Наивная теория множеств - Naive set theory

Наивная теория множеств любая из нескольких теорий множеств, используемых при обсуждении основы математики.^[1]В отличие от аксиоматические теории множеств, которые определены с помощью формальная логика, наивная теория множеств определяется неформально, в естественный язык. Он описывает аспекты математические наборы знаком в дискретная математика (Например Диаграммы Венна и символические рассуждения об их Булева алгебра ), и этого достаточно для повседневного использования концепций теории множеств в современной математике.^[2]

Множества имеют большое значение в математике; в современных формальных трактовках большинство математических объектов (числа, связи, функции и т. д.) определяются в терминах множеств. Наивной теории множеств достаточно для многих целей, а также она служит ступенькой к более формальным подходам.

Метод

А наивная теория в смысле «наивной теории множеств» - это неформализованная теория, то есть теория, которая использует естественный язык для описания множеств и операций над множествами. Слова и, или же, если ... то, нет, для некоторых, для каждого рассматриваются как в обычной математике. Для удобства использование наивной теории множеств и ее формализма преобладает даже в высшей математике, в том числе в более формальных условиях самой теории множеств.

Первая разработка теория множеств была наивной теорией множеств. Он был создан в конце 19 века. Георг Кантор как часть его исследования бесконечные множества^[3] и разработан Готтлоб Фреге в его Grundgesetze der Arithmetik.

Теория наивных множеств может относиться к нескольким очень различным понятиям. Это может относиться к

• Неформальное представление аксиоматической теории множеств, например как в Наивная теория множеств к Пол Халмос.
• Ранние или более поздние версии Георг Кантор Русская теория и другие неформальные системы.
• Явно противоречивые теории (аксиоматические или нет), такие как теория Готтлоб Фреге^[4] что дало Парадокс Рассела, и теории Джузеппе Пеано^[5] и Ричард Дедекинд.

Парадоксы

Предположение, что любое свойство может быть использовано для формирования набора без ограничений, приводит к парадоксы. Один из распространенных примеров: Парадокс Рассела: не существует набора, состоящего из «всех наборов, не содержащих себя». Таким образом, непротиворечивые системы наивной теории множеств должны включать некоторые ограничения на принципы, которые могут использоваться для формирования множеств.

Теория Кантора

Некоторые считают, что Георг Кантор Теория множеств в действительности не была вовлечена в теоретико-множественные парадоксы (см. Frápolli 1991). Одна из трудностей в определении этого с уверенностью состоит в том, что Кантор не представил аксиоматизацию своей системы. К 1899 году Кантор осознавал некоторые парадоксы, вытекающие из неограниченной интерпретации его теории, например Парадокс Кантора^[6] и Парадокс Бурали-Форти,^[7] и не верил, что они дискредитировали его теорию.^[8] Парадокс Кантора на самом деле может быть выведен из вышеприведенного (ложного) предположения о том, что любое свойство п(Икс) может использоваться для формирования набора - используя для п(Икс) "Икс это количественное числительное Фреге явно аксиоматизировал теорию, в которой формализованная версия наивной теории множеств может быть интерпретирована, и это это формальная теория, которая Бертран Рассел на самом деле обращался, когда он представил свой парадокс, не обязательно теорию, которую Кантор, как уже упоминалось, знал о нескольких парадоксах, предположительно, имел в виду.

Аксиоматические теории

Теория аксиоматических множеств была разработана в ответ на эти ранние попытки понять множества с целью точно определить, какие операции разрешены и когда.

Последовательность

Наивная теория множеств не обязательно непоследовательны, если в нем правильно указаны разрешенные к рассмотрению наборы. Это можно сделать с помощью определений, которые являются неявными аксиомами. Все аксиомы можно сформулировать явно, как в случае Халмоша. Наивная теория множеств, который на самом деле является неформальным изложением обычных аксиоматических Теория множеств Цермело – Френкеля. Он «наивен» в том смысле, что язык и обозначения аналогичны обычным неформальным математикам и не имеют отношения к последовательности или полноте системы аксиом.

Точно так же аксиоматическая теория множеств не обязательно непротиворечива: не обязательно свободна от парадоксов. Это следует из Теоремы Гёделя о неполноте что достаточно сложный логика первого порядка Систему (которая включает наиболее распространенные аксиоматические теории множеств) нельзя доказать непротиворечивостью изнутри самой теории - даже если она действительно непротиворечива. Однако обычно считается, что общие аксиоматические системы непротиворечивы; по своим аксиомам они исключают немного парадоксы, вроде Парадокс Рассела. На основе Теорема Гёделя, это просто неизвестно - и никогда не может быть - если есть нет парадоксов вообще в этих теориях или в любой теории множеств первого порядка.

