Раздел (теория категорий) - Section (category theory)

ж это опровержение грамм. грамм это раздел ж.

В теория категорий, филиал математика, а раздел это правый обратный некоторых морфизм. Вдвойне, а втягивание это левый обратный некоторых морфизм Другими словами, если ж : Икс → Y и грамм : Y → Икс морфизмы, композиция которых ж о грамм : Y → Y это морфизм идентичности на Y, тогда грамм это раздел ж, и ж это опровержение грамм.^[1]

Каждый раздел - это мономорфизм (каждый морфизм с левым обратным есть лево-отменяющий ), и каждая ретракция эпиморфизм (каждый морфизм с правым обратным есть право-отменяющий ).

В алгебра, разделы также называются расщепляемые мономорфизмы и опровержения также называются расщепленные эпиморфизмы. В абелева категория, если ж : Икс → Y расщепляемый эпиморфизм с расщепляемым мономорфизмом грамм : Y → Икс, тогда Икс является изоморфный к прямая сумма из Y и ядро из ж. Синоним Coretraction for section иногда встречается в литературе, но редко в последних работах.

Терминология

Понятие ретракции в теории категорий происходит от очень похожего понятия втягивание в топология: ${displaystyle f: X o Y}$ где ${displaystyle Y}$ является подпространством ${displaystyle X}$ является ретракцией в топологическом смысле, если это ретракция карты включения ${displaystyle i: Yhookrightarrow X}$ в смысле теории категорий. Концепция топологии была определена Кароль Борсук в 1931 г.^[2].

Ученица Борсука, Сэмюэл Эйленберг, был с Saunders Mac Lane основоположник теории категорий, и поскольку самые ранние публикации по теории категорий касались различных топологических пространств, можно было ожидать, что этот термин будет первоначально использован. Фактически, их более ранние публикации, вплоть до, например, Mac Lane (1963) Гомология, использовал термин "обратное право". Лишь в 1965 году Эйленберг и Джон Коулман Мур придумал двойной термин «корретракция», который был перенесен Борсуком в теорию категорий в целом.^[3] К концу 1960-х гг. Термин «coretraction» уступил место термину «секция».

В литературе часто можно встретить как использование перевернутого левого / правого положения, так и сечения / втягивания: первое использование имеет то преимущество, что оно знакомо из теории полугруппы и моноиды; последнее считается некоторыми менее запутанным, потому что не нужно думать о том, «какой путь» идет композиция, - проблема, которая усугубилась с ростом популярности синонима. f; g за g∘f.^[4]

Примеры

в категория наборов, всякий мономорфизм (инъективный функция ) с непустой домен является сечением, и каждый эпиморфизм (сюръективная функция ) - это опровержение; последнее утверждение эквивалентно аксиома выбора.

в категория векторных пространств через поле K, каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм расщепляются; это следует из того, что линейные карты можно однозначно определить, указав их значения в основа.

в категория абелевых групп, эпиморфизм Z → Z/2Z который отправляет каждый целое число к его остатку по модулю 2 не раскалывается; на самом деле единственный морфизм Z/2Z → Z это нулевая карта. Аналогично естественный мономорфизм Z/2Z → Z/4Z не расщепляется, хотя есть нетривиальный морфизм Z/4Z → Z/2Z.

Категориальное понятие раздела важно в гомологическая алгебра, а также тесно связан с понятием раздел из пучок волокон в топология: в последнем случае участок пучка волокон является участком карты проекций пучка.

Учитывая факторное пространство ${displaystyle {ar {X}}}$ с картой частных ${displaystyle pi двоеточие X o {ar {X}}}$, раздел ${displaystyle pi}$ называется поперечный.

Библиография

• Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (2-е изд.). Springer Verlag.
• Барри, Митчелл (1965). Теория категорий. Академическая пресса.

Смотрите также

• Лемма о расщеплении
• Обратная функция # Влево и вправо инвертируют
• Трансверсаль (комбинаторика)

Примечания