Полугруппа - Semigroup

Ассоциативное свойство конкатенации строк.

Алгебраические структуры между магмы и группы: А полугруппа это магма с ассоциативность. А моноид это полугруппа с элемент идентичности.

В математике полугруппа является алгебраическая структура состоящий из набор вместе с ассоциативный бинарная операция.

Бинарная операция полугруппы чаще всего обозначается мультипликативно: Икс·у, или просто ху, обозначает результат применения полугрупповой операции к упорядоченная пара (Икс, у). Ассоциативность формально выражается как (Икс·у)·z = Икс·(у·z) для всех Икс, у и z в полугруппе.

Полугруппы можно рассматривать как частный случай магмы, где операция ассоциативна, или как обобщение группы, не требуя наличия элемента идентичности или инверсий.^{[примечание 1]} Как и в случае групп или магм, полугрупповая операция не обязательна. коммутативный, так Икс·у не обязательно равно у·Икс; хорошо известный пример ассоциативной, но некоммутативной операции: матричное умножение. Если операция полугруппы коммутативна, то полугруппа называется коммутативная полугруппа или (реже, чем в аналогичный случай групп ) его можно назвать абелева полугруппа.

А моноид представляет собой алгебраическую структуру, промежуточную между группами и полугруппами, и является полугруппой, имеющей элемент идентичности, таким образом подчиняясь всем аксиомам группы, кроме одной; наличие обратных точек от моноида не требуется. Естественный пример - струны с конкатенация как двоичная операция, а пустая строка как элемент идентичности. Ограничение непустым струны дает пример полугруппы, не являющейся моноидом. Положительный целые числа со сложением образуют коммутативную полугруппу, которая не является моноидом, тогда как неотрицательные целые числа образуют моноид. Полугруппу без элемента идентичности можно легко превратить в моноид, просто добавив элемент идентичности. Следовательно, моноиды изучаются в теории полугрупп, а не в теории групп. Полугруппы не следует путать с квазигруппы, являющиеся обобщением групп в другом направлении; операция в квазигруппе должна быть не ассоциативной, а квазигруппой сохранить от групп понятие разделение. Деление на полугруппы (или на моноиды) вообще невозможно.

Формальное изучение полугрупп началось в начале 20 века. Первые результаты включают Теорема Кэли для полугрупп реализуя любую полугруппу как полугруппа преобразований, в котором произвольные функции заменяют роль биекций из теории групп. Глубокий результат в классификации конечных полугрупп Теория Крона – Родса, аналогично Разложение Жордана – Гёльдера для конечных групп. Некоторые другие методы изучения полугрупп, например Отношения Грина, не похожи ни на что в теории групп.

Теория конечных полугрупп имела особое значение в теоретическая информатика с 1950-х годов из-за естественной связи между конечными полугруппами и конечные автоматы через синтаксический моноид. В теория вероятности, полугруппы связаны с Марковские процессы.^[1] В других областях Прикладная математика, полугруппы являются фундаментальными моделями для линейные инвариантные во времени системы. В уравнения в частных производных, полугруппа связана с любым уравнением, пространственная эволюция которого не зависит от времени.

Есть множество специальные классы полугрупп, полугруппы с дополнительными свойствами, которые появляются в конкретных приложениях. Некоторые из этих классов даже ближе к группам, поскольку демонстрируют некоторые дополнительные, но не все свойства группы. Из них мы упоминаем: регулярные полугруппы, ортодоксальные полугруппы, полугруппы с инволюцией, инверсные полугруппы и сократительные полугруппы. Есть также интересные классы полугрупп, не содержащие никаких групп, кроме тривиальная группа; примеры последнего вида группы и их коммутативный подкласс -полурешетки, которые также упорядоченные алгебраические структуры.

Определение

Полугруппа - это набор ${displaystyle S}$ вместе с бинарная операция "${displaystyle cdot}$" (это функция ${displaystyle cdot: S imes Sightarrow S}$), который удовлетворяет ассоциативное свойство:

Для всех ${displaystyle a, b, cin S}$, уравнение ${displaystyle (acdot b) cdot c = acdot (bcdot c)}$ держит.

Если говорить более кратко, полугруппа - это ассоциативная магма.

