Арифметическая группа - Arithmetic group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, арифметическая группа группа, полученная как целые точки алгебраическая группа, Например ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z}).}$ Они естественным образом возникают при изучении арифметических свойств квадратичные формы и другие классические темы в теория чисел. Они также дают начало очень интересным примерам Римановы многообразия и, следовательно, представляют интерес в дифференциальная геометрия и топология. Наконец, эти две темы объединяются в теории автоморфные формы что является фундаментальным в современной теории чисел.

История

Одним из истоков математической теории арифметических групп является теория алгебраических чисел. Классическая теория редукции квадратичных и эрмитовых форм Чарльз Эрмит, Герман Минковски а другие можно рассматривать как вычисления фундаментальные области для действия определенных арифметических групп на соответствующие симметричные пространства.^[1][2] Тема была связана с книгой Минковского. Геометрия чисел и раннее развитие изучения арифметических инвариантов числовых полей, таких как дискриминант. Арифметические группы можно рассматривать как обширное обобщение группы единиц числовых полей в некоммутативный параметр.

Те же группы появились и в аналитической теории чисел по мере развития изучения классических модулярных форм и их обобщений. Конечно, эти две темы были связаны, что можно увидеть, например, в вычислении Ленглендсом объема определенных фундаментальных областей с использованием аналитических методов.^[3] Кульминацией этой классической теории стала работа Зигеля, который во многих случаях показал конечность объема фундаментальной области.

Для начала современной теории была необходима фундаментальная работа, которая была обеспечена работой Арман Борель, Андре Вайль, Жак Титс и другие по алгебраическим группам.^[4][5] Вскоре после этого конечность коволюма была полностью доказана Борелем и Хариш-Чандрой.^[6] Между тем был достигнут прогресс в общей теории решеток в группах Ли. Атле Сельберг, Григорий Маргулис, Давид Каждан, М. С. Рагхунатан и другие. Состояние дел после этого периода было по существу зафиксировано в трактате Рагхунатана, опубликованном в 1972 году.^[7]

В семидесятых годах Маргулис произвел революцию в этой теме, доказав, что в «большинстве» случаев арифметические конструкции учитывают все решетки в данной группе Ли.^[8] Некоторые ограниченные результаты в этом направлении были получены ранее Сельбергом, но методы Маргулиса (использование эргодико-теоретический инструменты для действий на однородных пространствах) были совершенно новыми в этом контексте и должны были оказать огромное влияние на последующие разработки, эффективно обновив старый предмет геометрии чисел и позволив самому Маргулису доказать Гипотеза Оппенгейма; более сильные результаты (Теоремы Ратнера ) были позже получены Марина Ратнер.

В другом направлении классическая тема модульных форм превратилась в современную теорию автоморфных форм. Движущей силой этих усилий в основном являются Программа Langlands по инициативе Роберт Лэнглендс. Одним из основных используемых там инструментов является формула следа происходящий из работ Сельберга^[9] и разработан в самых общих чертах Джеймс Артур.^[10]

Наконец, арифметические группы часто используются для построения интересных примеров локально симметричный Римановы многообразия. Особо активная тема исследований была арифметические трехмерные гиперболические многообразия, который как Уильям Терстон написал,^[11] «... часто кажется, что они обладают особой красотой».

Определение и конструкция

Арифметические группы

Если ${ Displaystyle mathrm {G}}$ является алгебраической подгруппой в ${ Displaystyle mathrm {GL} _ {п} ( mathbb {Q})}$ для некоторых ${ displaystyle n}$ то мы можем определить арифметическую подгруппу ${ Displaystyle mathrm {G} ( mathbb {Q})}$ как группа целых точек ${ displaystyle Gamma = mathrm {GL} _ {n} ( mathbb {Z}) cap mathrm {G} ( mathbb {Q}).}$ Вообще не так очевидно, как уточнить понятие «целые точки» ${ displaystyle mathbb {Q}}$-группа, и определенная выше подгруппа может измениться, если мы возьмем различные вложения ${ displaystyle mathrm {G} to mathrm {GL} _ {n} ( mathbb {Q}).}$

Таким образом, для определения арифметической подгруппы группы лучше использовать понятие. ${ Displaystyle mathrm {G} ( mathbb {Q})}$ любая группа ${ displaystyle Lambda}$ который соизмеримый (это означает, что оба ${ Displaystyle Gamma / ( Gamma cap Lambda)}$ и ${ Displaystyle Lambda / ( Gamma cap Lambda)}$ конечные множества) к группе ${ displaystyle Gamma}$ определено, как указано выше (относительно любого вложения в ${ displaystyle mathrm {GL} _ {n}}$). С этим определением алгебраической группе ${ Displaystyle mathrm {G}}$ связан набор "дискретных" подгрупп, все соизмеримые друг с другом.