Период, термин наивная теория множеств до сих пор используется в некоторой литературе^{[нужна цитата ]} для ссылки на теории множеств, изученные Фреге и Кантором, а не на неформальные аналоги современной аксиоматической теории множеств.

Полезность

Выбор между аксиоматическим подходом и другими подходами во многом зависит от удобства. В повседневной математике лучшим выбором может быть неформальное использование аксиоматической теории множеств. Ссылки на конкретные аксиомы обычно появляются только тогда, когда этого требует традиция, например то аксиома выбора часто упоминается при использовании. Точно так же формальные доказательства происходят только в тех случаях, когда они требуются в исключительных обстоятельствах. Это неформальное использование аксиоматической теории множеств может иметь (в зависимости от обозначений) именно внешний вид наивной теории множеств, как описано ниже. Его значительно легче читать и писать (в формулировке большинства утверждений, доказательств и линий обсуждения), и он менее подвержен ошибкам, чем строго формальный подход.

Наборы, членство и равенство

В наивной теории множеств набор описывается как четко определенный набор объектов. Эти объекты называются элементы или же члены набора. Объектами могут быть все, что угодно: числа, люди, другие множества и т. Д. Например, 4 является членом множества всех четных целые числа. Ясно, что множество четных чисел бесконечно велико; не требуется, чтобы набор был конечным.

Отрывок с оригинальным определением Георга Кантора

Определение наборов восходит к Георг Кантор. Он написал 1915 г. в своей статье Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:

«Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen». - Георг Кантор

«Набор - это совокупность в единое целое определенных, отличных объектов нашего восприятия или нашей мысли, которые называются элементами набора». - Георг Кантор

Первое использование символа ϵ в работе Принципы арифметики, новая методика экспозиции к Джузеппе Пеано.

Обратите внимание на последовательность

Оно делает нет следуйте из этого определения как наборы могут быть сформированы, и какие операции над наборами снова будут производить набор. Термин «четко определенный» в «четко определенной совокупности объектов» не может сам по себе гарантировать согласованность и однозначность того, что именно составляет, а что не составляет набора. Попытка достичь этого была бы областью аксиоматической теории множеств или аксиоматической теории. теория классов.

Проблема в этом контексте с неформально сформулированными теориями множеств, не производными (и не подразумевающими) какой-либо конкретной аксиоматической теорией, состоит в том, что может быть несколько сильно различающихся формализованных версий, которые имеют как разные множества, так и разные правила того, как новые множества могут быть сформировано, что все соответствует исходному неформальному определению. Например, дословное определение Кантора допускает значительную свободу в том, что составляет набор. С другой стороны, маловероятно, что Кантора особенно интересовали наборы, содержащие кошек и собак, а скорее только наборы, содержащие чисто математические объекты. Примером такого класса наборов может быть Вселенная фон Неймана. Но даже при фиксации рассматриваемого класса множеств не всегда ясно, какие правила формирования множеств допустимы без введения парадоксов.

В целях закрепления обсуждения ниже термин «четко определенный» следует интерпретировать как намерениес неявными или явными правилами (аксиомами или определениями), чтобы исключить несоответствия. Цель состоит в том, чтобы держать часто глубокие и сложные вопросы согласованности подальше от, как правило, более простого контекста. Явное исключение все мыслимые противоречия (парадоксы) не могут быть достигнуты для аксиоматической теории множеств в любом случае из-за второй теоремы Гёделя о неполноте, так что это нисколько не мешает полезности наивной теории множеств по сравнению с аксиоматической теорией множеств в простых контекстах, рассматриваемых ниже. Это просто упрощает обсуждение. Отныне согласованность считается само собой разумеющимся, если явно не указано иное.

Членство

Если Икс является членом множества А, то также говорят, что Икс принадлежит А, или это Икс в А. Это обозначается Икс ∈ А. Символ ∈ является производным от строчной греческой буквы эпсилон, "ε", введенный Джузеппе Пеано в 1889 году и будет первой буквой слова ἐστί (означает «есть»). Символ ∉ часто используется для записи Икс ∉ А, что означает «x не входит в A».

