Произведение групповых подмножеств - Product of group subsets

В математика, можно определить произведение групповых подмножеств естественным образом. Если S и Т находятся подмножества из группа грамм, то их продукт является подмножеством грамм определяется

Подмножества S и Т не должно быть подгруппы чтобы этот продукт был четко определен. В ассоциативность этого продукта следует из что из группового продукта. Следовательно, произведение групповых подмножеств определяет естественный моноид структура на набор мощности из грамм.

Можно сказать гораздо больше в том случае, если S и Т являются подгруппами. Произведение двух подгрупп S и Т группы грамм сам является подгруппой грамм если и только если ST = TS.

Продукт подгрупп

Если S и Т являются подгруппами грамм, их продукт не обязательно должен быть подгруппой (например, две различные подгруппы порядка 2 в симметричная группа на 3-х символах). Этот продукт иногда называют Произведение Фробениуса.[1] В общем, произведение двух подгрупп S и Т является подгруппой тогда и только тогда, когда ST = TS,[2] и две подгруппы называются переставлять. (Вальтер Ледерманн назвал этот факт Теорема о продукте,[3] но это название, как и «произведение Фробениуса», отнюдь не стандартное.) ST это группа генерируется к S и Т; т.е. ST = TS = ⟨S ∪ Т⟩.

Если либо S или же Т является нормальный тогда условие ST = TS удовлетворен, и продукт является подгруппой.[4][5] Если оба S и Т нормальные, то и продукт нормальный.[4]

Если S и Т конечные подгруппы группы грамм, тогда ST это подмножество грамм размера | СТ | предоставленный формула продукта:

Обратите внимание, что это применимо, даже если ни один из S ни Т это нормально.

Модульное право

Следующее модульный закон (для групп) справедливо для любого Q подгруппа S, куда Т любая другая произвольная подгруппа (и обе S и Т являются подгруппами некоторой группы грамм):

Q(S ∩ Т) = S ∩ (QT).

Два продукта, фигурирующие в этом равенстве, не обязательно являются подгруппами.

Если QT является подгруппой (эквивалентно, как отмечалось выше, если Q и Т переставить) тогда QT = ⟨Q ∪ Т⟩ = Q ∨ Т; т.е. QT это присоединиться из Q и Т в решетка подгрупп из грамм, а модульный закон для такой пары также можно записать в виде Q ∨ (S ∩ Т) = S ∩ (Q ∨ T), которое является уравнением, определяющим модульная решетка если это верно для любых трех элементов решетки с Q ≤ S. В частности, поскольку нормальные подгруппы переставляются друг с другом, они образуют модульную подрешетка.

Группа, в которой каждая подгруппа переставляет, называется Группа Ивасава. Решетка подгрупп группы Ивасавы, таким образом, является модулярной решеткой, поэтому эти группы иногда называют модульные группы[6] (хотя этот последний термин может иметь другие значения.)

Предположение модулярного закона для групп (сформулированное выше), что Q является подгруппой S необходимо. Если Q является нет подгруппа S, то предварительное, более общее свойство распределения, которое можно рассматривать S ∩ (QT) = (S ∩ Q)(S ∩ Т) является ложный.[7][8]

Произведение подгрупп с тривиальным пересечением

В частности, если S и Т пересекаются только в тождестве, то каждый элемент ST имеет уникальное выражение как продукт ул с s в S и т в Т. Если S и Т также ездить, то ST является группой и называется Заппа – Сеп продукт. Более того, если S или же Т нормально в ST, тогда ST совпадает с полупрямой продукт из S и Т. Наконец, если оба S и Т нормальны в ST, тогда ST совпадает с прямой продукт из S и Т.

Если S и Т являются подгруппами, пересечение которых является тривиальной подгруппой (единичным элементом) и, кроме того, ST = грамм, тогда S называется дополнять из Т наоборот.