Использование числовых полей

Естественным обобщением приведенной выше конструкции является следующее: пусть ${ displaystyle F}$ быть числовое поле с кольцом целых чисел ${ displaystyle O}$ и ${ Displaystyle mathrm {G}}$ алгебраическая группа над ${ displaystyle F}$. Если нам дано вложение ${ displaystyle rho: mathrm {G} to mathrm {GL} _ {n}}$ определяется по ${ displaystyle F}$ то подгруппа ${ Displaystyle rho ^ {- 1} ( mathrm {GL} _ {n} (O)) subset mathrm {G} (F)}$ можно с полным правом назвать арифметической группой.

С другой стороны, полученный таким образом класс групп не больше, чем класс арифметических групп, как определено выше. Действительно, если рассматривать алгебраическую группу ${ Displaystyle mathrm {G} '}$ над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ получено ограничение скаляров от ${ displaystyle F}$ к ${ displaystyle mathbb {Q}}$ и ${ displaystyle mathbb {Q}}$-вставка ${ displaystyle rho ': mathrm {G}' to mathrm {GL} _ {dn}}$ индуцированный ${ displaystyle rho}$ (где ${ displaystyle d = [F: mathbb {Q}]}$), то построенная выше группа равна ${ Displaystyle ( rho ') ^ {- 1} ( mathrm {GL} _ {nd} ( mathbb {Z}))}$.

Примеры

Классический пример арифметической группы: ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {п} ( mathbb {Z})}$, или близкородственные группы ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {п} ( mathbb {Z})}$, ${ Displaystyle mathrm {GL} _ {п} ( mathbb {Z})}$ и ${ Displaystyle mathrm {PGL} _ {п} ( mathbb {Z})}$. Для ${ displaystyle n = 2}$ группа ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {Z})}$, а иногда ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {п} ( mathbb {Z})}$, называется модульная группа поскольку это связано с модульная кривая. Аналогичными примерами являются Модульные группы Siegel ${ Displaystyle mathrm {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z})}$.

Другие хорошо известные и изученные примеры включают Группы Бьянки ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} (O _ {- m}),}$ где ${ displaystyle m> 0}$ является целым числом без квадратов и ${ displaystyle O _ {- m}}$ кольцо целых чисел в поле ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-m}}),}$ и Модульные группы Гильберта — Блюменталя ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} (O_ {m})}$.

Другой классический пример - целые элементы в ортогональной группе квадратичной формы, определенной над числовым полем, например ${ Displaystyle mathrm {SO} (п, 1) ( mathbb {Z})}$. Родственная конструкция состоит в том, чтобы взять группы единиц заказы в кватернионные алгебры над числовыми полями (например, Кватернионный порядок Гурвица ). Аналогичные построения можно выполнить с унитарными группами эрмитские формы, хорошо известным примером является Модульная группа Picard.

Арифметические решетки в полупростых группах Ли

Когда ${ displaystyle G}$ является группой Ли, можно определить арифметическую решетку в ${ displaystyle G}$ следующим образом: для любой алгебраической группы ${ Displaystyle mathrm {G}}$ определяется по ${ displaystyle mathbb {Q}}$ такой, что есть морфизм ${ Displaystyle mathrm {G} ( mathbb {R}) к G}$ с компактным ядром образ арифметической подгруппы в ${ Displaystyle mathrm {G} ( mathbb {Q})}$ является арифметической решеткой в ${ displaystyle G}$. Так, например, если ${ Displaystyle G = mathrm {G} ( mathbb {R})}$ и ${ displaystyle G}$ является подгруппой ${ displaystyle mathrm {GL} _ {n}}$ тогда ${ Displaystyle G cap mathrm {GL} _ {п} ( mathbb {Z})}$ является арифметической решеткой в ${ displaystyle G}$ (но их гораздо больше, соответствующих другим вложениям); например, ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {п} ( mathbb {Z})}$ является арифметической решеткой в ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {п} ( mathbb {R})}$.

Теорема Бореля – Хариш-Чандры.

