Решаемая группа - Solvable group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, а точнее в области теория групп, а разрешимая группа или растворимая группа это группа который может быть построен из абелевы группы с помощью расширения. Эквивалентно разрешимой группой называется группа, производный ряд заканчивается в тривиальная подгруппа.

Мотивация

Исторически слово «разрешимый» возникло из Теория Галуа и доказательство общей неразрешимости квинтик уравнение. В частности, полиномиальное уравнение разрешима в радикалы тогда и только тогда, когда соответствующий Группа Галуа разрешимо^[1] (отметим, что эта теорема верна только в характеристике 0). Это означает, что связано с полиномом ${ displaystyle f in F [x]}$ есть башня расширения полей

${ Displaystyle F = F_ {0} subset F_ {1} subset F_ {2} subset cdots subset F_ {m} = K}$

такой, что

1. ${ Displaystyle F_ {я} = F_ {я-1} [ альфа _ {я}]}$ где ${ Displaystyle альфа _ {я} ^ {м_ {я}} ин F_ {я-1}}$, так ${ displaystyle alpha _ {я}}$ является решением уравнения ${ displaystyle x ^ {m_ {i}} - а}$ где ${ displaystyle a in F_ {i-1}}$
2. ${ displaystyle F_ {m}}$ содержит поле разбиения для ${ displaystyle f (x)}$

пример

Например, наименьшее расширение поля Галуа ${ displaystyle mathbb {Q}}$ содержащий элемент

${ displaystyle a = { sqrt [{5}] {{ sqrt {2}} + { sqrt {3}}}}}$

дает разрешимую группу. С ним связаны расширения полей

${ displaystyle mathbb {Q} subset mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}) subset mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}) left (e ^ {2 pi i / 5} { sqrt [{5}] {{ sqrt {2}} + { sqrt {3}}}} right)}$

давая разрешимую группу, содержащую ${ Displaystyle mathbb {Z} / 5}$ (действуя на ${ Displaystyle е ^ {2 пи я / 5}}$) и ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2 times mathbb {Z} / 2}$ (действующий на ${ displaystyle { sqrt {2}} + { sqrt {3}}}$).

Определение

Группа г называется разрешимый если у него есть субнормальный ряд чья факторные группы (фактор-группы) все абелевский, то есть если есть подгруппы 1 = г₀ < г₁ < ⋅⋅⋅ < г_k = г такой, что г_j−1 является нормальный в г_j, и г_j /г_j−1 абелева группа, так как j = 1, 2, …, k.

Или, что то же самое, если его производный ряд, нисходящий нормальный ряд

${ Displaystyle G triangleright G ^ {(1)} triangleright G ^ {(2)} triangleright cdots,}$

где каждая подгруппа является коммутаторная подгруппа предыдущей, в конце концов достигает тривиальной подгруппы г. Эти два определения эквивалентны, поскольку для каждой группы ЧАС и каждый нормальная подгруппа N из ЧАС, частное ЧАС/N абелева если и только если N включает коммутаторную подгруппу группы ЧАС. В мере п такой, что г^(п) = 1 называется производная длина разрешимой группы г.

Для конечных групп эквивалентное определение состоит в том, что разрешимая группа - это группа с серия композиций все факторы которого циклические группы из премьер порядок. Это эквивалентно, потому что конечная группа имеет конечную композиционную длину, и каждое просто абелева группа циклическая простого порядка. В Теорема Жордана – Гёльдера гарантирует, что если одна композиционная серия имеет это свойство, то все композиционные серии также будут иметь это свойство. Для группы Галуа многочлена эти циклические группы соответствуют пкорни (радикалы) над некоторыми поле. Эквивалентность не обязательно имеет место для бесконечных групп: например, поскольку каждая нетривиальная подгруппа группы Z из целые числа в дополнение изоморфный к Z сам по себе, в нем нет композиционного ряда, но есть обычный ряд {0, Z}, единственная фактор-группа которого изоморфна Z, доказывает, что она действительно разрешима.

Примеры

Абелевы группы

Основным примером разрешимых групп являются абелевы группы. Они тривиально разрешимы, поскольку субнормальный ряд задается только самой группой и тривиальной группой. Но неабелевы группы могут быть или не быть разрешимыми.

Нильпотентные группы

В общем, все нильпотентные группы разрешимы. В частности, конечные п-группы разрешимы, так как все конечные п-группы нильпотентны.

Группы кватернионов

В частности, группа кватернионов - разрешимая группа, заданная расширением группы

${ displaystyle 1 to mathbb {Z} / 4 to Q to mathbb {Z} / 2 to 1}$

где ${ Displaystyle mathbb {Z} / 4}$ подгруппа, порожденная ${ displaystyle i}$.

Расширения группы

Расширения группы образуют прототипные примеры разрешимых групп. То есть, если ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle G '}$ - разрешимые группы, то любое расширение

${ Displaystyle 1 к G к G '' к G ' к 1}$

определяет разрешимую группу ${ displaystyle G ''}$. Фактически, все разрешимые группы могут быть образованы из таких расширений групп.

