Нильпотентная группа - Nilpotent group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, конкретно теория групп, а нильпотентная группа грамм это группа который имеет верхний центральный ряд что заканчивается грамм. Эквивалентно, его центральная серия имеет конечную длину или его нижний центральный ряд оканчивается на {1}.

Интуитивно нильпотентная группа - это группа, которая «почти абелевский ". Эта идея мотивирована тем, что нильпотентные группы разрешимый, а для конечных нильпотентных групп - два элемента, имеющие относительно простой заказы должны коммутировать. Также верно, что конечные нильпотентные группы сверхразрешимый. Эта концепция была создана в 1930-х годах русским математиком. Сергей Черников.^[1]

Нильпотентные группы возникают в Теория Галуа, а также в классификации групп. Они также занимают видное место в классификации Группы Ли.

Аналогичные термины используются для Алгебры Ли (с использованием Кронштейн лжи ) включая нильпотентный, нижний центральный ряд, и верхний центральный ряд.

Определение

В определении используется идея центральная серия для группы. Ниже приведены эквивалентные определения для нильпотентной группы. грамм:

• грамм имеет центральная серия конечной длины. То есть ряд нормальных подгрупп

${ Displaystyle {1 } = G_ {0} треугольникleft G_ {1} треугольникleft точки треугольникleft G_ {n} = G}$

куда ${ Displaystyle G_ {я + 1} / G_ {я} leq Z (G / G_ {я})}$, или эквивалентно ${ Displaystyle [G, G_ {я + 1}] leq G_ {я}}$.

• грамм имеет нижний центральный ряд оканчивающиеся в тривиальной подгруппе после конечного числа шагов. То есть ряд нормальных подгрупп

${ Displaystyle G = G_ {0} triangleright G_ {1} triangleright dots triangleright G_ {п} = {1 }}$

куда ${ Displaystyle G_ {я + 1} = [G_ {я}, G]}$.

• грамм имеет верхний центральный ряд завершение всей группы после конечного числа шагов. То есть ряд нормальных подгрупп

${ displaystyle {1 } = Z_ {0} треугольникleft Z_ {1} треугольникleft точки треугольникleft Z_ {n} = G}$

куда ${ Displaystyle Z_ {1} = Z (G)}$ и ${ Displaystyle Z_ {я + 1}}$ - подгруппа такая, что ${ Displaystyle Z_ {я + 1} / Z_ {я} = Z (G / Z_ {я})}$.

Для нильпотентной группы наименьшее п такой, что грамм имеет центральный ряд длины п называется класс нильпотентности из грамм; и грамм как говорят нильпотент класса п. (По определению длина равна п если есть ${ displaystyle n + 1}$ различные подгруппы в серии, включая тривиальную подгруппу и всю группу.)

Эквивалентно класс нильпотентности грамм равна длине нижнего центрального ряда или верхнего центрального ряда. Если группа имеет класс нильпотентности не более п, то его иногда называют нольп группа.

Из любой из приведенных выше форм определения нильпотентности немедленно следует, что тривиальная группа является единственной группой класса нильпотентности0, и группы класса нильпотентности1 - в точности нетривиальные абелевы группы.^[2][3]

Примеры

Часть Граф Кэли дискретных Группа Гейзенберга, известная нильпотентная группа.

