Аргумент Фраттиниса - Википедия - Frattinis argument
Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)
|
В теория групп, филиал математика, Аргумент Фраттини это важный лемма в структурной теории конечные группы. Он назван в честь Джованни Фраттини, который использовал его в статье 1885 года при определении Подгруппа Фраттини группы. Аргумент был взят Фраттини, как он сам признает, из статьи Альфредо Капелли датируется 1884 годом.[1]
Аргумент Фраттини
Заявление
Если конечная группа с нормальной подгруппой , и если это Силовский п-подгруппа из , тогда
куда обозначает нормализатор из в и означает произведение групповых подмножеств.
Доказательство
Группа силовский -подгруппа , так что каждый силов -подгруппа является -конъюгат , то есть имеет вид , для некоторых (видеть Теоремы Силова ). Позволять быть любым элементом . С нормально в , подгруппа содержится в . Это означает, что силовский -подгруппа . Тогда согласно вышесказанному, это должно быть -сопряжен с : то есть для некоторых
- ,
и так
- .
Таким образом,
- ,
и поэтому . Но было произвольно, и поэтому
Приложения
- Аргумент Фраттини можно использовать как часть доказательства того, что любое конечное нильпотентная группа это прямой продукт его силовских подгрупп.
- Применяя аргумент Фраттини к , можно показать, что в любое время конечная группа и силовский -подгруппа .
- В более общем смысле, если подгруппа содержит для некоторых силовских -подгруппа из , тогда является самонормализованным, т.е. .
внешняя ссылка
Рекомендации
- ^ М. Брешиа, Ф. де Джованни, М. Тромбетти, "Правдивая история аргументации Фраттини", Успехи в теории групп и приложениях 3, DOI: 10.4399 / 97888255036928
- Холл, Маршалл (1959). Теория групп. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Macmillan. (См. Главу 10, особенно раздел 10.4.)