Аргумент Фраттиниса - Википедия - Frattinis argument

В теория групп, филиал математика, Аргумент Фраттини это важный лемма в структурной теории конечные группы. Он назван в честь Джованни Фраттини, который использовал его в статье 1885 года при определении Подгруппа Фраттини группы. Аргумент был взят Фраттини, как он сам признает, из статьи Альфредо Капелли датируется 1884 годом.[1]

Аргумент Фраттини

Заявление

Если конечная группа с нормальной подгруппой , и если это Силовский п-подгруппа из , тогда

куда обозначает нормализатор из в и означает произведение групповых подмножеств.

Доказательство

Группа силовский -подгруппа , так что каждый силов -подгруппа является -конъюгат , то есть имеет вид , для некоторых (видеть Теоремы Силова ). Позволять быть любым элементом . С нормально в , подгруппа содержится в . Это означает, что силовский -подгруппа . Тогда согласно вышесказанному, это должно быть -сопряжен с : то есть для некоторых

,

и так

.

Таким образом,

,

и поэтому . Но было произвольно, и поэтому

Приложения

  • Аргумент Фраттини можно использовать как часть доказательства того, что любое конечное нильпотентная группа это прямой продукт его силовских подгрупп.
  • Применяя аргумент Фраттини к , можно показать, что в любое время конечная группа и силовский -подгруппа .
  • В более общем смысле, если подгруппа содержит для некоторых силовских -подгруппа из , тогда является самонормализованным, т.е. .

внешняя ссылка

Рекомендации

  • Холл, Маршалл (1959). Теория групп. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Macmillan. (См. Главу 10, особенно раздел 10.4.)