Сигма-кольцо - Sigma-ring

В математика, непустой набор наборы называется σ-кольцо (произносится сигма-кольцо) если это закрыто под счетным союз и относительное дополнение.

Формальное определение

Позволять ${displaystyle {mathcal {R}}}$ быть непустым коллекция наборов. потом ${displaystyle {mathcal {R}}}$ это σ-кольцо если:

1. ${displaystyle igcup _ {n = 1} ^ {infty} A_ {n} в {mathcal {R}}}$ если ${displaystyle A_ {n} в {mathcal {R}}}$ для всех ${displaystyle nin mathbb {N}}$
2. ${displaystyle Asetminus Bin {mathcal {R}}}$ если ${displaystyle A, Bin {mathcal {R}}}$

Характеристики

Из этих двух свойств сразу видно, что

${displaystyle igcap _ {n = 1} ^ {infty} A_ {n} в {mathcal {R}}}$ если ${displaystyle A_ {n} в {mathcal {R}}}$ для всех ${displaystyle nin mathbb {N}}$

Это просто потому, что ${displaystyle cap _ {n = 1} ^ {infty} A_ {n} = A_ {1} setminus cup _ {n = 2} ^ {infty} (A_ {1} setminus A_ {n})}$.

Подобные концепции

Если первое свойство ослаблено до замыкания при конечном объединении (т. Е. ${displaystyle Acup Bin {mathcal {R}}}$ в любое время ${displaystyle A, Bin {mathcal {R}}}$) но несчетное объединение, то ${displaystyle {mathcal {R}}}$ это звенеть но не σ-кольцо.

Использует

σ-кольца можно использовать вместо σ-поля (σ-алгебры) в развитии мера и интеграция теории, если не требуется, чтобы универсальный набор быть измеримыми. Каждое σ-поле также является σ-кольцом, но σ-кольцо не обязательно должно быть σ-полем.

Σ-кольцо ${displaystyle {mathcal {R}}}$ это набор подмножеств ${displaystyle X}$ вызывает σ-поле за ${displaystyle X}$. Определять ${displaystyle {mathcal {A}} = {Acup B ^ {c} | A, Bin {mathcal {R}}}}$. потом ${displaystyle {mathcal {A}}}$ является σ-полем над множеством ${displaystyle X}$ - чтобы проверить закрытие по счетному объединению, вспомните ${displaystyle sigma}$-кольцо замкнуто относительно счетных пересечений. Фактически ${displaystyle {mathcal {A}}}$ - минимальное σ-поле, содержащее ${displaystyle {mathcal {R}}}$ поскольку он должен содержаться в каждом σ-поле, содержащем ${displaystyle {mathcal {R}}}$.

Смотрите также

• Алгебра множеств
• δ-кольцо
• Поле наборов
• λ-система (система Дынкина)
• π-система
• Кольцо наборов
• σ-алгебра

Рекомендации

• Вальтер Рудин, 1976. Принципы математического анализа, 3-й. изд. Макгроу-Хилл. В последней главе σ-кольца используются в развитии теории Лебега.