Семейство наборов - Family of sets

В теория множеств и смежные отрасли математика, Коллекция F из подмножества данного набор S называется семейство подмножеств из S, или семейство наборов над S. В более общем смысле, совокупность любых наборов называется семейство наборов или набор-семья или система набора.

Термин «коллекция» используется здесь, потому что в некоторых контекстах семейству наборов может быть разрешено содержать повторяющиеся копии любого заданного члена,[1][2][3] а в других контекстах он может образовывать правильный класс а не набор.

Конечное семейство подмножеств конечного множества S также называется гиперграф.

Примеры

Особые типы наборов семейств

А Семья Спернер - это семейство множеств, в котором ни одно из множеств не содержит других. Теорема Спернера ограничивает максимальный размер семьи Спернер.

А Семья Хелли - семейство множеств, такое что любое минимальное подсемейство с пустым пересечением имеет ограниченный размер. Теорема Хелли утверждает, что выпуклые множества в евклидовых пространствах ограниченной размерности образуют семейства Хелли.

An абстрактный симплициальный комплекс это семья F то есть закрытый вниз, т.е. каждое подмножество множества в F также в F. А матроид является абстрактным симплициальным комплексом с дополнительным свойством, называемым свойство увеличения.

Характеристики

Связанные понятия

Определенные типы объектов из других областей математики эквивалентны семействам множеств в том смысле, что их можно описать просто как совокупность множеств объектов определенного типа:

  • А гиперграф, также называемая системой наборов, состоит из набора вершины вместе с другим набором гиперребра, каждый из которых может быть произвольным набором. Гиперребра гиперграфа образуют семейство множеств, и любое семейство множеств можно интерпретировать как гиперграф, имеющий объединение множеств в качестве вершин.
  • An абстрактный симплициальный комплекс комбинаторная абстракция понятия симплициальный комплекс, фигура, образованная объединением отрезков прямых, треугольников, тетраэдров и многомерных симплексы, присоединились лицом к лицу. В абстрактном симплициальном комплексе каждый симплекс представлен просто как множество его вершин. Любое семейство конечных множеств без повторов, в котором подмножества любого множества в семье также принадлежат семейству, образует абстрактный симплициальный комплекс.
  • An структура заболеваемости состоит из набора точки, набор линии, и (произвольный) бинарное отношение, называется отношение инцидентности, указав, какие точки каким линиям принадлежат. Структура инцидентности может быть задана семейством множеств (даже если две различные линии содержат один и тот же набор точек), наборы точек, принадлежащие каждой линии, и любое семейство множеств могут быть интерпретированы таким образом как структура инцидентности.
  • Двоичный блочный код состоит из набора кодовых слов, каждое из которых является нить нулей и единиц одинаковой длины. Когда каждая пара кодовых слов имеет большой Расстояние Хэмминга, его можно использовать как код исправления ошибок. Блочный код также можно описать как семейство наборов, описывая каждое кодовое слово как набор позиций, в которых оно содержит 1.
  • А топологическое пространство состоит из пары (X, τ), где X - множество (называемое точки), а τ - семейство множеств (называемое открытые наборы) над X. τ должно содержать как пустое множество, так и само X, и замкнуто относительно объединения множеств и конечного пересечения множеств.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Бруальди 2010, стр. 322
  2. ^ Робертс и Тесман 2009, стр. 692
  3. ^ Биггс 1985, стр. 89

Рекомендации

  • Биггс, Норман Л. (1985), Дискретная математика, Оксфорд: Clarendon Press, ISBN  0-19-853252-0
  • Бруальди, Ричард А. (2010), Вводная комбинаторика (5-е изд.), Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall, ISBN  0-13-602040-2
  • Робертс, Фред С .; Тесман, Барри (2009), Прикладная комбинаторика (2-е изд.), Бока-Ратон: CRC Press, ISBN  978-1-4200-9982-9

внешняя ссылка