Трансверсаль (комбинаторика) - Transversal (combinatorics)

В математика, особенно в комбинаторика, учитывая семейство наборов, здесь называется коллекция C, а поперечный (также называемый поперечное сечение^[1]^[2]^[3]) - это набор, содержащий ровно один элемент от каждого члена коллекции. Когда наборы коллекции не пересекаются, каждый элемент трансверсали соответствует ровно одному члену C (набор, в который он входит). Если исходные множества не пересекаются, есть две возможности для определения трансверсали:

Один вариант состоит в том, что есть биекция ж от поперечного до C такой, что Икс является элементом ж(Икс) для каждого Икс в поперечном. В этом случае трансверсаль еще называют система различных представителей (SDR).^[4]^:29
Другой, менее распространенный, не требует взаимно однозначного отношения между элементами трансверсали и множеством C. В этой ситуации члены система представителей не обязательно различны.^[5]^:692^[6]^:322

В Информатика, вычисление трансверсалей полезно в нескольких прикладных областях, при этом вход семейство наборов часто описывается как гиперграф.

Существование и количество

Фундаментальный вопрос при изучении SDR заключается в том, существует ли SDR. Теорема холла о браке дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы конечный набор множеств, некоторые из которых могут перекрываться, имел трансверсаль. Условие состоит в том, что для каждого целого числа k, каждая коллекция k наборы должны содержать не менее k разные элементы.^[4]^:29

Следующее уточнение Х. Дж. Райзер дает нижнюю границу количества таких SDR.^[7]^:48

Теорема. Позволять S₁, S₂, ..., S_м набор таких множеств, что ${ Displaystyle S_ {i_ {1}} чашка S_ {i_ {2}} чашка точки чашка S_ {i_ {k}}}$ содержит как минимум k элементы для k = 1,2,...,м и для всех k-combinations { ${ displaystyle i_ {1}, i_ {2}, ldots, i_ {k}}$ } целых чисел 1,2, ...,м и предположим, что каждое из этих множеств содержит не менее т элементы. Если т ≤ м то в коллекции не менее т ! СДР, и если т > м то в коллекции не менее т ! / (т - м)! СДР.

Отношение к соответствию и покрытию

Можно построить двудольный граф в котором вершины на одной стороне - это множества, вершины на другой стороне - это элементы, а ребра соединяют набор с элементами, которые он содержит. Тогда трансверсаль эквивалентна идеальное соответствие в этом графике.

Можно построить гиперграф в котором вершины - элементы, а гиперребра - множества. Тогда трансверсаль эквивалентна крышка вершины в гиперграфе.

Примеры

В теория групп, учитывая подгруппа ЧАС группы грамм, правая (соответственно левая) трансверсаль - это набор содержащий ровно по одному элементу от каждого правого (соответственно левого) смежный из ЧАС. В этом случае «множества» (смежные классы) попарно не пересекаются, т.е. раздел группы.

Как частный случай предыдущего примера, учитывая прямое произведение групп ${ displaystyle G = H times K}$ , тогда ЧАС трансверсаль для смежных классов K.

В общем, так как любой отношение эквивалентности на произвольном множестве порождает разбиение, выбирая любого представителя из каждого класс эквивалентности приводит к поперечному.

Другой пример трансверсалии на основе разбиения возникает, когда рассматривается отношение эквивалентности, известное как (теоретико-множественное) ядро функции, определенная для функции ${ displaystyle f}$ с домен Икс как раздел домена ${ Displaystyle OperatorName {ker} f: = left {, left {, y in X mid f (x) = f (y) , right } mid x in X ,верно}}$ . который разделяет домен ж в классы эквивалентности, так что все элементы в классе отображаются через ж к той же стоимости. Если ж инъективен, есть только одна трансверсальность ${ displaystyle operatorname {ker} f}$ . Для необязательно инъективного ж, фиксируя поперечный Т из ${ displaystyle operatorname {ker} f}$ индуцирует взаимно однозначное соответствие между Т и изображение из ж, далее обозначаемый ${ displaystyle operatorname {Im} f}$ . Следовательно, функция ${ displaystyle g: ( operatorname {Im} f) to T}$ хорошо определяется тем свойством, что для всех z в ${ displaystyle operatorname {Im} f, g (z) = x}$ куда Икс уникальный элемент в Т такой, что ${ Displaystyle е (х) = г}$ ; более того, грамм может быть расширен (не обязательно уникальным образом) так, чтобы он был определен в целом codomain из ж выбирая произвольные значения для г (г) когда z вне образа ж. Это простой расчет, чтобы убедиться, что грамм таким образом определенное имеет свойство, что ${ Displaystyle f circ g circ f = f}$ , что является доказательством (когда область и область значений ж один и тот же набор), что полугруппа полного преобразования это регулярная полугруппа. ${ displaystyle g}$ действует как (не обязательно уникальный) квазиобратный за ж; в теории полугрупп это просто называется обратным. Однако обратите внимание, что для произвольного грамм с указанным свойством «двойственное» уравнение ${ displaystyle g circ f circ g = g}$ может не выдержать. Однако если обозначить через ${ Displaystyle ч = г сирк е сирк г}$ , тогда ж является квазиобратным к час, т.е. ${ Displaystyle ч сирк е сирк ч = ч}$ .