Примеры полугрупп

• Пустая полугруппа: the пустой набор образует полугруппу с пустая функция как бинарная операция.
• Полугруппа с одним элементом: по сути, только один (а именно, только один вплоть до изоморфизм ), синглтон {а} с операцией а · а = а.
• Полугруппа с двумя элементами: есть пять принципиально разных.
• Моноид "триггер": a полугруппа с тремя элементами представляющие три операции на переключателе - установить, сбросить и ничего не делать.
• Набор положительных целые числа с добавлением. (С включенным 0 это становится моноид.)
• Набор целые числа с минимумом или максимумом. (С учетом положительной / отрицательной бесконечности это становится моноидом.)
• Квадрат неотрицательные матрицы заданного размера с матричным умножением.
• Любой идеальный из звенеть с умножением кольца.
• Множество всех конечных струны над фиксированным алфавитом Σ с конкатенация строк как полугрупповая операция - так называемая "свободная полугруппа над Σ ". С включенной пустой строкой эта полугруппа становится свободный моноид над Σ.
• А распределение вероятностей F вместе со всеми свертки F со сверткой в ​​качестве операции. Это называется сверточной полугруппой.
• Полугруппы преобразований и моноиды.
• Набор непрерывные функции из топологическое пространство с композицией функций образует моноид с функция идентичности действуя как личность. В более общем плане эндоморфизмы любого объекта категория образуют моноид по композиции.

Базовые концепты

Идентичность и ноль

А левая личность полугруппы ${displaystyle S}$ (или, в более общем смысле, магма ) является элементом ${displaystyle e}$ такой, что для всех ${displaystyle x}$ в ${displaystyle S}$, ${displaystyle ex = x}$. Аналогично правильная личность это элемент ${displaystyle f}$ такой, что для всех ${displaystyle x}$ в ${displaystyle S}$, ${displaystyle xf = x}$. И левая, и правая идентичности называются односторонние идентичности. Полугруппа может иметь одну или несколько левых идентичностей, но не иметь правую идентичность, и наоборот.

А двусторонняя идентичность (или просто личность) - это элемент, который является одновременно левым и правым тождеством. Полугруппы с двусторонней идентичностью называются моноиды. Полугруппа может иметь не более одной двусторонней идентичности. Если полугруппа имеет двустороннюю идентичность, то двусторонняя идентичность является единственной односторонней идентичностью в полугруппе. Если полугруппа имеет как левую, так и правую идентичность, то она имеет двустороннюю идентичность (которая, следовательно, является уникальной односторонней идентичностью).

Полугруппа ${displaystyle S}$ без личности может быть встроенный в моноиде, образованном присоединением элемента ${displaystyle eotin S}$ к ${displaystyle S}$ и определение ${displaystyle ecdot s = scdot e = s}$ для всех ${displaystyle sin Scup {e}}$.^[2][3] Обозначение ${displaystyle S ^ {1}}$ обозначает моноид, полученный из ${displaystyle S}$ путем присоединения к личности если необходимо (${displaystyle S ^ {1} = S}$ для моноида).^[3]

Точно так же каждая магма имеет не более одного поглощающий элемент, который в теории полугрупп называется нуль. Аналогично предыдущей конструкции для любой полугруппы ${displaystyle S}$, можно определить ${displaystyle S ^ {0}}$, полугруппа с 0, вкладывающая ${displaystyle S}$.

Подполугруппы и идеалы

Полугрупповая операция индуцирует операцию над набором своих подмножеств: заданные подмножества А и B полугруппы S, их продукт А · B, обычно пишется как AB, это множество { ab | а в А и б в B }. (Это понятие идентично определяется как это для групп.) В рамках этой операции подмножество А называется

• а подполугруппа если AA это подмножество А,
• а правильный идеал если В КАЧЕСТВЕ это подмножество А, и
• а левый идеал если SA это подмножество А.

Если А является одновременно левым и правым идеалом, тогда он называется идеальный (или двусторонний идеал).

Если S является полугруппой, то пересечение любого набора подполугрупп S также является подполугруппой S.Таким образом, подполугруппы S сформировать полная решетка.

Примером полугруппы без минимального идеала может служить сложение натуральных чисел. Минимальный идеал коммутативный полугруппа, если она существует, является группой.

Отношения Грина, набор из пяти отношения эквивалентности которые характеризуют элементы с точки зрения главные идеалы они порождают, являются важными инструментами для анализа идеалов полугруппы и связанных понятий структуры.

Подмножество со свойством, что каждый элемент коммутирует с любым другим элементом полугруппы, называется центр полугруппы.^[4] Центр полугруппы на самом деле является подполугруппой.^[5]

Гомоморфизмы и сравнения

А полугруппа гомоморфизм - функция, сохраняющая структуру полугруппы. Функция ж: S → Т между двумя полугруппами является гомоморфизмом, если уравнение

ж(ab) = ж(а)ж(б).

