Cokernel - Cokernel

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Февраль 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то коядро из линейное отображение из векторные пространства ж : Икс → Y это факторное пространство Y / я(ж) из codomain из ж по образу ж. Размер коядра называется кокон из ж.

Коядра двойной к ядра теории категорий, отсюда и название: ядро ​​- это подобъект области (она отображается в область), а коядро - это частный объект кодомена (отображается из кодомена).

Интуитивно, учитывая уравнение ж(Икс) = у который пытается решить, коядро измеряет ограничения который у должно удовлетворять, чтобы это уравнение имело решение - препятствия на пути решения - в то время как ядро ​​измеряет степени свободы в растворе, если он существует. Это подробно описано в интуиция, ниже.

В более общем смысле коядро морфизм ж : Икс → Y в некоторых категория (например, гомоморфизм между группы или ограниченный линейный оператор между Гильбертовы пространства ) является объектом Q и морфизм q : Y → Q так что композиция q f это нулевой морфизм категории, а кроме того q является универсальный в отношении этого свойства. Часто карта q понимается, и Q сам называется коядром ж.

Во многих ситуациях в абстрактная алгебра, например, для абелевы группы, векторные пространства или же модули, коядро гомоморфизм ж : Икс → Y это частное из Y посредством изображение из ж. В топологический настройки, такие как ограниченные линейные операторы между гильбертовыми пространствами, обычно приходится брать закрытие изображения перед переходом к частному.

Формальное определение

Коядро можно определить в общих рамках теория категорий. Чтобы определение имело смысл, рассматриваемая категория должна иметь нулевые морфизмы. В коядро из морфизм ж : Икс → Y определяется как коэквалайзер из ж и нулевой морфизм 0_XY : Икс → Y.

В явном виде это означает следующее. Коядро ж : Икс → Y это объект Q вместе с морфизмом q : Y → Q так что диаграмма

ездит на работу. Более того, морфизм q должно быть универсальный для этой диаграммы, т.е. любой другой такой q′: Y → Q′ Можно получить, составив q с уникальным морфизмом ты : Q → Q′:

Как и во всех универсальных конструкциях, коядро, если оно существует, единственно вплоть до уникальный изоморфизм, а точнее: если q : Y → Q и q ' : Y → Q ' два коядра ж : Икс → Y, то существует единственный изоморфизм ты : Q → Q ' с q = ты q.

Как и все коэквалайзеры, коядро q : Y → Q обязательно эпиморфизм. Наоборот, эпиморфизм называется нормальный (или же конормальный), если это коядро некоторого морфизма. Категория называется конормальный если каждый эпиморфизм нормален (например, категория групп конормальна).

Примеры

в категория групп, коядро групповой гомоморфизм ж : грамм → ЧАС это частное из ЧАС посредством нормальное закрытие изображения ж. В случае абелевы группы, поскольку каждый подгруппа нормально, коядро просто ЧАС по модулю образ ж:

${ displaystyle operatorname {coker} (f) = H / operatorname {im} (f).}$

Особые случаи

В предаддитивная категория, имеет смысл складывать и вычитать морфизмы. В такой категории коэквалайзер двух морфизмов ж и грамм (если он существует) - это лишь коядро их различия:

${ displaystyle operatorname {coeq} (f, g) = operatorname {coker} (g-f).}$

В абелева категория (особый вид предаддитивной категории) изображение и coimage морфизма ж даны

${ displaystyle { begin {align} operatorname {im} (f) & = ker ( operatorname {coker} f), operatorname {coim} (f) & = operatorname {coker} ( ker е). end {align}}}$

В частности, любая абелева категория нормальна (а также конормальна). То есть каждый мономорфизм м можно записать как ядро ​​некоторого морфизма. Конкретно, м является ядром своего собственного коядра:

${ Displaystyle м = кер ( OperatorName {coker} (м))}$

Интуиция

Коядро можно рассматривать как пространство ограничения что уравнение должно удовлетворять, поскольку пространство препятствия, так же, как ядро это пространство решения.

Формально можно связать ядро ​​и коядро карты Т: V → W посредством точная последовательность

${ displaystyle 0 to ker T to V { overset {T} { longrightarrow}} W to operatorname {coker} T to 0.}$

Их можно интерпретировать так: дано линейное уравнение Т(v) = ш решать,

• ядро - это пространство решения к однородный уравнение Т(v) = 0, а его размерность - количество степени свободы в растворе, если он существует;
• коядро - это пространство ограничения которое должно быть выполнено, если уравнение должно иметь решение, а его размерность - это количество ограничений, которые должны быть выполнены, чтобы уравнение имело решение.

Размер коядра плюс размер изображения (ранг) складываются в размерность целевого пространства, как размер факторного пространства. ${ Displaystyle W / T (V)}$ это просто измерение пространства минус размер изображения.

В качестве простого примера рассмотрим карту Т: р² → р², данный Т(Икс, у) = (0, у). Тогда для уравнения Т(Икс, у) =(а, б) чтобы найти решение, мы должны иметь а = 0 (одно ограничение), и в этом случае пространство решений (Икс, б) или, что то же самое, (0, б) + (Икс, 0), (одна степень свободы). Ядро можно выразить как подпространство (Икс, 0) ⊆ V: значение Икс это свобода решения. Коядро может быть выражено через вещественнозначное отображение W: (а, б) → (а): задан вектор (а, б), значение а это препятствие чтобы было решение.

Кроме того, коядро можно рассматривать как нечто, что «обнаруживает» выбросы так же, как ядро ​​«обнаруживает» инъекции. Отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро ​​тривиально, а отображение сюръективно тогда и только тогда, когда его коядро тривиально, или, другими словами, если W = им (Т).

Рекомендации

• Saunders Mac Lane: Категории для рабочего математика, Второе издание, 1998 г., стр. 64
• Эмили Риль: Теория категорий в контексте, Оригиналы современной математики Аврора, 2014, с. 82, стр. 139 сноска 8.