть элементом некоторых Другой набор "(курсив мой)
п. 3: "является ${displaystyle A}$ ∈ ${displaystyle A}$ когда-либо правда? Это определенно неверно для любого разумного набора, который кто-либо когда-либо видел ».
п. 6: " ${displaystyle B}$ ∈ ${displaystyle B}$ ... маловероятно, но не очевидно, невозможно "

Но Халмос позволяет нам доказать, что есть определенные наборы, которые не могут содержать самих себя.

п. 44: Халмос позволяет нам доказать, что ${displaystyle omega}$ ∉ ${displaystyle omega}$ . Ибо если ${displaystyle omega}$ ∈ ${displaystyle omega}$ , тогда ${displaystyle omega}$ − { ${displaystyle omega}$ } все равно будет набором-преемником, потому что ${displaystyle omega}$ ≠ ∅ и ${displaystyle omega}$ не является наследником какого-либо натурального числа. Но ${displaystyle omega}$ не является частью ${displaystyle omega}$ − { ${displaystyle omega}$ }, что противоречит определению ${displaystyle omega}$ как подмножество каждого последующего набора.
п. 47: Халмос доказывает лемму о том, что «никакое натуральное число не является подмножеством какого-либо из его элементов». Это позволяет нам доказать, что никакое натуральное число не может содержать самого себя. Ибо если ${displaystyle n}$ ∈ ${displaystyle n}$ , куда ${displaystyle n}$ натуральное число, то ${displaystyle n}$ ⊂ ${displaystyle n}$ ∈ ${displaystyle n}$ , что противоречит лемме.
п. 75: "An порядковый номер определяется как хорошо упорядоченный набор ${displaystyle alpha}$ такой, что ${displaystyle s (xi) = xi}$ для всех ${displaystyle xi}$ в ${displaystyle alpha}$ ; здесь ${displaystyle s (xi)}$ по-прежнему является начальным отрезком ${displaystyle {eta}$ ∈ ${displaystyle alpha:}$ ${displaystyle eta}$ < ${displaystyle xi}$ }. "Порядок скважин определяется следующим образом: если ${displaystyle xi}$ и ${displaystyle eta}$ элементы порядкового номера ${displaystyle alpha}$ , тогда ${displaystyle xi}$ < ${displaystyle eta}$ средства ${displaystyle xi}$ ∈ ${displaystyle eta}$ (стр. 75-76). Выбрав символ <вместо ≤, Халмос подразумевает, что порядок лунок <строгий (стр. 55-56). Это определение <делает невозможным ${displaystyle xi}$ ∈ ${displaystyle xi}$ , куда ${displaystyle xi}$ является элементом порядкового номера. Это потому что ${displaystyle xi}$ ∈ ${displaystyle xi}$ средства ${displaystyle xi}$ < ${displaystyle xi}$ , что означает ${displaystyle xi}$ ≠ ${displaystyle xi}$ (потому что <строгий), что невозможно.
п. 75: приведенное выше определение порядкового числа также делает невозможным ${displaystyle alpha}$ ∈ ${displaystyle alpha}$ , куда ${displaystyle alpha}$ порядковый номер. Это потому что ${displaystyle alpha}$ ∈ ${displaystyle alpha}$ подразумевает ${displaystyle alpha}$ = s ( ${displaystyle alpha}$ ). Это дает нам ${displaystyle alpha}$ ∈ ${displaystyle alpha}$ = s ( ${displaystyle alpha}$ ) = ${displaystyle {eta}$ ∈ ${displaystyle alpha:}$ ${displaystyle eta}$ < ${displaystyle alpha}$ }, что означает ${displaystyle alpha}$ < ${displaystyle alpha}$ , что означает ${displaystyle alpha}$ ≠ ${displaystyle alpha}$ (потому что <строгий), что невозможно.

Опечатки

п. 30, строка 10: «x на y» должно быть «x на y».
п. 73, строка 19: «для каждого z в X» должно быть «для каждого a в X».
п. 75, строка 3: «тогда и только тогда, когда x ∈ F (n)» должно быть «тогда и только тогда, когда x = {b: S (n, b)}».

Смотрите также

Список публикаций по математике

Библиография

Халмос, Пол, Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Издание в мягкой обложке).

внешняя ссылка

Список учебников по теории множеств составлено участниками обмена математическими стеками
Отзывы:Наивная теория множеств из Goodreads.

[1] Обзор Наивная теория множеств Х. Миркил (апрель 1961 г.), Американский математический ежемесячный журнал 68 (4): 392, Дои:10.2307/2311615.

[Rieger-2] а ^б Обзор Наивная теория множеств, Л. Ригер, МИСТЕР0114756.

[3] МИСТЕР0453532

[4] Обзор Наивная теория множеств, Альфонс Боргерс (июль 1969 г.), Журнал символической логики 34 (2): 308, Дои:10.2307/2271138.

[5] Юинг, Джон Х .; Геринг, Фредерик В., ред. (1991), Пол Халмос: празднование 50-летия математики, Springer-Verlag, Интервью Халмоса с Дональдом Дж. Альберсом, с. 16, ISBN 0-387-97509-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]