выполняется для всех элементов а, б в S, т.е. результат будет таким же при выполнении операции полугруппы после или до применения карты ж.

Гомоморфизм полугрупп между моноидами сохраняет тождество, если он моноидный гомоморфизм. Но есть гомоморфизмы полугрупп, которые не являются гомоморфизмами моноидов, например каноническое вложение полугруппы ${displaystyle S}$ без идентичности в ${displaystyle S ^ {1}}$. Условия, характеризующие гомоморфизмы моноидов, обсуждаются далее. Позволять ${displaystyle f: S_ {0} o S_ {1}}$ - гомоморфизм полугрупп. Образ ${displaystyle f}$ также является полугруппой. Если ${displaystyle S_ {0}}$ моноид с единичным элементом ${displaystyle e_ {0}}$, тогда ${displaystyle f (e_ {0})}$ является элементом идентичности в образе ${displaystyle f}$. Если ${displaystyle S_ {1}}$ также является моноидом с единичным элементом ${displaystyle e_ {1}}$ и ${displaystyle e_ {1}}$ принадлежит имиджу ${displaystyle f}$, тогда ${displaystyle f (e_ {0}) = e_ {1}}$, т.е. ${displaystyle f}$ является гомоморфизмом моноида. В частности, если ${displaystyle f}$ является сюръективный, то это гомоморфизм моноида.

Две полугруппы S и Т как говорят изоморфный если есть биекция ж : S ↔ Т со свойством, что для любых элементов а, б в S, ж(ab) = ж(а)ж(б). Такое же строение имеют изоморфные полугруппы.

А полугрупповая конгруэнтность ${displaystyle sim}$ является отношение эквивалентности что совместимо с полугрупповой операцией. То есть подмножество ${displaystyle sim; подэтап S imes S}$ это отношение эквивалентности и ${displaystyle xsim y,}$ и ${displaystyle usim v,}$ подразумевает ${displaystyle xusim yv,}$ для каждого ${displaystyle x, y, u, v}$ в S. Как и любое отношение эквивалентности, полугрупповая конгруэнция ${displaystyle sim}$ побуждает классы конгруэнтности

${displaystyle [a] _ {sim} = {xin Svert; xsim a}}$

а полугрупповая операция индуцирует бинарную операцию ${displaystyle circ}$ по классам конгруэнтности:

${displaystyle [u] _ {sim} circ [v] _ {sim} = [uv] _ {sim}} »$

Потому что ${displaystyle sim}$ является конгруэнцией, множество всех классов конгруэнции ${displaystyle sim}$ образует полугруппу с ${displaystyle circ}$, называется факторполугруппа или же факторная полугруппа, и обозначил ${displaystyle S / sim}$. Отображение ${displaystyle xmapsto [x] _ {sim}}$ является гомоморфизмом полугрупп, называемым карта частных, канонический сюрприз или же проекция; если S - моноид, то фактор-полугруппа - это моноид с единицей ${displaystyle [1] _ {sim}}$. И наоборот, ядро гомоморфизма полугрупп является конгруэнцией полугрупп. Эти результаты - не более чем конкретизация первая теорема об изоморфизме в универсальной алгебре. Классы конгруэнтности и факторные моноиды являются объектами изучения в системы перезаписи строк.

А ядерная конгруэнтность на S является ядром эндоморфизма S.^[6]

Полугруппа S удовлетворяет максимальное условие на сравнения если какая-либо семья совпадений на S, упорядоченная по включению, имеет максимальный элемент. К Лемма Цорна, это равносильно утверждению, что условие возрастающей цепи имеет место: не существует бесконечной строго возрастающей цепочки сравнений на S.^[7]

Каждый идеал я полугруппы индуцирует подполугруппу, Полугруппа факторов Риса через сравнение Икс ρ у ⇔ либо Икс = у или оба Икс и у находятся в я.

Коэффициенты и деления

Следующие понятия^[8] ввести идею о том, что одна полугруппа содержится в другой.

Полугруппа Т является фактором полугруппы S если существует сюръективный морфизм полугруппы из S к Т. Например, ${displaystyle (mathbb {Z} / 2mathbb {Z}, +)}$ является частным от ${displaystyle (mathbb {Z} / 4mathbb {Z}, +)}$, используя морфизм, состоящий в взятии остатка по модулю 2 целого числа.