По (локально однозначно) злоупотребление терминологией, две подгруппы, которые пересекаются только на (в противном случае обязательном) тождестве, иногда называют непересекающийся.[9]

Произведение подгрупп с нетривиальным пересечением

Вопрос, возникающий в случае нетривиального пересечения нормальной подгруппы N и подгруппа K какова структура частного NK/N. Хотя может возникнуть соблазн просто "отменить" N и скажи, что ответ K, что неверно, поскольку гомоморфизм с ядром N также "свернет" (отобразит 1) все элементы K это случилось в N. Таким образом, правильный ответ: NK/N изоморфен K/(N∩K). Этот факт иногда называют вторая теорема об изоморфизме,[10] (хотя нумерация этих теорем у разных авторов различается); его также называли теорема алмаза к И. Мартин Айзекс из-за формы решетки подгруппы,[11] и был также назван правило параллелограмма к Пол Мориц Кон, который таким образом подчеркивал аналогию с правило параллелограмма для векторов, потому что в результирующей решетке подгрупп две стороны, как предполагается, представляют фактор-группы (SN) / N и S / (S ∩ N) равны в смысле изоморфизма.[12]

Аргумент Фраттини гарантирует существование продукта подгрупп (порождающего всю группу) в случае, когда пересечение не обязательно тривиально (и по этой последней причине две подгруппы не являются дополнениями). В частности, если грамм конечная группа с нормальной подгруппой N, и если п это Силовский п-подгруппа из N, тогда грамм = Nграмм(п)N, куда Nграмм(п) обозначает нормализатор из п в грамм. (Обратите внимание, что нормализатор п включает п, поэтому пересечение между N и Nграмм(п) не менее п.)

Обобщение на полугруппы

В полугруппа S, произведение двух подмножеств определяет структуру полугруппы на P (S), множестве степеней полугруппы S; кроме того, P (S) является полукольцо со сложением как объединением (подмножеств) и умножением как произведением подмножеств.[13]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп. Вальтер де Грюйтер. п.1. ISBN  978-3-11-022061-2.
  2. ^ В. Кейт Николсон (2012). Введение в абстрактную алгебру (4-е изд.). Джон Вили и сыновья. Лемма 2, с. 125. ISBN  978-1-118-13535-8.
  3. ^ Вальтер Ледерманн, Введение в теорию групп, 1976, Лонгман, ISBN  0-582-44180-3, п. 52
  4. ^ а б Николсон, 2012, теорема 5, с. 125
  5. ^ Дэвид А. Уоллес (1998). Группы, кольца и поля. Springer Science & Business Media. Теорема 14, с. 123. ISBN  978-3-540-76177-8.
  6. ^ Баллестер-Болинчес, Эстебан-Ромеро, Асаад, стр. 24
  7. ^ Дерек Робинсон (1996). Курс теории групп. Springer Science & Business Media. п. 15. ISBN  978-0-387-94461-6.
  8. ^ Пол Мориц Кон (2000). Классическая алгебра. Вайли. стр.248. ISBN  978-0-471-87731-8.
  9. ^ Л. Фукс (1970). Бесконечные абелевы группы. Том I. Академическая пресса. п. 37. ISBN  978-0-08-087348-0.
  10. ^ Дэн Сарачино (1980). Абстрактная алгебра: первый курс. Эддисон-Уэсли. п.123. ISBN  0-201-07391-9.
  11. ^ И. Мартин Айзекс (1994). Алгебра: выпускной курс. American Mathematical Soc. п.33. ISBN  978-0-8218-4799-2.
  12. ^ Пол Мориц Кон (2000). Классическая алгебра. Вайли. п.245. ISBN  978-0-471-87731-8.
  13. ^ Жан Э. Пин (1989). Формальные свойства конечных автоматов и приложения: Весенняя школа LITP по теоретической информатике, Раматюэль, Франция, 23–27 мая 1988 г. Труды. Springer Science & Business Media. п. 35. ISBN  978-3-540-51631-6.
  • Ротман, Джозеф (1995). Введение в теорию групп (4-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-94285-8.