Моноид следа - Википедия - Trace monoid

В Информатика, а след это набор струны, при этом определенные буквы в строке могут быть ездить, но другие нет. Он обобщает концепцию строки, не заставляя буквы всегда быть в фиксированном порядке, но позволяя иметь место определенные перетасовки. Следы были внесены Пьер Картье и Доминик Фоата в 1969 г., чтобы дать комбинаторное доказательство Основная теорема Мак-Магона. Следы используются в теориях параллельное вычисление, где коммутирующие буквы означают части работы, которые могут выполняться независимо друг от друга, а не коммутирующие буквы означают блокировки, точки синхронизации или же поток присоединяется.^[1]

В след моноид или же свободный частично коммутативный моноид это моноид следов. Вкратце, он построен следующим образом: наборы коммутирующих букв задаются отношение независимости. Они вызывают отношение эквивалентности эквивалентных строк; элементами классов эквивалентности являются следы. Затем отношение эквивалентности разбивает свободный моноид (множество всех строк конечной длины) в набор классов эквивалентности; в результате все еще остается моноид; это частный моноид и называется след моноид. Моноид следа универсальный, в том, что все гомоморфные по зависимостям (см. ниже) моноиды на самом деле являются изоморфный.

Моноиды трассировки обычно используются для моделирования параллельное вычисление, формируя основу для технологические расчеты. Они являются объектом изучения в теория следов. Полезность следовых моноидов заключается в том, что они изоморфны моноиду графы зависимостей; что позволяет применять алгебраические методы к графики, наоборот. Они также изоморфны история моноидов, которые моделируют историю вычислений отдельных процессов в контексте всех запланированных процессов на одном или нескольких компьютерах.

След

Позволять ${ Displaystyle Sigma ^ {*}}$ обозначают свободный моноид, то есть множество всех строк, записанных в алфавите ${ displaystyle Sigma}$. Здесь звездочкой, как обычно, Клини звезда. An отношение независимости ${ displaystyle I}$ на ${ displaystyle Sigma}$ затем индуцирует бинарное отношение ${ displaystyle sim}$ на ${ Displaystyle Sigma ^ {*}}$, куда ${ displaystyle u sim v}$ тогда и только тогда, когда существуют ${ displaystyle x, y in Sigma ^ {*}}$, и пара ${ displaystyle (a, b) in I}$ такой, что ${ displaystyle u = xaby}$ и ${ Displaystyle v = xbay}$. Здесь, ${ displaystyle u, v, x}$ и ${ displaystyle y}$ понимаются как строки (элементы ${ Displaystyle Sigma ^ {*}}$), пока ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ буквы (элементы ${ displaystyle Sigma}$).

В след определяется как симметричное, рефлексивное и транзитивное замыкание ${ displaystyle sim}$. Таким образом, след является отношением эквивалентности на ${ Displaystyle Sigma ^ {*}}$, и обозначается ${ Displaystyle Equiv _ {D}}$. Нижний индекс D на эквивалентности просто означает, что эквивалентность получается из независимости я вызванный зависимостью D. Ясно, что разные зависимости дадут разные отношения эквивалентности.

В переходное закрытие просто означает, что ${ Displaystyle и эквивалент v}$ тогда и только тогда, когда существует последовательность строк ${ Displaystyle (ш_ {0}, ш_ {1}, cdots, ш_ {п})}$ такой, что ${ displaystyle u sim w_ {0}}$ и ${ displaystyle v sim w_ {n}}$ и ${ Displaystyle ш_ {я} сим ш_ {я + 1}}$ для всех ${ Displaystyle 0 Leq я <п}$. След устойчив при работе моноида на ${ Displaystyle Sigma ^ {*}}$ (конкатенация ) и поэтому является отношение конгруэнтности на ${ Displaystyle Sigma ^ {*}}$.

Моноид следа, обычно обозначаемый как ${ Displaystyle mathbb {M} (D)}$, определяется как фактормоноид

${ Displaystyle mathbb {M} (D) = Sigma ^ {*} / Equiv _ {D}.}$

Гомоморфизм

${ Displaystyle phi _ {D}: Sigma ^ {*} to mathbb {M} (D)}$

обычно называют естественный гомоморфизм или же канонический гомоморфизм. Что условия естественный или же канонический заслуживают это следует из того факта, что этот морфизм воплощает в себе универсальное свойство, как обсуждается в следующем разделе.

Примеры

Рассмотрим алфавит ${ Displaystyle Sigma = {а, б, с }}$. Возможное отношение зависимости

${ displaystyle { begin {matrix} D & = & {a, b } times {a, b } quad cup quad {a, c } times {a, c } & = & {a, b } ^ {2} cup {a, c } ^ {2} & = & {(a, b), (b, a), (a , c), (c, a), (a, a), (b, b), (c, c) } end {matrix}}}$

Соответствующая независимость

${ Displaystyle I_ {D} = {(b, c) ,, , (c, b) }}$

Следовательно, буквы ${ displaystyle b, c}$ ездить. Так, например, класс эквивалентности трассировки для строки ${ displaystyle abababbca}$ было бы

${ Displaystyle [abababbca] _ {D} = {abababbca ,, ; abababcba ,, ; ababacbba }}$

Класс эквивалентности ${ displaystyle [abababbca] _ {D}}$ является элементом моноида следа.