Полугруппа Т делит полугруппу S, отметил ${displaystyle Tpreceq S}$ если Т является фактором подполугруппы S. В частности, подполугруппы S разделяет Т, хотя это не обязательно тот случай, когда существует частное от S.

Оба эти отношения транзитивны.

Структура полугрупп

Для любого подмножества А из S есть наименьшая подполугруппа Т из S который содержит А, и мы говорим, что А генерирует Т. Единый элемент Икс из S порождает подполугруппу { Икс^п | п ∈ Z⁺ }. Если это конечно, то Икс Говорят, что из конечный порядок, в противном случае это бесконечный порядок.Полугруппой называется периодический если все ее элементы имеют конечный порядок. полугруппа, порожденная одним элементом, называется моногенный (или же циклический ). Если моногенная полугруппа бесконечна, то она изоморфна полугруппе положительных целые числа с операцией сложения; если он конечный и непустой, то он должен содержать хотя бы один идемпотент Отсюда следует, что каждая непустая периодическая полугруппа имеет хотя бы один идемпотент.

Подполугруппа, которая также является группой, называется подгруппа. Между подгруппами полугруппы и ее идемпотентами существует тесная связь. Каждая подгруппа содержит ровно один идемпотент, а именно единичный элемент подгруппы. Для каждого идемпотента е полугруппы существует единственная максимальная подгруппа, содержащая е. Таким образом возникает каждая максимальная подгруппа, поэтому между идемпотентами и максимальными подгруппами существует взаимно однозначное соответствие. Здесь термин максимальная подгруппа отличается от его стандартного использования в теории групп.

Когда порядок конечен, можно сказать больше. Например, каждая непустая конечная полугруппа периодична и имеет минимальную идеальный и хотя бы один идемпотент. Количество конечных полугрупп данного размера (больше 1) (очевидно) больше, чем количество групп того же размера. Например, из шестнадцати возможных «таблиц умножения» для набора из двух элементов {а, б}, восемь полугрупп^{[заметка 2]} тогда как только четыре из них являются моноидами и только две образуют группы. Подробнее о структуре конечных полугрупп см. Теория Крона – Родса.

Специальные классы полугрупп

• А моноид полугруппа с элемент идентичности.
• А группа полугруппа с элемент идентичности и обратный элемент.
• Подполугруппа - это подмножество полугруппы, замкнутой относительно полугрупповой операции.
• А отменяющая полугруппа тот, у кого есть аннулирование собственности:^[9] а · б = а · c подразумевает б = c и аналогично для б · а = c · а.
• А группа полугруппа, операция которой идемпотент.
• А полурешетка - полугруппа, операция идемпотентная и коммутативный.
• 0-простой полугруппы.
• Полугруппы преобразований: любая конечная полугруппа S могут быть представлены преобразованиями множества (состояний) Q не более |S| + 1 состояния. Каждый элемент Икс из S затем карты Q в себя Икс: Q → Q и последовательность ху определяется q(ху) = (qx)у для каждого q в Q. Последовательность явно является ассоциативной операцией, здесь эквивалентной функциональная композиция. Это представление является базовым для любого автомат или же конечный автомат (FSM).
• В бициклическая полугруппа фактически является моноидом, который можно описать как свободная полугруппа на двух генераторах п и q, при соотношении pq = 1.
• C₀-полугруппы.
• Регулярные полугруппы. Каждый элемент Икс имеет хотя бы один обратный у удовлетворение xyx=Икс и yxy=у; элементы Икс и у иногда называют «взаимно обратными».
• Обратные полугруппы - регулярные полугруппы, в которых каждый элемент имеет ровно одну обратную. С другой стороны, регулярная полугруппа обратна тогда и только тогда, когда любые два идемпотента коммутируют.
• Аффинная полугруппа: полугруппа, изоморфная конечно-порожденной подполугруппе Z^d. Эти полугруппы имеют приложения к коммутативная алгебра.

Структурная теорема для коммутативных полугрупп

Для коммутативных полугрупп существует структурная теорема в терминах полурешетки.^[10] Полурешётка (точнее встречная полурешётка) ${displaystyle (L, leq)}$ это частично заказанный набор где каждая пара элементов ${displaystyle a, bin L}$ имеет наибольшая нижняя граница, обозначенный ${displaystyle awedge b}$. Операция ${displaystyle wedge}$ делает ${displaystyle L}$ в полугруппу, удовлетворяющую дополнительным идемпотентность закон ${displaystyle awedge a = a}$.

