Аксиома власти - Википедия - Axiom of power set

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Май 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Элементы силового набора набора {Икс, у, z} упорядоченный относительно включение.

В математика, то аксиома власти один из Аксиомы Цермело – Френкеля из аксиоматическая теория множеств.

в формальный язык аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:

${ Displaystyle forall x , существует y , forall z , [z in y iff forall w , (w in z Rightarrow w in x)]}$

куда у это Набор мощности из Икс, ${ Displaystyle { mathcal {P}} (х)}$.

По-английски это говорит:

Учитывая любые набор Икс, есть множество ${ Displaystyle { mathcal {P}} (х)}$ такой, что, учитывая любой набор z, этот набор z является членом ${ Displaystyle { mathcal {P}} (х)}$ если и только если каждый элемент z также является элементом Икс.

Более лаконично: для каждого набора ${ displaystyle x}$, есть набор ${ Displaystyle { mathcal {P}} (х)}$ состоящий именно из подмножеств ${ displaystyle x}$.

Обратите внимание подмножество связь ${ displaystyle substeq}$ не используется в формальном определении, поскольку подмножество не является примитивным отношением в формальной теории множеств; скорее, подмножество определяется с точки зрения установить членство, ${ displaystyle in}$. Посредством аксиома протяженности, набор ${ Displaystyle { mathcal {P}} (х)}$ уникален.

Аксиома степенного множества появляется в большинстве аксиоматизаций теории множеств. Обычно это считается бесспорным, хотя конструктивная теория множеств предпочитает более слабую версию, чтобы разрешить опасения по поводу предикативность.

Последствия

Аксиома Power Set позволяет дать простое определение Декартово произведение из двух комплектов ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$:

${ displaystyle X times Y = {(x, y): x in X land y in Y }.}$

Заметь

${ displaystyle x, y in X cup Y}$

${ displaystyle {x }, {x, y } in { mathcal {P}} (X cup Y)}$

и, например, рассматривая модель, использующую Куратовский заказал пару,

${ Displaystyle (х, у) = { {х }, {х, у } } в { mathcal {P}} ({ mathcal {P}} (X чашка Y)) }$

и, таким образом, декартово произведение - это множество, поскольку

${ displaystyle X times Y substeq { mathcal {P}} ({ mathcal {P}} (X cup Y)).}$

Можно определить декартово произведение любого конечный коллекция рекурсивно:

${ displaystyle X_ {1} times cdots times X_ {n} = (X_ {1} times cdots times X_ {n-1}) times X_ {n}.}$

Обратите внимание, что существование декартова произведения может быть доказано без использования аксиомы степенного множества, как в случае Теория множеств Крипке – Платека..

Рекомендации

• Пол Халмос, Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (Издание Springer-Verlag).
• Jech, Томас, 2003. Теория множества: издание третьего тысячелетия, переработанное и дополненное. Springer. ISBN  3-540-44085-2.
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN  0-444-86839-9.

Эта статья включает материал из Аксиомы власти, установленной на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.