Характеристики

В аннулирование собственности заявляет, что эквивалентность сохраняется при правильная отмена. То есть, если ${ Displaystyle ш эквив v}$, тогда ${ Displaystyle (вес div а) эквив (v div а)}$. Здесь обозначение ${ displaystyle w div a}$ обозначает правильную отмену, удаление первого появления буквы а из строки ш, начиная с правой стороны. Эквивалентность также поддерживается за счет отмены слева. Следуют несколько следствий:

• Встраивание: ${ Displaystyle ш эквив v}$ если и только если ${ Displaystyle xwy Equiv xvy}$ для струнных Икс и у. Таким образом, моноид трассировки является синтаксическим моноидом.
• Независимость: если ${ Displaystyle ua эквив. vb}$ и ${ displaystyle a neq b}$, тогда а не зависит от б. То есть, ${ displaystyle (a, b) in I_ {D}}$. Кроме того, существует строка ш такой, что ${ Displaystyle и эквив. wb}$ и ${ Displaystyle v Equiv wa}$.
• Правило проецирования: эквивалентность сохраняется при струнная проекция, так что если ${ Displaystyle ш эквив v}$, тогда ${ Displaystyle пи _ { Сигма} (ш) экв пи _ { Сигма} (в)}$.

Сильная форма Лемма Леви держит следы. В частности, если ${ Displaystyle уф эквив ху}$ для струнных ты, v, Икс, у, то существуют строки ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}$ и ${ displaystyle z_ {4}}$ такой, что ${ displaystyle (w_ {2}, w_ {3}) in I_ {D}}$для всех букв ${ displaystyle w_ {2} in Sigma}$ и ${ displaystyle w_ {3} in Sigma}$ такой, что ${ displaystyle w_ {2}}$ происходит в ${ displaystyle z_ {2}}$ и ${ displaystyle w_ {3}}$ происходит в ${ displaystyle z_ {3}}$, и

${ Displaystyle и эквив г_ {1} г_ {2}, qquad v эквив г_ {3} г_ {4},}$

${ Displaystyle x Equiv z_ {1} z_ {3}, qquad y Equiv z_ {2} z_ {4}.}$^[2]

Универсальная собственность

А морфизм зависимости (относительно зависимости D) является морфизмом

${ displaystyle psi: Sigma ^ {*} to M}$

к какому-то моноиду M, такие, что выполняются "обычные" свойства следа, а именно:

1. ${ Displaystyle пси (ш) = пси ( varepsilon)}$ подразумевает, что ${ Displaystyle ш = varepsilon}$

2. ${ displaystyle (a, b) in I_ {D}}$ подразумевает, что ${ Displaystyle psi (ab) = psi (ba)}$

3. ${ Displaystyle psi (ua) = psi (v)}$ подразумевает, что ${ Displaystyle psi (u) = psi (v div a)}$

4. ${ Displaystyle psi (ua) = psi (vb)}$ и ${ displaystyle a neq b}$ подразумевают, что ${ displaystyle (a, b) in I_ {D}}$

Морфизмы зависимости универсальны в том смысле, что для данной фиксированной зависимости D, если ${ displaystyle psi: Sigma ^ {*} to M}$ является морфизмом зависимости к моноиду M, тогда M является изоморфный к моноиду следа ${ Displaystyle mathbb {M} (D)}$. В частности, естественный гомоморфизм - это морфизм зависимости.

Нормальные формы

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Декабрь 2009 г.)

Есть две хорошо известные нормальные формы слов в моноидах трассировки. Один из них лексикографический нормальной формы, благодаря Анатолию В. Анисимову и Дональд Кнут, а другой - Foata нормальная форма из-за Пьер Картье и Доминик Фоата кто изучал моноид следа для его комбинаторика в 1960-е гг.

Языки трассировки

Так же, как формальный язык можно рассматривать как подмножество ${ Displaystyle Sigma ^ {*}}$ набор всех возможных строк, поэтому язык трассировки определяется как подмножество ${ Displaystyle mathbb {M} (D)}$ все возможные следы.

Язык ${ Displaystyle L substeq Sigma ^ {*}}$ является языком трассировки или называется последовательный с зависимостью D если

${ Displaystyle L = bigcup [L] _ {D}}$

куда

${ displaystyle [L] _ {D} = {[w] _ {D} vert w in L }}$

является замыканием трассировки набора строк.

Примечания

Рекомендации

Общие ссылки

• Дикерт, Фолькер; Метивье, Ив (1997), «Частичная коммутация и следы», у Розенберга, G .; Саломаа, А. (ред.), Справочник формальных языков Vol. 3; За словами, Springer-Verlag, Берлин, стр. 457–534, ISBN  3-540-60649-1
• Лотэр, М. (2011), Алгебраическая комбинаторика слов, Энциклопедия математики и ее приложений, 90, С предисловием Жана Берштеля и Доминика Перрена (Перепечатка издания в твердом переплете 2002 г.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-18071-9, Zbl  1221.68183
• Антони Мазуркевич, "Введение в теорию следов", стр. 3–41, в Книга следов, В. Дикерт, Г. Розенберг, ред. (1995) World Scientific, Сингапур ISBN  981-02-2058-8
• Фолькер Дикерт, Комбинаторика по следам, LNCS 454, Спрингер, 1990 г., ISBN  3-540-53031-2, стр. 9–29
• Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004), Справочник по теории чисел II, Dordrecht: Kluwer Academic, стр. 32–36, ISBN  1-4020-2546-7, Zbl  1079.11001

Основные публикации

• Пьер Картье и Доминик Фоата, Проблемы, связанные с коммутацией и перестановками, Конспект лекций по математике 85, Springer-Verlag, Берлин, 1969, Бесплатное переиздание 2006 г. с новыми приложениями
• Антони Мазуркевич, Схемы параллельных программ и их интерпретации, Отчет DAIMI PB 78, Орхусский университет, 1977 г.