Равенство

Два набора А и B определены как равный когда они имеют точно такие же элементы, то есть если каждый элемент А является элементом B и каждый элемент B является элементом А. (Видеть аксиома протяженности.) Таким образом, множество полностью определяется своими элементами; описание не имеет значения. Например, набор с элементами 2, 3 и 5 равен множеству всех простые числа менее 6. Если наборы А и B равны, это обозначается символически как А = B (как обычно).

Пустой набор

В пустой набор, часто обозначается Ø, а иногда ${displaystyle {}}$, это набор, в котором вообще нет членов. Поскольку набор полностью определяется своими элементами, может быть только один пустой набор. (Видеть аксиома пустого множества.) Хотя пустой набор не имеет членов, он может быть членом других наборов. Таким образом, Ø ≠ {Ø}, потому что у первого нет членов, а у второго есть один член. В математике единственные наборы, которые нужно интересовать, могут быть построены только из пустого набора.Халмос (1974) Ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFHalmos1974 (помощь))

Определение наборов

Самый простой способ описать набор - перечислить его элементы в фигурных скобках (это называется определением набора экстенсивно). Таким образом {1, 2} обозначает множество, единственными элементами которого являются 1 и 2.(Видеть аксиома спаривания.) Обратите внимание на следующие моменты:

• Порядок элементов не имеет значения; Например, {1, 2} = {2, 1}.
• Репетиция (множественность ) элементов не имеет значения; Например, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}.

(Это следствия определения равенства в предыдущем разделе.)

Этим обозначением можно неформально злоупотреблять, говоря что-то вроде {собаки} для обозначения набора всех собак, но этот пример обычно читается математиками как "набор, содержащий единственный элемент собаки".

Крайний (но правильный) пример этой записи: {}, что означает пустое множество.

Обозначение {Икс : п(Икс)}, а иногда {Икс | п(Икс)}, используется для обозначения множества, содержащего все объекты, для которых условие п имеет место (известное как определение набора намеренно).Например, {Икс : Икс  ∈ р} обозначает набор действительные числа, {Икс : Икс у него светлые волосы} обозначает набор всего со светлыми волосами.

Это обозначение называется обозначение построителя множеств (или же "установить понимание", особенно в контексте Функциональное программирование Некоторые варианты обозначения конструктора множеств:

• {Икс ∈ А : п(Икс)} обозначает множество всех Икс которые уже являются членами А так что условие п относится к Икс. Например, если Z это набор целые числа, тогда {Икс ∈ Z : Икс даже} это набор всех четное целые числа. (Видеть аксиома спецификации.)
• {F(Икс) : Икс ∈ А} обозначает набор всех объектов, полученных путем помещения членов набора А в формулу F. Например, {2Икс : Икс ∈ Z} это снова набор всех четных целых чисел. (Видеть аксиома замены.)
• {F(Икс) : п(Икс)} является наиболее общей формой обозначения построителя множеств. Например, {Икс'владелец: Икс это собака} набор всех владельцев собак.

Подмножества

Учитывая два набора А и B, А это подмножество из B если каждый элемент А также является элементом BВ частности, каждый набор B является подмножеством самого себя; подмножество B это не равно B называется правильное подмножество.

Если А это подмножество B, то можно также сказать, что B это суперсет из А, который А является содержалась в B, или это B содержит А. В символах А ⊆ B Значит это А это подмножество B, и B ⊇ А Значит это B это надмножество АНекоторые авторы используют символы ⊂ и ⊃ для обозначения подмножеств, а другие используют эти символы только для обозначения подмножеств. правильный подмножества. Для ясности можно явно использовать символы ⊊ и ⊋ для обозначения неравенства.

В качестве иллюстрации пусть р - множество действительных чисел, пусть Z - множество целых чисел, пусть О - множество нечетных целых чисел, и пусть п быть набором нынешних или бывших Президенты США.Потом О это подмножество Z, Z это подмножество р, и поэтому) О это подмножество р, где во всех случаях подмножество может даже читаться как правильное подмножество.Не все наборы подобны. Например, это тоже не так, что р это подмножество п ни это п это подмножество р.

Непосредственно из определения равенства множеств выше следует, что для двух множеств А и B, А = B если и только если А ⊆ B и B ⊆ А. Фактически, это часто называют определением равенства. Обычно при попытке доказывать что два набора равны, мы стремимся показать эти два включения. В пустой набор является подмножеством каждого набора (утверждение, что все элементы пустого набора также являются членами любого набора А является пусто правда ).