Учитывая гомоморфизм ${displaystyle f: S o L}$ от произвольной полугруппы к полурешетке каждый прообраз ${displaystyle S_ {a} = f ^ {- 1} {a}}$ является (возможно, пустой) полугруппой. Более того, ${displaystyle S}$ становится оцененный к ${displaystyle L}$, в том смысле, что

${displaystyle S_ {a} S_ {b} subteq S_ {awedge b}}$

Если ${displaystyle f}$ находится на, полурешетка ${displaystyle L}$ изоморфен частное из ${displaystyle S}$ по отношению эквивалентности ${displaystyle sim}$ такой, что ${displaystyle xsim y}$ если только ${displaystyle f (x) = f (y)}$. Это отношение эквивалентности является полугрупповой конгруэнцией, как определено выше.

Всякий раз, когда мы берем фактор коммутативной полугруппы по конгруэнции, мы получаем другую коммутативную полугруппу. Структурная теорема гласит, что для любой коммутативной полугруппы ${displaystyle S}$, есть прекрасное соответствие ${displaystyle sim}$ такое, что частное ${displaystyle S}$ по этому отношению эквивалентности является полурешеткой. Обозначив эту полурешетку через ${displaystyle L}$, мы получаем гомоморфизм ${displaystyle f}$ из ${displaystyle S}$ на ${displaystyle L}$. Как уже упоминалось, ${displaystyle S}$ становится градуированной этой полурешеткой.

Кроме того, компоненты ${displaystyle S_ {a}}$ все Архимедовы полугруппы. Архимедова полугруппа - это полугруппа, в которой задана любая пара элементов ${displaystyle x, y}$, существует элемент ${displaystyle z}$ и ${displaystyle n> 0}$ такой, что ${displaystyle x ^ {n} = yz}$.

Архимедово свойство непосредственно следует из упорядоченности в полурешетке ${displaystyle L}$, так как при таком порядке мы имеем ${displaystyle f (x) leq f (y)}$ если и только если ${displaystyle x ^ {n} = yz}$ для некоторых ${displaystyle z}$ и ${displaystyle n> 0}$.

Группа фракций

В группа фракций или же завершение группы полугруппы S это группа грамм = грамм(S) порожденный элементами S как генераторы и все уравнения ху = z которые верны в S в качестве связи.^[11] Существует очевидный гомоморфизм полугрупп j : S → грамм(S) который отправляет каждый элемент S к соответствующему генератору. Это имеет универсальная собственность для морфизмов из S группе:^[12] учитывая любую группу ЧАС и любой гомоморфизм полугрупп k : S → ЧАС, существует единственный групповой гомоморфизм ж : грамм → ЧАС с k=fj. Мы можем думать о грамм как «наиболее общую» группу, содержащую гомоморфный образ S.

Важный вопрос - охарактеризовать те полугруппы, для которых это отображение является вложением. Это не всегда так: например, возьмите S быть полугруппой подмножеств некоторого множества Икс с теоретико-множественное пересечение как бинарная операция (это пример полурешетки). С А.А = А выполняется для всех элементов S, это должно быть верно для всех генераторов грамм(S) также: что, следовательно, является тривиальная группа. Очевидно, что для встраиваемости необходимо, чтобы S иметь аннулирование собственности. Когда S коммутативно это условие также достаточно^[13] и Группа Гротендик полугруппы дает построение группы дробей. Проблема некоммутативных полугрупп восходит к первой содержательной статье о полугруппах.^[14][15] Анатолий Мальцев дал необходимые и достаточные условия вложимости в 1937 г.^[16]

Полугрупповые методы в уравнениях в частных производных

Теория полугрупп может быть использована для изучения некоторых проблем в области уравнения в частных производных. Грубо говоря, полугрупповой подход заключается в рассмотрении нестационарного уравнения в частных производных как обыкновенное дифференциальное уравнение на функциональном пространстве. Например, рассмотрим следующую начальную / краевую задачу для уравнение теплопроводности на пространственном интервал (0, 1) ⊂ р и раз т ≥ 0:

${displaystyle {egin {cases} partial _ {t} u (t, x) = partial _ {x} ^ {2} u (t, x), & xin (0,1), t> 0; u (t , x) = 0, & xin {0,1}, t> 0; u (t, x) = u_ {0} (x), & xin (0,1), t = 0.end {case}}}$