Неабелева группа, которая не является нильпотентной

Небольшой пример разрешимой ненильпотентной группы - это симметричная группа S₃. Фактически, как наименьшая простая неабелева группа А₅, ( переменная группа степени 5) следует, что каждый группа с порядком меньше 60 разрешима.

Конечные группы нечетного порядка

Знаменитый Теорема Фейта – Томпсона утверждает, что всякая конечная группа нечетного порядка разрешима. В частности, это означает, что если конечная группа проста, то она либо простая циклическая, либо четного порядка.

Не пример

Группа S₅ неразрешима - имеет композиционный ряд {E, А₅, S₅} (и Теорема Жордана – Гёльдера утверждает, что любой другой композиционный ряд эквивалентен этому), давая фактор-группы, изоморфные А₅ и C₂; и А₅ не абелева. Обобщая этот аргумент вкупе с тем, что А_п нормальная максимальная неабелева простая подгруппа группы S_п для п > 4, мы видим, что S_п не разрешимо для п > 4. Это ключевой шаг в доказательстве того, что для каждого п > 4 есть многочлены степени п которые не разрешимы радикалами (Теорема Абеля – Руффини ). Это свойство также используется в теории сложности при доказательстве Теорема Баррингтона.

Подгруппы GL₂

Рассмотрим подгруппы

${ Displaystyle B = left {{ begin {bmatrix} * & * 0 & * end {bmatrix}} right } { text {,}} U = left {{ begin {bmatrix } 1 & * 0 & 1 end {bmatrix}} right }}$ из ${ Displaystyle GL_ {2} ( mathbb {F})}$

для какой-то области ${ Displaystyle mathbb {F}}$. Тогда групповой фактор ${ displaystyle B / U}$ можно найти, взяв произвольные элементы в ${ displaystyle B, U}$, умножая их вместе и выясняя, какую структуру это дает. Так

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b 0 & c end {bmatrix}} cdot { begin {bmatrix} 1 & d 0 & 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} a & ad + b 0 & c end {bmatrix}}}$

Обратите внимание на определяющее условие на ${ displaystyle GL_ {2}}$ подразумевает ${ displaystyle ac neq 0}$, следовательно ${ displaystyle mathbb {F} ^ { times} times mathbb {F} ^ { times} subset B}$ - подгруппа (матрицы, в которых ${ displaystyle b = 0}$). Для фиксированных ${ displaystyle a, b}$, линейное уравнение ${ displaystyle ad + b = 0}$ подразумевает ${ displaystyle d = -b / a}$, который является произвольным элементом в ${ Displaystyle mathbb {F}}$ поскольку ${ displaystyle b in mathbb {F}}$. Поскольку мы можем взять любую матрицу в ${ displaystyle B}$ и умножим на матрицу

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & d 0 & 1 end {bmatrix}}}$

с участием ${ displaystyle d = -b / a}$, мы можем получить диагональную матрицу в ${ displaystyle B}$. Это показывает фактор-группу ${ Displaystyle B / U cong mathbb {F} ^ { times} times mathbb {F} ^ { times}}$.

Замечание

Обратите внимание, что это описание дает разложение ${ displaystyle B}$ так как ${ Displaystyle mathbb {F} rtimes ( mathbb {F} ^ { times} times mathbb {F} ^ { times})}$ где ${ Displaystyle (а, с)}$ действует на ${ displaystyle b}$ от ${ Displaystyle (а, с) (Ь) = ab}$. Из этого следует ${ displaystyle (a, c) (b + b ') = (a, c) (b) + (a, c) (b') = ab + ab '}$. Также матрица вида

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b 0 & c end {bmatrix}}}$

соответствует элементу ${ Displaystyle (Ь) раз (а, с)}$ в группе.

Борелевские подгруппы

Для линейная алгебраическая группа ${ displaystyle G}$ его Подгруппа Бореля определяется как подгруппа, которая замкнута, связна и разрешима в ${ displaystyle G}$, и это максимально возможная подгруппа с этими свойствами (обратите внимание, что вторые два являются топологическими свойствами). Например, в ${ displaystyle GL_ {n}}$ и ${ displaystyle SL_ {n}}$ группа верхнетреугольных или нижнетреугольных матриц - две из борелевских подгрупп. В приведенном выше примере подгруппа ${ displaystyle B}$ в ${ displaystyle GL_ {2}}$ - борелевская подгруппа.