Множество всех подмножеств данного множества А называется набор мощности из А и обозначается ${displaystyle 2 ^ {A}}$ или же ${displaystyle P (A)}$; "п"иногда в сценарий шрифт. Если набор А имеет п элементы, то ${displaystyle P (A)}$ буду иметь ${displaystyle 2 ^ {n}}$ элементы.

Универсальные наборы и абсолютные дополнения

В определенных контекстах можно рассматривать все рассматриваемые множества как подмножества некоторых заданных универсальный набор Например, при исследовании свойств действительные числа р (и подмножества р), р можно принять за универсальный набор. Истинный универсальный набор не входит в стандартную теорию множеств (см. Парадоксы ниже), но он включен в некоторые нестандартные теории множеств.

Учитывая универсальный набор U и подмножество А из U, то дополнять из А (в U) определяется как

А^C := {Икс ∈ U : Икс ∉ А}.

Другими словами, А^C ("А-дополнение"; иногда просто А ', "A-Prime") - это набор всех членов U которые не являются членами А.Таким образом, с р, Z и О определяется как в разделе о подмножествах, если Z универсальное множество, то О^C - набор четных целых чисел, а если р универсальное множество, то О^C - это набор всех действительных чисел, которые либо являются целыми, либо не являются целыми числами.

Союзы, пересечения и относительные дополнения

Учитывая два набора А и B, их союз это множество, состоящее из всех объектов, которые являются элементами А или из B или того и другого (см. аксиома союза ). Обозначается он А ∪ B.

В пересечение из А и B это набор всех объектов, которые оба находятся в А И в B. Обозначается он А ∩ B.

Наконец, относительное дополнение из B относительно А, также известный как теоретико-множественная разница из А и B, - это набор всех объектов, принадлежащих А но нет к B. Написано как А  B или же А − B.

Символически это соответственно

А ∪ B: = {Икс : (Икс ∈ А) или же (Икс ∈ B)};

А ∩ B := {Икс : (Икс ∈ А) и (Икс ∈ B)} = {Икс ∈ А : Икс ∈ B} = {Икс ∈ B : Икс ∈ А};

А  B := {Икс : (Икс ∈ А) инет (Икс ∈ B) } = {Икс ∈ А : нет (Икс ∈ B)}.

Набор B не обязательно быть подмножеством А за А  B придавать смысл; это разница между относительным дополнением и абсолютным дополнением (А^C = U  А) из предыдущего раздела.

Чтобы проиллюстрировать эти идеи, позвольте А быть набором левшей, и пусть B быть множеством людей со светлыми волосами. потом А ∩ B это набор всех светловолосых левшей, а А ∪ B это набор всех людей, которые левши или светловолосые, или и то, и другое. А  B, с другой стороны, это совокупность всех людей, которые левши, но не светловолосые, а B  А это набор всех людей со светлыми волосами, но не левшей.

Теперь позвольте E быть совокупностью всех людей, и пусть F быть совокупностью всех живых существ старше 1000 лет. Что E ∩ F в этом случае? Ни один живой человек не более 1000 лет, так E ∩ F должен быть пустой набор {}.

Для любого набора А, набор мощности ${displaystyle P (A)}$ это Булева алгебра при операциях объединения и пересечения.

Упорядоченные пары и декартовы произведения

Интуитивно упорядоченная пара представляет собой просто набор из двух объектов, один из которых можно выделить как первый элемент а другой как второй элемент, и обладающий фундаментальным свойством, что две упорядоченные пары равны тогда и только тогда, когда их первые элементы равны и их вторые элементы равны.

Формально упорядоченная пара с первая координата а, и вторая координата б, обычно обозначаемый (а, б), можно определить как множество {{а}, {а, б}}.

Отсюда следует, что две упорядоченные пары (а,б) и (c,d) равны тогда и только тогда, когда а = c и б = d.

В качестве альтернативы, упорядоченную пару можно формально представить как набор {a, b} с общий заказ.

(Обозначение (а, б) также используется для обозначения открытый интервал на действительная числовая линия, но контекст должен прояснять, какое значение имеется в виду. В противном случае обозначение]а, б[может использоваться для обозначения открытого интервала, тогда как (а, б) используется для упорядоченной пары).

Если А и B являются множествами, то Декартово произведение (или просто товар) определяется как:

А × B = {(а,б) : а в А и б в B}.

То есть, А × B - множество всех упорядоченных пар, первая координата которых является элементом А и вторая координата которого является элементом B.