• Как отмечалось выше, каждая абелева группа нильпотентна.^[2][4]
• В качестве небольшого неабелевого примера рассмотрим группа кватернионов Q₈, которая является наименьшей неабелевой п-группа. Он имеет центр {1, −1} порядка 2, а его верхний центральный ряд равен {1}, {1, −1}, Q₈; поэтому он нильпотентен класса 2.
• В прямой продукт двух нильпотентных групп нильпотентна.^[5]
• Все конечное п-группы на самом деле нильпотентны (доказательство ). Максимальный класс группы порядка п^п является п (например, любая группа порядка 2 нильпотентна класса 1). 2-группы максимального класса являются обобщенными группы кватернионов, то диэдральные группы, а полудиэдральные группы.
• Кроме того, каждая конечная нильпотентная группа является прямым произведением п-группы.^[6]
• Мультипликативная группа верхних унитреугольный п Икс п матрицы над любым полем F это нильпотентная группа класса нильпотентности п - 1. В частности, принимая п = 3 дает Группа Гейзенберга ЧАС, пример неабелевой^[7] бесконечная нильпотентная группа.^[8] Имеет 2 класс нильпотентности с центральным рядом 1, Z(ЧАС), ЧАС.
• Мультипликативная группа обратимый верхний треугольник п Икс п матрицы над полем F не в целом нильпотентен, но является разрешимый.
• Любая неабелева группа грамм такой, что грамм/Z(грамм) абелева имеет класс нильпотентности 2 с центральным рядом {1}, Z(грамм), грамм.

Объяснение термина

Нильпотентные группы называются так потому, что «присоединенное действие» любого элемента нильпотентный, что означает, что для нильпотентной группы ${ displaystyle G}$ степени нильпотентности ${ displaystyle n}$ и элемент ${ displaystyle g}$, функция ${ displaystyle operatorname {ad} _ {g} двоеточие G to G}$ определяется ${ displaystyle operatorname {ad} _ {g} (x): = [g, x]}$ (куда ${ Displaystyle [г, х] = г ^ {- 1} х ^ {- 1} гх}$ это коммутатор из ${ displaystyle g}$ и ${ displaystyle x}$) нильпотентна в том смысле, что ${ displaystyle n}$итерация функции тривиальна: ${ displaystyle left ( operatorname {ad} _ {g} right) ^ {n} (x) = e}$ для всех ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle G}$.

Это не определяющая характеристика нильпотентных групп: групп, для которых ${ displaystyle operatorname {ad} _ {g}}$ нильпотентен степени ${ displaystyle n}$ (в указанном выше смысле) называются ${ displaystyle n}$-Группы Engel,^[9] и вообще не обязательно быть нильпотентным. Доказано, что они нильпотентны, если у них есть конечные порядок, и предполагается, что они нильпотентны, пока они конечно порожденный.

Абелева группа - это в точности такая, для которой присоединенное действие не просто нильпотентно, а тривиально (1-энгелева группа).

Характеристики

Поскольку каждый последующий факторная группа Z_я+1/Z_я в верхний центральный ряд абелева, а серия конечна, каждая нильпотентная группа является разрешимая группа с относительно простой структурой.

Каждая подгруппа нильпотентной группы класса п не более чем нильпотентен по классу п;^[10] кроме того, если ж это гомоморфизм нильпотентной группы класса п, то изображение ж нильпотентен^[10] класса не более п.

Следующие утверждения эквивалентны для конечных групп:^[11] выявление некоторых полезных свойств нильпотентности:

• (а) грамм - нильпотентная группа.
• (б) Если ЧАС собственная подгруппа в грамм, тогда ЧАС это правильный нормальная подгруппа из N_грамм(ЧАС) ( нормализатор из ЧАС в грамм). Это называется свойство нормализатора и может быть выражено просто как «нормализаторы растут».
• (c) Каждая силовская подгруппа группы грамм это нормально.
• (г) грамм это прямой продукт своего Силовские подгруппы.
• е) если d разделяет порядок из грамм, тогда грамм имеет нормальная подгруппа порядка d.

Доказательство: (a) → (b): индукцией по |грамм|, Если грамм абелева, то для любого ЧАС, N_грамм(ЧАС)=грамм. Если нет, то если Z(грамм) не содержится в ЧАС, тогда час_ZЧАС_Z⁻¹час⁻¹=час'ЧАС'час⁻¹=ЧАС, так ЧАС·Z(грамм) нормализаторы ЧАС. Если Z(грамм) содержится в ЧАС,тогда ЧАС/Z(грамм) содержится в грамм/Z(грамм). Примечание, грамм/Z(грамм) - нильпотентная группа. Таким образом, существует подгруппа грамм/Z(грамм) которые нормализаторы ЧАС/Z(грамм) и ЧАС/Z(грамм) - его собственная подгруппа. Следовательно, обратим эту подгруппу в подгруппу в грамм и это нормализует ЧАС. (Это доказательство - тот же аргумент, что и для п-groups - единственное, что нам нужно, это если грамм нильпотентен, то и грамм/Z(грамм) - поэтому подробности опускаем.)