Подгруппа Бореля в GL₃

В ${ displaystyle GL_ {3}}$ есть подгруппы

${ displaystyle B = left {{ begin {bmatrix} * & * & * 0 & * & * 0 & 0 & * end {bmatrix}} right }, { text {}} U_ {1 } = left {{ begin {bmatrix} 1 & * & * 0 & 1 & * 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} right }}$

Уведомление ${ Displaystyle B / U_ {1} cong mathbb {F} ^ { times} times mathbb {F} ^ { times} times mathbb {F} ^ { times}}$, поэтому группа Бореля имеет вид

${ Displaystyle U rtimes ( mathbb {F} ^ { times} times mathbb {F} ^ { times} times mathbb {F} ^ { times})}$

Борелевская подгруппа в произведении простых линейных алгебраических групп

В группе товаров ${ displaystyle GL_ {n} times GL_ {m}}$ подгруппу Бореля можно представить матрицами вида

${ displaystyle { begin {bmatrix} T & 0 0 & S end {bmatrix}}}$

где ${ displaystyle T}$ является ${ Displaystyle п раз п}$ верхнетреугольная матрица и ${ displaystyle S}$ это ${ displaystyle m times m}$ верхнетреугольная матрица.

Z-группы

Любая конечная группа, п-Sylow подгруппы цикличны полупрямой продукт двух циклических групп, в частности разрешимых. Такие группы называются Z-группы.

Ценности OEIS

Номера разрешимых групп с порядком п являются (начинаются с п = 0)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... ( последовательность A201733 в OEIS )

Порядки неразрешимых групп равны

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (последовательность A056866 в OEIS )

Свойства

Разрешимость закрывается при выполнении ряда операций.

• Если г разрешимо, и ЧАС является подгруппой г, тогда ЧАС разрешима.^[2]
• Если г разрешима, и существует гомоморфизм от г на ЧАС, тогда ЧАС разрешима; эквивалентно (по первая теорема об изоморфизме ), если г разрешимо, и N нормальная подгруппа г, тогда г/N разрешима.^[3]
• Предыдущие свойства могут быть расширены до следующих свойств «три по цене двух»: г разрешимо тогда и только тогда, когда оба N и г/N разрешимы.
• В частности, если г и ЧАС разрешимы, прямой продукт г × ЧАС разрешима.

Разрешимость закрыта при расширение группы:

• Если ЧАС и г/ЧАС разрешимы, то и г; в частности, если N и ЧАС разрешимы, их полупрямой продукт также разрешима.

Также закрывается под венком:

• Если г и ЧАС разрешимы, а Икс это г-set, затем венок из г и ЧАС относительно Икс также разрешима.

Для любого положительного целого числа N, разрешимые группы производная длина в большинстве N сформировать подмножество разнообразия групп, так как они замкнуты при взятии гомоморфный картинки, подалгебры, и (прямые) продукты. Прямое произведение последовательности разрешимых групп с неограниченной производной длиной не разрешимо, поэтому класс всех разрешимых групп не является многообразием.

Теорема Бернсайда

Теорема Бернсайда утверждает, что если г это конечная группа из порядок п^аq^б где п и q находятся простые числа, и а и б находятся неотрицательный целые числа, тогда г разрешима.

Связанные понятия

Сверхразрешимые группы

Как усиление разрешимости группа г называется сверхразрешимый (или сверхрастворимый) если у него есть инвариантный нормальный ряд, все факторы которого циклические. Поскольку нормальный ряд по определению имеет конечную длину, бесчисленный группы не сверхразрешимы. Фактически все сверхразрешимые группы конечно порожденный, а абелева группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда она конечно порождена. Переменная группа А₄ является примером конечной разрешимой группы, которая не является сверхразрешимой.

Если ограничиться конечно порожденными группами, мы можем рассмотреть следующее расположение классов групп:

циклический < абелевский < нильпотентный < сверхразрешимый < полициклический < разрешимый < конечно порожденная группа.

Практически разрешимые группы

Группа г называется практически решаемый если в нем есть разрешимая подгруппа конечного индекса. Это похоже на практически абелева. Ясно, что все разрешимые группы виртуально разрешимы, так как можно просто выбрать саму группу, имеющую индекс 1.

Гипоабелевский

Разрешаемой группой называется группа, производный ряд которой достигает тривиальной подгруппы в конечный сцена. Для бесконечной группы конечный производный ряд может не стабилизироваться, но трансфинитный производный ряд всегда стабилизируется. Группа, трансфинитный производный ряд которой достигает тривиальной группы, называется гипоабелева группа, и каждая разрешимая группа является гипоабелевой группой. Первый порядковый номер α такой, что г^(α) = г^(α+1) называется (трансфинитной) производной длиной группы г, и было показано, что каждый ординал является производной длиной некоторой группы (Мальцев 1949 ).

Смотрите также

• Просчитываемая группа
• Параболическая подгруппа

Заметки

использованная литература

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Решаемая группа»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Январь 2008 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

• Мальцев, А.И. (1949), «Обобщенные нильпотентные алгебры и их ассоциированные группы», Мат. Сборник Н.С., 25 (67): 347–366, Г-Н  0032644
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп, Тексты для выпускников по математике, 148 (4-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-94285-8

внешние ссылки

• OEIS последовательность A056866 (порядки неразрешимых групп)
• Решаемые группы как повторяющиеся расширения