Позволять Икс = L²((0, 1) р) быть L^п Космос квадратично интегрируемых действительных функций с областью определения интервал (0, 1) и разреши А - оператор второй производной с домен

${displaystyle D (A) = {ig {} uin H ^ {2} ((0,1); mathbf {R}) {ig |} u (0) = u (1) = 0 {ig}},}$

куда ЧАС² это Соболевское пространство. Тогда указанная выше начальная / краевая задача может быть интерпретирована как начальная задача для обыкновенного дифференциального уравнения в пространстве Икс:

${displaystyle {egin {case} {dot {u}} (t) = Au (t); u (0) = u_ {0} .end {case}}}$

На эвристическом уровне решение этой проблемы «должно» быть ты(т) = ехр (tA)ты₀. Однако для строгого обращения необходимо придать смысл экспоненциальный из tA. В зависимости от т, ехр (tA) - полугруппа операторов из Икс себе, принимая начальное состояние ты₀ вовремя т = 0 государству ты(т) = ехр (tA)ты₀ вовремя т. Оператор А считается бесконечно малый генератор полугруппы.

История

Изучение полугрупп отставало от изучения других алгебраических структур с более сложными аксиомами, такими как группы или же кольца. Ряд источников^[17][18] приписывают первое использование термина (на французском языке) Ж.-А. де Сегье в Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Элементы теории абстрактных групп) в 1904 году. Термин используется в английском языке в 1908 году в работе Гарольда Хинтона. Теория групп конечного порядка.

Антон Сушкевич получил первые нетривиальные результаты о полугруппах. Его статья 1928 года «Über die endlichen Gruppen One das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit» («О конечных группах без правила единственной обратимости») определила структуру конечных простые полугруппы и показал, что минимальный идеал (или Отношения Грина J-класс) конечной полугруппы прост.^[18] С этого момента основы теории полугрупп были заложены Дэвид Рис, Джеймс Александр Грин, Евгений Сергеевич Ляпин, Альфред Х. Клиффорд и Гордон Престон. Последние два опубликовали двухтомную монографию по теории полугрупп в 1961 и 1967 годах соответственно. В 1970 году новое периодическое издание под названием Полугруппа Форум (в настоящее время редактируется Springer Verlag ) стал одним из немногих математических журналов, целиком посвященных теории полугрупп.

В теория представлений полугрупп был разработан в 1963 г. Борис Шейн с помощью бинарные отношения на съемочной площадке А и состав отношений для полугруппового продукта.^[19] На алгебраической конференции в 1972 году Шейн провел обзор литературы по B_А, полугруппа отношений на А.^[20] В 1997 году Шейн и Ральф Маккензи доказал, что каждая полугруппа изоморфна транзитивной полугруппе бинарных отношений.^[21]

В последние годы исследователи в этой области стали более специализированными, появились специальные монографии по важным классам полугрупп, таким как инверсные полугруппы, а также монографии по приложениям в теория алгебраических автоматов, особенно для конечных автоматов, а также в функциональный анализ.

Обобщения

Если отбросить аксиому ассоциативности полугруппы, результатом будет магма, который представляет собой не более чем набор M оснащен бинарная операция это закрыто M × M → M.

Обобщая в другом направлении, п-арная полугруппа (также п-полугруппа, полиадическая полугруппа или же многоарная полугруппа) является обобщением полугруппы на множество грамм с п-арная операция вместо бинарной операции.^[22] Ассоциативный закон обобщается следующим образом: троичная ассоциативность равна (abc)де = а(bcd)е = ab(cde), т.е. строка abcde с любыми тремя соседними элементами в квадратных скобках. N-арная ассоциативность - это строка длины п + (п − 1) с любым п соседние элементы заключены в скобки. 2-арная полугруппа - это просто полугруппа. Дальнейшие аксиомы приводят к п-арная группа.

Третье обобщение - это полугруппоидный, в котором снимается требование тотальности бинарного отношения. Поскольку категории одинаково обобщают моноиды, полугруппоид ведет себя во многом как категория, но не имеет идентичностей.

Бесконечные обобщения коммутативных полугрупп иногда рассматривались разными авторами.^[23]

Смотрите также

• Поглощающий элемент
• Бордовый набор
• Пустая полугруппа
• Обобщенная обратная
• Элемент идентичности
• Тест ассоциативности света
• Квантовая динамическая полугруппа
• Кольцо полугруппы
• Слабая обратная

Примечания

Цитаты

Рекомендации