(b) → (c): Пусть п₁,п₂,...,п_s - различные простые числа, делящие его порядок, и пусть п_я в Силь_пя(грамм),1≤я≤s. Позволять п=п_я для некоторых я и разреши N=N_грамм(п). С п нормальная подгруппа N, п характерно для N. С п char N и N нормальная подгруппа N_грамм(N), получаем, что п нормальная подгруппа N_грамм(N). Это означает N_грамм(N) является подгруппой N и поэтому N_грамм(N)=N. Следовательно, согласно (b) мы должны иметь N=грамм, что дает (c).

(c) → (d): Пусть п₁,п₂,...,п_s - различные простые числа, делящие его порядок, и пусть п_я в Силь_пя(грамм),1≤я≤s. Для любого т, 1≤т≤s мы показываем индуктивно, что п₁п₂…п_т изоморфен п₁×п₂×…×п_т. Обратите внимание на то, что каждый п_я нормально в грамм так п₁п₂…п_т является подгруппой грамм. Позволять ЧАС быть продуктом п₁п₂…п_т-1 и разреши K=п_т, поэтому по индукции ЧАС изоморфен п₁×п₂×…×п_т-1. В частности, |ЧАС|=|п₁|·|п₂|·…·|п_т-1|, Поскольку |K|=|п_т|, заказы ЧАС и K относительно просты. Из теоремы Лагранжа следует пересечение ЧАС и K равно 1. По определениюп₁п₂…п_т=HK, следовательно HK изоморфен ЧАС×K что равно п₁×п₂×…×п_т. На этом индукция завершена. Теперь возьми т=s чтобы получить (d).

(d) → (e): Обратите внимание, что a P-группа порядка п^k имеет нормальную подгруппу порядка п^м для всех 1≤м≤k. С грамм является прямым произведением своих силовских подгрупп, и нормальность сохраняется при прямом произведении групп, грамм имеет нормальную подгруппу порядка d для каждого делителя d из |грамм|.

(e) → (a): для любого простого числа п разделение |грамм|, Силовский п-подгруппа это нормально. Таким образом, мы можем применить (c) (поскольку мы уже доказали (c) → (e)).

Утверждение (d) можно распространить на бесконечные группы: если грамм нильпотентная группа, то каждая силовская подгруппа грамм_п из грамм нормальна, и прямое произведение этих силовских подгрупп является подгруппой всех элементов конечного порядка из грамм (видеть торсионная подгруппа ).

Многие свойства нильпотентных групп разделяют гиперцентральные группы.

Примечания

Рекомендации

• Бехтелл, Гомер (1971). Теория групп. Эддисон-Уэсли.
• Фон Хезелер, Фридрих (2002). Автоматические последовательности. Выставки Де Грюйтера по математике. 36. Берлин: Вальтер де Грюйтер. ISBN  3-11-015629-6.
• Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90518-9.
• Айзекс, И. Мартин (2008). Теория конечных групп. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-4344-3.
• Палмер, Теодор В. (1994). Банаховы алгебры и общая теория * -алгебр. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36638-0.
• Штаммбах, Урс (1973). Гомологии в теории групп. Конспект лекций по математике. 359. Springer-Verlag. рассмотрение
• Супруненко, Д. А. (1976). Матричные группы. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1341-2.
• Табачникова Ольга; Смит, Джефф (2000). Темы теории групп. Серия «Математика бакалавриата Springer». Springer. ISBN  1-85233-235-2.
• Цассенхаус, Ганс (1999). Теория групп. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-40922-8.