А решетка в группе Ли обычно определяется как дискретная подгруппа с конечным коволюмом. Терминология, введенная выше, согласуется с этим, поскольку теорема Бореля и Хариш-Чандры утверждает, что арифметическая подгруппа в полупростой группе Ли имеет конечный кообъем (дискретность очевидна).

Теорема более точна: она говорит, что арифметическая решетка кокомпактна тогда и только тогда, когда «форма» ${ displaystyle G}$ используется для его определения (т.е. ${ displaystyle mathbb {Q}}$-группа ${ Displaystyle mathrm {G}}$) анизотропна. Например, арифметическая решетка, ассоциированная с квадратичной формой в ${ displaystyle n}$ переменные над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ будет компактен в ассоциированной ортогональной группе тогда и только тогда, когда квадратичная форма не обращается в нуль ни в одной точке в ${ Displaystyle mathbb {Q} ^ {п} setminus {0 }}$.

Теорема арифметичности Маргулиса

Эффектный результат, полученный Маргулисом, является частичным обращением теоремы Бореля-Хариш-Чандры: для некоторых групп Ли Любые решетка арифметическая. Этот результат верен для любой неприводимой решетки в полупростых группах Ли вещественного ранга больше двух.^[12][13] Например, все решетки в ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {п} ( mathbb {R})}$ являются арифметическими, когда ${ Displaystyle п geq 3}$. Основным новым ингредиентом, который Маргулис использовал для доказательства своей теоремы, был сверхжесткость решеток в группах более высокого ранга, которые он доказал для этой цели.

Несводимость играет роль только тогда, когда ${ displaystyle G}$ имеет фактор действительного ранга один (иначе теорема всегда верна) и непроста: это означает, что для любого разложения произведения ${ displaystyle G = G_ {1} times G_ {2}}$ решетка не соизмерима с произведением решеток в каждом из факторов ${ displaystyle G_ {i}}$. Например, решетка ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z} [{ sqrt {2}}])}$ в ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R}) times mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$ неприводимо, а ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z}) times mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ не является.

Теорема Маргулиса об арифметичности (и сверхжесткости) верна для некоторых групп Ли ранга 1, а именно ${ Displaystyle mathrm {Sp} (п, 1)}$ для ${ Displaystyle п geqslant 1}$ и исключительная группа ${ displaystyle F_ {4} ^ {- 20}}$.^[14][15] Известно, что не во всех группах ${ Displaystyle mathrm {SO} (п, 1)}$ для ${ Displaystyle п geqslant 2}$ (см. GPS) и для ${ Displaystyle mathrm {SU} (п, 1)}$ когда ${ Displaystyle п = 1,2,3}$. В группах нет известных неарифметических решеток ${ Displaystyle mathrm {SU} (п, 1)}$ когда ${ displaystyle n geqslant 4}$.

Арифметические фуксовы и клейновы группы

Арифметическая фуксова группа строится из следующих данных: поле полностью действительных чисел ${ displaystyle F}$, а кватернионная алгебра ${ displaystyle A}$ над ${ displaystyle F}$ и заказ ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ в ${ displaystyle A}$. Требуется, чтобы для одного вложения ${ displaystyle sigma: F to mathbb {R}}$ алгебра ${ displaystyle A ^ { sigma} otimes _ {F} mathbb {R}}$ изоморфна матричной алгебре ${ Displaystyle M_ {2} ( mathbb {R})}$ и для всех остальных Кватернионы Гамильтона. Тогда группа юнитов ${ Displaystyle { mathcal {O}} ^ {1}}$ решетка в ${ displaystyle (A ^ { sigma} otimes _ {F} mathbb {R}) ^ {1}}$ который изоморфен ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R}),}$ и компактен во всех случаях, кроме ${ displaystyle A}$ матричная алгебра над ${ displaystyle mathbb {Q}.}$ Все арифметические решетки в ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$ получаются таким образом (с точностью до соизмеримости).

