Подгруппа холла - Hall subgroup

В математика, а Подгруппа холла конечного группа грамм - подгруппа, порядок является совмещать к его индекс. Они были введены теоретиком группы Филип Холл (1928 ).

Определения

А Делитель холла(также называемый унитарный делитель ) целого числа п делитель d из п такой, чтоd и п/d взаимно просты. Самый простой способ найти делители Холла - написать простые множители для рассматриваемого числа и возьмите любое произведение мультипликативных членов (полную степень любого из простых множителей), включая 0 из них для произведения 1 или всех из них для произведения, равного исходному числу. Например, чтобы найти делители Холла 60, покажите, что разложение на простые множители равно 2.²· 3 · 5 и возьмите любое произведение из {3,4,5}. Таким образом, делители Холла 60 равны 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20 и 60.

А Подгруппа холла из грамм - подгруппа, порядок которой является делителем Холла порядка грамм. Другими словами, это подгруппа, порядок которой взаимно прост с ее индексом.

Если π набор простых чисел, то зал π-подгруппа - подгруппа, порядок которой является произведением простых чисел из π, индекс которой не делится ни на одно из простых чисел π.

Примеры

Любой Силовская подгруппа группы является холловой подгруппой.
Переменная группа А₄ порядка 12 разрешимый но не имеет подгрупп порядка 6, хотя 6 делит 12, показывая, что теорема Холла (см. ниже) не может быть распространена на все делители порядка разрешимой группы.
Если грамм = А₅, единственный простая группа порядка 60, то 15 и 20 - делители Холла порядка грамм, но грамм не имеет подгрупп этих порядков.
Простая группа порядка 168 имеет два разных класса сопряженности холловых подгрупп порядка 24 (хотя они связаны между собой внешний автоморфизм из грамм).
В простой группе порядка 660 есть две холловы подгруппы порядка 12, которые даже не изоморфны (а значит, определенно не сопряжены даже при внешнем автоморфизме). В нормализатор силовской 2-подгруппы порядка 4 изоморфна знакопеременной группе А₄ порядка 12, а нормализатор подгруппы порядка 2 или 3 изоморфен группа диэдра порядка 12.

Теорема холла

Холл (1928) доказал, что если грамм конечный разрешимая группа и π- любой набор простых чисел, то грамм есть зал π-подгруппа и любые два холла π-подгруппы сопряжены. Более того, любая подгруппа, порядок которой является произведением простых чисел в π содержится в каком-то зале π-подгруппа. Этот результат можно рассматривать как обобщение теоремы Силова на холловы подгруппы, но приведенные выше примеры показывают, что такое обобщение неверно, когда группа не разрешима.

Существование холловых подгрупп доказывается индукцией по порядку грамм, используя тот факт, что каждая конечная разрешимая группа имеет нормальный элементарная абелева подгруппа. Точнее, зафиксируем минимальную нормальную подгруппу А, который либо π-группа или π '-группировать как грамм является π-разделимые. По индукции существует подгруппа ЧАС из грамм содержащий А такой, что ЧАС/А это зал π-подгруппа грамм/А. Если А это π-группа тогда ЧАС это зал π-подгруппа грамм. С другой стороны, если А это π '-группа, затем Теорема Шура – Цассенхауза А имеет дополнение в ЧАС, который является залом π-подгруппа грамм.

Обратное к теореме Холла

Любая конечная группа, имеющая холл π-подгруппа для каждого набора простых чисел π разрешима. Это обобщение Теорема Бернсайда что любая группа, порядок которой имеет вид п^аq^б для простых чисел п и q разрешимо, потому что Теорема Силова следует, что все холловы подгруппы существуют. Это (в настоящее время) не дает другого доказательства теоремы Бернсайда, потому что теорема Бернсайда используется для доказательства этого обратного.

Силовские системы

А Силовская система набор силовских п-подгруппы S_п для каждого прайма п такой, что S_пS_q = S_qS_п для всех п и q. Если у нас есть силовская система, то подгруппа, порожденная группами S_п за п в π это зал π-подгруппа. Более точная версия теоремы Холла гласит, что любая разрешимая группа имеет силовскую систему, а любые две силовские системы сопряжены.

Нормальные холловы подгруппы

Любая нормальная холлова подгруппа ЧАС конечной группы грамм обладает дополнять, то есть существует некоторая подгруппа K из грамм что пересекается ЧАС тривиально и так, что HK = грамм (так грамм это полупрямой продукт из ЧАС и K). Это Теорема Шура – Цассенхауза.

Смотрите также

Формирование