Это определение может быть расширено до множества А × B × C упорядоченных троек и, в более общем смысле, наборов упорядоченных n-кортежи для любого положительного целого числа п.Можно даже определить бесконечное Декартовы произведения, но для этого требуется более сложное определение продукта.

Декартовы произведения были впервые разработаны Рене Декарт в контексте аналитическая геометрия. Если р обозначает множество всех действительные числа, тогда р² := р × р представляет Евклидова плоскость и р³ := р × р × р представляет собой трехмерный Евклидово пространство.

Некоторые важные наборы

Есть несколько распространенных множеств, для которых обозначения почти универсальны. Некоторые из них перечислены ниже. В списке, а, б, и c Ссылаться на натуральные числа, и р и s находятся действительные числа.

1. Натуральные числа используются для подсчета. А классная доска жирным шрифтом капитал N (${displaystyle mathbb {N}}$) часто представляет это множество.
2. Целые числа появляются как решения для Икс в уравнениях вроде Икс + а = б. Доска жирным шрифтом Z (${displaystyle mathbb {Z}}$) часто представляет этот набор (от немецкого Зален, смысл числа).
3. Рациональное число появляются как решения уравнений типа а + bx = c. Доска жирным шрифтом Q (${displaystyle mathbb {Q}}$) часто представляет это множество (для частное, потому что R используется для набора действительных чисел).
4. Алгебраические числа появляются как решения многочлен уравнения (с целыми коэффициентами) и могут включать радикалы (включая ${displaystyle i = {sqrt {-1,}}}$) и некоторые другие иррациональные числа. А Q с чертой (${displaystyle {overline {mathbb {Q}}}}$) часто представляет это множество. Верхняя черта обозначает работу алгебраическое замыкание.
5. Действительные числа представляют собой «действительную линию» и включают все числа, которые могут быть аппроксимированы рациональными числами. Эти числа могут быть рациональными или алгебраическими, но также могут быть трансцендентные числа, которые не могут быть решениями полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами. Доска жирным шрифтом р (${displaystyle mathbb {R}}$) часто представляет это множество.
6. Сложные числа суть суммы действительного и мнимого числа: ${displaystyle r + s, i}$. Здесь либо ${displaystyle r}$ или же ${displaystyle s}$ (или оба) могут быть равны нулю; таким образом, набор действительных чисел и набор строго мнимых чисел являются подмножествами набора комплексных чисел, которые образуют алгебраическое замыкание для набора действительных чисел, что означает, что каждый многочлен с коэффициентами в ${displaystyle mathbb {R}}$ имеет по крайней мере один корень в этом наборе. Доска жирным шрифтом C (${displaystyle mathbb {C}}$) часто представляет это множество. Обратите внимание, что поскольку число ${displaystyle r + s, i}$ можно отождествить с точкой ${displaystyle (r, s)}$ в плоскости, ${displaystyle mathbb {C}}$ в основном "то же самое", что и Декартово произведение ${displaystyle mathbb {R}}$×${displaystyle mathbb {R}}$ («то же самое» означает, что любая точка в одном определяет уникальную точку в другом, и для результата вычислений не имеет значения, какая из них используется для вычисления, если правило умножения подходит для ${displaystyle mathbb {C}}$).

Парадоксы в ранней теории множеств

Принцип неограниченного формирования множеств, именуемый схема аксиомы неограниченного понимания,

Если п является свойством, то существует множество Y = {Икс : п(Икс)} (ложный),^[9]

является источником нескольких ранних парадоксов:

• Y = {Икс : Икс порядковый номер} привело в 1897 году к Парадокс Бурали-Форти, первая опубликованная антиномия.
• Y = {Икс : Икс кардинал} произведено Парадокс Кантора в 1897 г.^[6]
• Y = {Икс : {} = {}} уступил Вторая антиномия Кантора в 1899 году.^[8] Здесь недвижимость п верно для всех Икс, что бы ни Икс Может быть и так Y будет универсальный набор, содержащий все.
• Y = {Икс : Икс ∉ Икс}, т.е. множество всех множеств, которые не содержат себя как элементы, заданные Парадокс Рассела в 1902 г.

Если схема аксиом неограниченного понимания ослаблена до схема аксиомы спецификации или же схема аксиомы разделения,

Если п является свойством, то для любого множества Икс существует набор Y = {Икс ∈ Икс : п(Икс)},^[9]

тогда все вышеперечисленные парадоксы исчезают.^[9] Есть следствие. Из схемы аксиом разделения как аксиомы теории следует, как теорема теории:

Набор всех наборов не существует.

