Продукт (теория категорий) - Product (category theory)

В теория категорий, то товар из двух (или более) объекты в категория - это понятие, призванное отразить суть конструкций в других областях математика такой как Декартово произведение из наборы, то прямой продукт из группы или же кольца, а товар из топологические пространства. По сути, продукт семья объектов - это «самый общий» объект, допускающий морфизм каждому из данных объектов.

Определение

Произведение двух предметов

Исправить категорию C. Позволять Икс₁ и Икс₂ быть объектами C. Продукт Икс₁ и Икс₂ это объект Икс, обычно обозначается Икс₁ × Икс₂, снабженный парой морфизмов π₁ : Икс → Икс₁, π₂ : Икс → Икс₂ удовлетворяющий следующим универсальная собственность:

• Для каждого объекта Y и каждая пара морфизмов ж₁ : Y → Икс₁, ж₂ : Y → Икс₂, существует единственный морфизм ж : Y → Икс₁ × Икс₂ такая, что следующая диаграмма ездит на работу:

Существование продукта может зависеть от C или на Икс₁ и Икс₂. Если он существует, то он уникален с точностью до канонического изоморфизма из-за универсального свойства, поэтому можно говорить о в товар.

Морфизмы π₁ и π₂ называются канонические проекции или же проекционные морфизмы. Данный Y и ж₁, ж₂, уникальный морфизм ж называется продукт морфизмов ж₁ и ж₂ и обозначается ⟨ж₁, ж₂⟩.

Произведение произвольной семьи

Вместо двух объектов мы можем начать с произвольного семейства объектов индексированный набором я.

Учитывая семью (Икс_я)_я∈я объектов, товар семьи это объект Икс снабжены морфизмами π_я : Икс → Икс_я удовлетворяющие следующему универсальному свойству:

• Для каждого объекта Y и каждый я-индексированное семейство морфизмов ж_я : Y → Икс_я, существует единственный морфизм ж : Y → Икс такие, что следующие диаграммы коммутируют для всех я в я:

Продукт обозначен Π_я∈я Икс_я. Если я = {1, ..., п}, то обозначается Икс₁ × ... × Икс_п а произведение морфизмов обозначается ⟨ ж₁, ..., ж_п ⟩.

Уравнение определение

В качестве альтернативы продукт можно определить с помощью уравнений. Так, например, для бинарного продукта:

• Существование ж гарантируется наличием операции ⟨ −, − ⟩.
• Коммутативность приведенных выше диаграмм обеспечивается равенством ∀ж₁, ∀ж₂ ∀я ∈ {1, 2},  π_я ∘ ⟨ ж₁, ж₂ ⟩ = ж_я.
• Уникальность ж гарантируется равенством ∀грамм : Y → Икс₁ × Икс₂,  ⟨ π₁∘грамм, π₂∘грамм ⟩ = грамм.^[1]

Как предел

Изделие является частным случаем предел. Это можно увидеть, используя дискретная категория (семейство объектов без каких-либо морфизмов, кроме морфизмов их идентичности) как диаграмма требуется для определения лимита. Дискретные объекты будут служить указателем компонентов и проекций. Если рассматривать эту диаграмму как функтор, то это функтор из индексного множества я рассматривается как дискретная категория. Тогда определение продукта совпадает с определением предела, { ж }_я быть конус а выступы являются пределом (ограничивающим конусом).

Универсальная собственность

Так же, как предел - это частный случай универсальная конструкция, так продукт. Начиная с определения, данного для универсальное свойство пределов, брать J как дискретная категория с двумя объектами, так что C^J это просто Категория продукта C × C. В диагональный функтор Δ : C → C × C присваивает каждому объекту Икс в упорядоченная пара (Икс, Икс) и каждому морфизму ж пара (ж, ж). Продукт Икс₁ × Икс₂ в C дается универсальный морфизм от функтора Δ к объекту (Икс₁, Икс₂) в C × C. Этот универсальный морфизм состоит из объекта Икс из C и морфизм (Икс, Икс) → (Икс₁, Икс₂) который содержит проекции.

Примеры

в категория наборов, произведение (в теоретико-категориальном смысле) является декартовым произведением. Учитывая семейство множеств Икс_я продукт определяется как

Π_я∈я Икс_я := { (Икс_я)_я∈я | ∀я∈я, Икс_я∈Икс_я }

с каноническими проекциями

π_j : Π_я∈я Икс_я → Икс_j, π_j((Икс_я)_я∈я) := Икс_j.

Учитывая любой набор Y с семейством функций ж_я : Y → Икс_я, универсальная стрелка ж : Y → Π_я∈я Икс_я определяется ж(у) := (ж_я(у))_я∈я.