Аналогично строятся арифметические клейновы группы, за исключением того, что ${ displaystyle F}$ требуется ровно одно сложное место и ${ displaystyle A}$ быть кватернионами Гамильтона во всех реальных местах. Они исчерпывают все классы арифметической соизмеримости в ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {C}).}$

Классификация

Для любой полупростой группы Ли ${ displaystyle G}$ теоретически можно классифицировать (с точностью до соизмеримости) все арифметические решетки в ${ displaystyle G}$, аналогично случаям ${ Displaystyle G = mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R}), mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {C})}$ объяснено выше. Это равносильно классификации алгебраических групп, вещественные точки которых с точностью до компактного множителя изоморфны ${ displaystyle G}$.^[16]

Проблема подгруппы сравнения

А подгруппа конгруэнции является (грубо говоря) подгруппой арифметической группы, определяемой путем взятия всех матриц, удовлетворяющих определенным уравнениям по модулю целого числа, например, группа целочисленных матриц 2 на 2 с диагональными (соответственно недиагональными) коэффициентами, конгруэнтными 1 (соответственно 0) по модулю a положительное число. Это всегда подгруппы с конечным индексом, и проблема конгруэнтных подгрупп примерно спрашивает, все ли подгруппы получаются таким образом. Гипотеза (обычно приписываемая Жан-Пьер Серр ) состоит в том, что это верно для (неприводимых) арифметических решеток в группах более высокого ранга и неверно в группах ранга один. Он все еще открыт в этой общности, но есть много результатов, устанавливающих его для конкретных решеток (как в положительном, так и в отрицательном случаях).

S-арифметические группы

Вместо того, чтобы брать целые точки в определении арифметической решетки, можно брать точки, которые являются целыми только от конечного числа простых чисел. Это приводит к понятию ${ displaystyle S}$-арифметическая решетка (где ${ displaystyle S}$ обозначает перевернутый набор простых чисел). Типичный пример: ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} left ( mathbb {Z} left [{ tfrac {1} {p}} right] right)}$. Они также являются естественными решетками в некоторых топологических группах, например ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} left ( mathbb {Z} left [{ tfrac {1} {p}} right] right)}$ решетка в ${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R}) times mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Q} _ {p}).}$

Определение

Формальное определение ${ displaystyle S}$-арифметическая группа для ${ displaystyle S}$ конечный набор простых чисел такой же, как для арифметических групп с ${ Displaystyle mathrm {GL} _ {п} ( mathbb {Z})}$ заменяется ${ displaystyle mathrm {GL} _ {n} left ( mathbb {Z} left [{ tfrac {1} {N}} right] right)}$ где ${ displaystyle N}$ это произведение простых чисел в ${ displaystyle S}$.

Решетки в группах Ли над локальными полями

Теорема Бореля – Хариш-Чандры обобщается на ${ displaystyle S}$-арифметические группы: если ${ displaystyle Gamma}$ является ${ displaystyle S}$-арифметическая группа в ${ displaystyle mathbb {Q}}$-алгебраическая группа ${ Displaystyle mathrm {G}}$ тогда ${ displaystyle Gamma}$ является решеткой в ​​локально компактной группе

${ Displaystyle G = mathrm {G} ( mathbb {R}) times prod _ {p in S} mathrm {G} ( mathbb {Q} _ {p})}$.

Некоторые приложения

Явные экспандерные графики

Арифметические группы с Имущество Каждан (Т) или более слабое свойство (${ Displaystyle тау}$) Любоцкого и Циммера можно использовать для построения расширяющих графов (Маргулиса), или даже Графики Рамануджана (Любоцкий — Филлипс — Сарнак^[17][18]). Такие графы, как известно, существуют в изобилии по вероятностным результатам, но явный характер этих построений делает их интересными.

Экстремальные поверхности и графики

Покрытия конгруэнтности арифметических поверхностей, как известно, дают поверхности с большими радиус приемистости.^[19] Точно так же графы Рамануджана, построенные Любоцким-Филлипсом-Сарнаком, имеют большие обхват. На самом деле известно, что из самого свойства Рамануджана следует, что локальные обхваты графа почти всегда велики.^[20]

Изоспектральные многообразия

Арифметические группы могут использоваться для построения изоспектральные многообразия. Впервые это осознал Мари-Франс Виньера^[21] и с тех пор появились многочисленные вариации ее конструкции. Проблема изоспектральности на самом деле особенно удобна для изучения в ограниченном контексте арифметических многообразий.^[22]

Поддельные проективные плоскости

Поддельная проективная плоскость^[23] это сложная поверхность который имеет такой же Бетти числа как проективная плоскость ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {2} ( mathbb {C})}$ но не биголоморфен ему; первый пример был обнаружен Мамфордом. По работе Клинглера (также независимо доказанной Юнгом) все они являются факторами 2-шара по арифметическим решеткам в ${ Displaystyle mathrm {PU} (2,1)}$. Возможные решетки были классифицированы Прасадом и Юнгом, и классификация была завершена Картрайтом и Стегером, которые проверили, что они действительно соответствуют ложным проективным плоскостям.

использованная литература