Или, что еще более эффектно (фраза Халмоса^[10]): Здесь нет вселенная. Доказательство: Предположим, что он существует, и назовем его U. Теперь примените схему аксиомы разделения с Икс = U и для п(Икс) использовать Икс ∉ Икс. Это снова приводит к парадоксу Рассела. Следовательно U не может существовать в этой теории.^[9]

С приведенными выше конструкциями связано формирование множества

• Y = {Икс : (Икс ∈ Икс) → {} ≠ {}}, где утверждение, следующее за импликацией, заведомо ложно. Из определения Y, используя обычные правила вывода (и некоторые запоздалые размышления при чтении доказательства в связанной статье ниже), что Y ∈ Y → {} ≠ {} и Y ∈ Y имеет место, следовательно {} ≠ {}. Это Парадокс карри.

Это (возможно, удивительно) не возможность Икс ∈ Икс это проблематично. Это снова схема аксиомы неограниченного понимания, позволяющая (Икс ∈ Икс) → {} ≠ {} за п(Икс). При использовании схемы аксиомы спецификации вместо неограниченного понимания вывод Y ∈ Y не выполняется и, следовательно, {} ≠ {} это не логическое следствие.

Тем не менее, возможность Икс ∈ Икс часто удаляется явно^[11] или, например, в ZFC, неявно,^[12] требуя аксиома регулярности держать.^[12] Одним из следствий этого является

Нет набора Икс для которого Икс ∈ Икс,

или, другими словами, никакой набор не является элементом самого себя.^[13]

Схема аксиомы разделения просто слишком слаба (в то время как неограниченное понимание является очень сильной аксиомой - слишком сильной для теории множеств), чтобы развивать теорию множеств с ее обычными операциями и конструкциями, описанными выше.^[9] Аксиома регулярности также носит ограничительный характер. Следовательно, нужно сформулировать другие аксиомы, чтобы гарантировать существование достаточного количества множеств, чтобы сформировать теорию множеств. Некоторые из них неформально описаны выше, а многие другие возможны. Не все мыслимые аксиомы можно свободно объединить в непротиворечивые теории. Например, аксиома выбора ZFC несовместимо с мыслимым каждый набор реалов Измеримый по Лебегу. Первое подразумевает, что второе ложно.

Смотрите также

• Алгебра множеств
• Аксиоматическая теория множеств
• Теория внутреннего множества
• Теория множеств
• Набор (математика)
• Частично заказанный набор

Примечания

Рекомендации

• Бурбаки, Н., Элементы истории математики, Джон Мелдрам (пер.), Springer-Verlag, Берлин, Германия, 1994.
• Кантор, Георг (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen", J. Reine Angew. Математика., 77: 258–262, Дои:10.1515 / crll.1874.77.258, Смотрите также версия pdf:
• Девлин, К.Дж., Радость множеств: основы современной теории множеств, 2-е издание, Springer-Verlag, New York, NY, 1993.
• Мария Х. Фраполли | Фраполли, Мария Дж., 1991, "Является ли канторианская теория множеств итеративной концепцией множества?". Современная логика, т. 1 п. 4, 1991, 302–318.
• Фреге, Готлоб (1893), Grundgesetze der Arithmetik, 1, Йена 1893.CS1 maint: location (связь)
• Халмос, Пол, Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (Издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN  978-1-61427-131-4 (Издание в мягкой обложке).
• Jech, Thomas (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное). Springer. ISBN  3-540-44085-2.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Келли, Дж., Общая топология, Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1955.
• ван Хейеноорт, Дж., От Фреге до Гёделя, Справочник по математической логике, 1879-1931 гг., Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1967. Перепечатано с исправлениями, 1977 г. ISBN  0-674-32449-8.
• Мешковский, Герберт; Нильсон, Винфрид (1991), Георг Кантор: Кратко. Отредактировано авторами., Берлин: Springer, ISBN  3-540-50621-7
• Пеано, Джузеппе (1889), Принципы арифметики nova Methoda exposita, Турин 1889.CS1 maint: location (связь)
• Цермело, Эрнст (1932), Георг Кантор: Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Под редакцией автора., Берлин: Springer

внешняя ссылка

• Начало теории множеств страница в Сент-Эндрюсе
• Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики (S)