Теорема Шура – ​​Цассенхауза - Schur–Zassenhaus theorem

В Теорема Шура – ​​Цассенхауза это теорема в теория групп в котором говорится, что если ${displaystyle G}$ это конечная группа, и ${displaystyle N}$ это нормальная подгруппа чей порядок является совмещать по приказу факторгруппа ${displaystyle G / N}$, тогда ${displaystyle G}$ это полупрямой продукт (или раздельное расширение) ${displaystyle N}$ и ${displaystyle G / N}$. Альтернативное утверждение теоремы состоит в том, что любой нормальный Подгруппа холла ${displaystyle N}$ конечной группы ${displaystyle G}$ имеет дополнять в ${displaystyle G}$. Более того, если либо ${displaystyle N}$ или же ${displaystyle G / N}$ разрешима, то теорема Шура – ​​Цассенхауза также утверждает, что все дополнения к ${displaystyle N}$ в G находятся сопрягать. Предположение, что либо ${displaystyle N}$ или же ${displaystyle G / N}$ разрешимо, можно отбросить, поскольку оно всегда выполняется, но все известные доказательства этого требуют использования гораздо более сложных Теорема Фейта – Томпсона.

Теорема Шура – ​​Цассенхауза хотя бы частично отвечает на вопрос: «В серия композиций, как мы можем классифицировать группы с определенным набором композиционных факторов? »Другая часть, в которой композиционные факторы не имеют взаимно простых порядков, рассматривается в теория расширений.

История

Теорема Шура – ​​Цассенхауза была введена Zassenhaus  (1937, 1958, Глава IV, раздел 7). Теорема 25, которую он приписывает Иссай Шур, доказывает существование дополнения, а теорема 27 доказывает, что все дополнения сопряжены в предположении, что ${displaystyle N}$ или же ${displaystyle G / N}$ разрешима. Нелегко найти явное утверждение о существовании дополнения в опубликованных работах Шура, хотя результаты Шура (1904, 1907 ) на Множитель Шура следует существование дополнения в частном случае, когда нормальная подгруппа находится в центре. Цассенхаус указал, что теорема Шура – ​​Цассенхауза для неразрешимых групп будет следовать, если все группы нечетного порядка разрешимы, что позже было доказано Фейтом и Томпсоном. Эрнст Витт показал, что это также следует из Гипотеза Шрайера (см. Витт (1998, p.277) для неопубликованной заметки Витта 1937 г. по этому поводу), но гипотеза Шрайера была доказана только с использованием классификации конечных простых групп, что намного сложнее, чем теорема Фейта – Томпсона.

Примеры

Если мы не наложим условие взаимной простой, теорема неверна: рассмотрим, например, циклическая группа ${displaystyle C_ {4}}$ и ее нормальная подгруппа ${displaystyle C_ {2}}$. Тогда если ${displaystyle C_ {4}}$ были полупрямым продуктом ${displaystyle C_ {2}}$ и ${displaystyle C_ {4} / C_ {2} cong C_ {2}}$ тогда ${displaystyle C_ {4}}$ должен содержать два элементы порядка 2, но содержит только один. Другой способ объяснить эту невозможность разделения ${displaystyle C_ {4}}$ (т. е. выражая его как полупрямой продукт), означает заметить, что автоморфизмы из ${displaystyle C_ {2}}$ являются тривиальная группа, поэтому единственно возможное [полу] прямое произведение ${displaystyle C_ {2}}$ сам с собой является прямым продуктом (который дает начало Кляйн четыре группы, группа, неизоморфная ${displaystyle C_ {4}}$).

Примером применимости теоремы Шура – ​​Цассенхауза является симметричная группа на 3-х символах, ${displaystyle S_ {3}}$, имеющий нормальную подгруппу порядка 3 (изоморфную ${displaystyle C_ {3}}$) который, в свою очередь, индекс 2 в ${displaystyle S_ {3}}$ (по согласованию с теорема Лагранжа ), так ${displaystyle S_ {3} / C_ {3} cong C_ {2}}$. Поскольку 2 и 3 взаимно просты, применима теорема Шура – ​​Цассенхауза и ${displaystyle S_ {3} cong C_ {3} times C_ {2}}$. Отметим, что группа автоморфизмов ${displaystyle C_ {3}}$ является ${displaystyle C_ {2}}$ и автоморфизм ${displaystyle C_ {3}}$ используется в полупрямом продукте, который приводит к ${displaystyle S_ {3}}$ - нетривиальный автоморфизм, который переставляет два неединичных элемента ${displaystyle C_ {3}}$. Кроме того, три подгруппы порядка 2 в ${displaystyle S_ {3}}$ (любой из которых может служить дополнением к ${displaystyle C_ {3}}$ в ${displaystyle S_ {3}}$) сопряжены друг с другом.