Другие примеры:

• в категория топологических пространств, произведение - это пространство, базовым набором которого является декартово произведение и которое несет топология продукта. Топология продукта - это грубейшая топология для которого все прогнозы непрерывный.
• в категория модулей над кольцом р, произведение представляет собой декартово произведение с покомпонентным и распределительным умножением, определяемым сложением.
• в категория групп, продукт прямое произведение групп задается декартовым произведением с покомпонентным умножением.
• в категория графиков, продукт тензорное произведение графов.
• в категория отношений, продукт определяется несвязный союз. (Это может немного удивить, учитывая, что категория наборов подкатегория категории отношений.)
• В категории алгебраические многообразия, продукт определяется Сегре встраивание.
• В категории полуабелевы моноиды, продукт определяется история моноид.
• А частично заказанный набор можно рассматривать как категорию, используя отношение порядка как морфизмы. В этом случае продукты и побочные продукты соответствуют точным нижним оценкам (встречает ) и точные верхние оценки (присоединяется ).

Обсуждение

Пример, в котором товар не существует: В категории полей товар Q × F_п не существует, так как нет поля с гомоморфизмами в оба Q и F_п.

Другой пример: An пустой продукт (т.е. я это пустой набор ) совпадает с конечный объект, а некоторые категории, такие как категория бесконечных групп, не имеют конечного объекта: для любой бесконечной группы грамм есть бесконечно много морфизмов ℤ → грамм, так грамм не может быть терминальным.

Если я такой набор, что все продукты для семейств, проиндексированных с я существуют, то каждый продукт можно рассматривать как функтор C^я → C.^[2] Как этот функтор отображает объекты, очевидно. Отображение морфизмов является тонким, потому что продукт морфизмов, определенных выше, не подходит. Сначала рассмотрим функтор бинарного произведения, который является бифунктор. За ж₁ : Икс₁ → Y₁, ж₂ : Икс₂ → Y₂ мы должны найти морфизм Икс₁ × Икс₂ → Y₁ × Y₂. Мы выбрали ⟨ ж₁ о π₁, ж₂ о π₂ ⟩. Эта операция над морфизмами называется декартово произведение морфизмов.^[3] Во-вторых, рассмотрим общий функтор произведения. Для семей {Икс}_я,{Y}_я, ж_я : Икс_я → Y_я мы должны найти морфизм Π_я∈я Икс_я → Π_я∈я Y_я. Выбираем произведение морфизмов {ж_я о π_я}_я.

Категория, в которой каждый конечный набор объектов имеет продукт, иногда называется декартова категория^[3](хотя некоторые авторы используют это словосочетание для обозначения «категории со всеми конечными пределами»).

Продукт ассоциативный. Предполагать C - декартова категория, функторы произведения были выбраны, как указано выше, и 1 обозначает конечный объект C. Тогда у нас есть естественные изоморфизмы

${ Displaystyle X раз (Y раз Z) simeq (X раз Y) раз Z simeq X раз Y раз Z,}$

${ Displaystyle X раз 1 simeq 1 раз X simeq X,}$

${ displaystyle X times Y simeq Y times X.}$

Эти свойства формально аналогичны свойствам коммутативного моноид; декартова категория с ее конечными произведениями является примером симметричная моноидальная категория.

Распределительность

Для любых объектов Икс, Y, и Z категории с конечными произведениями и копроизведениями существует канонический морфизм Икс × Y + Икс × Z → Икс × (Y + Z), где знак плюс здесь означает сопродукт. Чтобы убедиться в этом, отметим, что универсальное свойство копроизведения Икс × Y + Икс × Z гарантирует существование уникальных стрелок, заполняющих следующую диаграмму (индуцированные стрелки показаны пунктиром):

Универсальное свойство продукта Икс × (Y + Z) тогда гарантирует уникальный морфизм Икс × Y + Икс × Z → Икс × (Y + Z) индуцированные пунктирными стрелками на приведенной выше диаграмме. А распределительная категория тот, в котором этот морфизм на самом деле является изоморфизмом. Таким образом, в дистрибутивной категории имеется канонический изоморфизм

${ Displaystyle Х раз (Y + Z) simeq (Х раз Y) + (Х раз Z)}$.

Смотрите также

• Копродукт - в двойной продукта
• Диагональный функтор - в левый смежный функтора произведения.
• Предел и копределы
• Эквалайзер
• Обратный предел
• Декартова закрытая категория
• Категорический откат

Рекомендации

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF). Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-60922-6.
• Барр, Майкл; Чарльз Уэллс (1999). Теория категорий для вычислительной науки (PDF). Les Publications CRM Montreal (публикация PM023). Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2016-03-21. Глава 5.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer. ISBN  0-387-98403-8.
• Определение 2.1.1 в Борсё, Фрэнсис (1994). Справочник категориальной алгебры. Энциклопедия математики и ее приложений 50-51, 53 [т.е. 52]. Том 1. Издательство Кембриджского университета. п.39. ISBN  0-521-44178-1.

внешняя ссылка

• Интерактивная веб-страница который порождает примеры продуктов в категории конечных множеств. Написано Джоселин Пейн.
• Товар в nLab