Лемма о расщеплении - Википедия - Splitting lemma

В математика, а точнее в гомологическая алгебра, то лемма о расщеплении заявляет, что в любом абелева категория, следующие утверждения эквивалент для короткая точная последовательность ${ displaystyle 0 longrightarrow A { overset {q} { longrightarrow}} B { overset {r} { longrightarrow}} C longrightarrow 0.}$

Если эти утверждения верны, последовательность называется разделить точную последовательность, и последовательность называется расколоть.

В приведенной выше короткой точной последовательности, где последовательность разбивается, это позволяет уточнить первая теорема об изоморфизме, в котором говорится, что:

C ≅ B/ ker р ≅ B/q(А) (т.е. C изоморфен коимаж из р или же коядро из q)

к:

B = q(А) ⊕ ты(C) ≅ А ⊕ C

где первая теорема об изоморфизме - это просто проекция на C.

Это категорическое обобщение теорема ранга-недействительности (в виде V ≅ kerТ ⊕ имТ) в линейная алгебра.

Доказательство категории абелевых групп

3. ⇒ 1. и 3. ⇒ 2.

Во-первых, чтобы показать, что 3. влечет как 1., так и 2., предположим 3. и примем т естественная проекция прямой суммы на А, и примем за ты естественное введение C в прямую сумму.

1. ⇒ 3.

Чтобы доказать, что 1. влечет 3., сначала заметим, что любой член B находится в наборе (кер т + я q). Это следует из того, что для всех б в B, б = (б − qt(б)) + qt(б); qt(б) очевидно в я q, и б − qt(б) в кер т, поскольку

т(б − qt(б)) = т(б) − tqt(б) = т(б) − (tq)т(б) = т(б) − т(б) = 0.

Далее пересечение я q и кер т равно 0, так как если существует а в А такой, что q(а) = б, и т(б) = 0, тогда 0 = tq(а) = а; и поэтому, б = 0.

Это доказывает, что B прямая сумма я q и кер т. Итак, для всех б в B, б могут быть однозначно идентифицированы некоторыми а в А, k в кер т, так что б = q(а) + k.

По точности кер р = им q. Подпоследовательность B ⟶ C ⟶ 0 подразумевает, что р находится на; поэтому для любого c в C есть некоторые б = q(а) + k такой, что c = р(б) = р(q(а) + k) = р(k). Поэтому для любого c в C, существуют k в кер т такой, что c = р(k), и р(кер т) = C.

Если р(k) = 0, тогда k в я q; так как пересечение я q и кер т = 0, тогда k = 0. Следовательно, ограничение морфизма р: ker т → C изоморфизм; и кер т изоморфен C.

Ну наконец то, я q изоморфен А из-за точности 0 ⟶ А ⟶ B; так B изоморфна прямой сумме А и C, что доказывает (3).

2. ⇒ 3.

Чтобы показать, что из 2. следует 3., мы рассуждаем аналогично. Любой член B находится в наборе кер р + я ты; поскольку для всех б в B, б = (б − ур(б)) + ур(б), который в кер р + я ты. Пересечение кер р и я ты является 0, поскольку если р(б) = 0 и ты(c) = б, тогда 0 = RU(c) = c.

По точности, я q = ker р, и с тех пор q это инъекция, я q изоморфен А, так А изоморфен кер р. С RU это биекция, ты это инъекция, и поэтому я ты изоморфен C. Так B снова прямая сумма А и C.

Альтернатива "абстрактная чушь " доказательство леммы о расщеплении могут быть сформулированы полностью в терминах теории категорий.

Неабелевы группы

В изложенной здесь форме лемма о расщеплении не выполняется полностью. категория групп, которая не является абелевой категорией.

Частично верно

Это частично верно: если короткая точная последовательность групп разбита слева или является прямой суммой (1. или 3.), то все условия выполняются. Для прямой суммы это ясно, поскольку можно вводить или проецировать слагаемые. Для последовательности левого разделения карта t × r: B → А × C дает изоморфизм, поэтому B является прямой суммой (3.), таким образом обращая изоморфизм и составляя с естественным вложением C → А × C делает укол C → B расщепление р (2.).

Однако, если короткая точная последовательность групп является правым разбиением (2.), тогда она не должна быть разбита слева или прямой суммой (ни 1., ни 3. не следует): проблема в том, что изображение правого разбиения не обязательно быть нормальным. В данном случае верно то, что B это полупрямой продукт, хотя и не в целом прямой продукт.

Контрпример

Чтобы создать контрпример, возьмем наименьшую неабелеву группу B ≅ S₃, симметричная группа из трех букв. Позволять А обозначим знакопеременную подгруппу, и пусть C = B/А ≅ {±1}. Позволять q и р обозначим карту включения, а знак карта соответственно, так что

${ displaystyle 0 longrightarrow A { stackrel {q} { longrightarrow}} B { stackrel {r} { longrightarrow}} C longrightarrow 0}$

это короткая точная последовательность. 3. не удается, потому что S₃ не абелева. Но 2. выполняется: мы можем определить ты: C → B путем сопоставления генератора с любым двухциклом. Обратите внимание на то, что 1. не работает: любая карта т: B → А должен отображать каждый два цикла в идентичность, потому что карта должна быть групповой гомоморфизм, в то время как порядок двухциклов - 2, который не может быть разделен на порядок элементов в A, кроме элемента идентичности, который равен 3 как А знакопеременная подгруппа S₃, или именно циклическая группа порядка 3. Но каждая перестановка является продуктом двух циклов, поэтому т - тривиальное отображение, откуда tq: А → А - это тривиальное отображение, а не тождество.

Рекомендации

• Saunders Mac Lane: Гомология. Перепечатка издания 1975 года, Springer Classics in Mathematics, ISBN  3-540-58662-8, п. 16
• Аллен Хэтчер: Алгебраическая топология. 2002, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0, п. 147