Нетривиальность (дополнительного) заключения о сопряженности можно проиллюстрировать с помощью четырехгруппы Клейна ${displaystyle V}$ как не пример. Любая из трех собственных подгрупп группы ${displaystyle V}$ (все они имеют порядок 2) нормально в ${displaystyle V}$; фиксируя одну из этих подгрупп, любая из двух оставшихся (собственных) подгрупп дополняет ее в ${displaystyle V}$, но ни одна из этих трех подгрупп ${displaystyle V}$ является сопряженным с любым другим, потому что ${displaystyle V}$ является Абелев.

В группа кватернионов имеет нормальные подгруппы порядка 4 и 2, но не является [полу] прямым произведением. В работах Шура начала ХХ века введено понятие центральное расширение чтобы обратиться к таким примерам, как ${displaystyle C_ {4}}$ и кватернионы.

Доказательство

Существование дополнения к нормальной холловой подгруппе ЧАС конечной группы грамм можно доказать в следующих шагах:

1. По индукции по порядку грамм, можно предположить, что это верно для любой меньшей группы.
2. Если ЧАС абелева, то существование дополнения следует из того, что группа когомологий ЧАС²(грамм/ЧАС,ЧАС) исчезает (как ЧАС и грамм/ЧАС имеют взаимно простые порядки), а тот факт, что все дополнения сопряжены, следует из обращения в нуль ЧАС¹(грамм/ЧАС,ЧАС).
3. Если ЧАС разрешима, она имеет нетривиальную абелеву подгруппу А что характерно для ЧАС и поэтому нормально в грамм. Применяя теорему Шура – ​​Цассенхауза к грамм/А сводит доказательство к случаю, когда ЧАС=А является абелевым, что и было сделано на предыдущем шаге.
4. Если нормализатор N=N_грамм(п) каждого п-Sylow подгруппа п из ЧАС равно грамм, тогда ЧАС нильпотентна и, в частности, разрешима, поэтому теорема следует из предыдущего шага.
5. Если нормализатор N=N_грамм(п) некоторых п-Sylow подгруппа п из ЧАС меньше чем грамм, то по индукции теорема Шура – ​​Цассенхауза верна для N, и дополнение N∩ЧАС в N является дополнением к ЧАС в грамм потому что грамм=NH.

Рекомендации

• Ротман, Джозеф Дж. (1995). Введение в теорию групп. Тексты для выпускников по математике. 148 (Четвертое изд.). Нью-Йорк: Спрингер – Верлаг. Дои:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN  978-0-387-94285-8. МИСТЕР  1307623.
• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  978-0-471-43334-7. МИСТЕР  2286236.
• Гашютц, Вольфганг (1952), "Zur Erweiterungstheorie der endlichen Gruppen", J. Reine Angew. Математика., 190: 93–107, Дои:10.1515 / crll.1952.190.93, МИСТЕР  0051226
• Роуз, Джон С. (1978). Курс теории групп. Кембридж-Нью-Йорк-Мельбурн: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-21409-2. МИСТЕР  0498810.
• Айзекс, И. Мартин (2008). Теория конечных групп. Аспирантура по математике. 92. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10,1090 / г / м2 / 092. ISBN  978-0-8218-4344-4. МИСТЕР  2426855.
• Курцвейл, Ганс; Штельмахер, Бернд (2004). Теория конечных групп: введение. Universitext. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007 / b97433. ISBN  0-387-40510-0. МИСТЕР  2014408.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1996). Курс теории групп. Оксфордские научные публикации. Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press. ISBN  0-19-853459-0. МИСТЕР  1420410.
• Шур, Иссай (1904). "Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochen lineare Substitutionen". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 127: 20–50.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Шур, Иссаи (1907). "Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 132: 85–137.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Витт, Эрнст (1998), Керстен, Ина (ред.), Сборник статей. Gesammelte Abhandlungen, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-41970-6, ISBN  978-3-540-57061-5, МИСТЕР  1643949
• Цассенхаус, Ганс (1937). Lehrbuch der Gruppentheorie. Hamburger Mathematische Einzelschriften. 21. Лейпциг и Берлин: Тойбнер.CS1 maint: ref = harv (связь). Английский перевод:Цассенхаус, Ганс Дж. (1958) [1949], Теория групп. (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Company, МИСТЕР  0091275