Общие трансверсалии

А общая поперечная коллекций А и B (куда ${ Displaystyle | A | = | B | = п}$ ) - это множество, являющееся трансверсалью обоих А и B. Коллекции А и B имеют общую трансверсаль тогда и только тогда, когда для всех ${ displaystyle I, J subset {1, ..., n }}$ ,

{ displaystyle | ( bigcup _ {я in I} A_ {i}) cap ( bigcup _ {j in J} B_ {j}) | geq | I | + | J | -n}

^[8]

Обобщения

А частичный поперечный - это набор, содержащий не более одного элемента из каждого члена коллекции, или (в более строгой форме концепции) набор с инъекцией из набора в C. Трансверсали конечного набора C конечных множеств образуют базисные множества матроид, то поперечный матроид из C. Независимые множества трансверсального матроида - это частичные трансверсали C.^[9]

An независимая трансверсальная ' (также называемый независимый от радуги набор или же независимая система представителей) - трансверсаль, которая также является независимый набор данного графа. Чтобы объяснить разницу в переносных терминах, рассмотрим факультет с м кафедр, где декан факультета хочет создать комитет м члены, по одному на отдел. Такой комитет является трансверсальным. Но теперь предположим, что некоторые преподаватели не любят друг друга и не соглашаются вместе заседать в комитете. В этом случае комитет должен быть независимым трансверсалом, где лежащий в основе граф описывает отношения «неприязни».

Другим обобщением концепции трансверсали было бы множество, которое имеет непустое пересечение с каждым членом C. Примером последнего может быть Набор Бернштейна, который определяется как набор, имеющий непустое пересечение с каждым набором C, но не содержит C, куда C это собрание всех идеальные наборы топологического Польское пространство. В качестве другого примера пусть C состоят из всех строк проективная плоскость, затем блокирующий набор в этой плоскости есть набор точек, которые пересекают каждую линию, но не содержат линии.

Теория категорий

На языке теория категорий, а поперечный набора попарно непересекающихся множеств является раздел из карта частных вызванный коллекцией.

Вычислительная сложность

В вычислительная сложность вычисления всех трансверсалей входа семейство наборов был изучен, в частности, в рамках алгоритмы перебора.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Лоулер, Э. Комбинаторная оптимизация: сети и матроиды. 1976 г.
Мирский Леон (1971). Трансверсальная теория: изложение некоторых аспектов комбинаторной математики. Академическая пресса. ISBN 0-12-498550-5.

[Howie1995-1] Джон Макинтош Хауи (1995). Основы теории полугрупп. Кларендон Пресс. п. 63. ISBN 978-0-19-851194-6.

[Reis2011-2] Клайв Рейс (2011). Абстрактная алгебра: введение в группы, кольца и поля. World Scientific. п. 57. ISBN 978-981-4335-64-5.

[CourcelleEngelfriet2012-3] Бруно Курсель; Йост Энгельфриет (2012). Структура графа и монадическая логика второго порядка: теоретико-языковой подход. Издательство Кембриджского университета. п. 95. ISBN 978-1-139-64400-6.

[lp-4] а ^б Ловас, Ласло; Пламмер, М. (1986), Теория соответствия, Анналы дискретной математики, 29, Северная Голландия, ISBN 0-444-87916-1, МИСТЕР 0859549

[5] Робертс, Фред С .; Тесман, Барри (2009), Прикладная комбинаторика (2-е изд.), Бока-Ратон: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9

[6] Бруальди, Ричард А. (2010), Вводная комбинаторика (5-е изд.), Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall, ISBN 0-13-602040-2

[7] Райзер, Герберт Джон (1963), Комбинаторная математика, The Carus Mathematical Monographs # 14, Математическая ассоциация Америки

[Milner1974-8] Э. К. Милнер (1974), ТРАНСВЕРСАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ, Труды международного конгресса математиков, п. 161

[9] Оксли, Джеймс Г. (2006), Теория матроидов, Оксфордские выпускные тексты по математике, 3, Oxford University Press, стр. 48, ISBN 978-0-19-920250-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]