Кляйн четыре группы - Klein four-group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика, то Кляйн четыре группы это группа с четырьмя элементами, в которых каждый элемент самообратный (составление его с самим собой порождает тождество), и в котором составление любых двух из трех неидентичных элементов порождает третий. группа симметрии неквадратного прямоугольник (с тремя неидентичными элементами, являющимися горизонтальным и вертикальным отражением и поворотом на 180 градусов), как группа побитовый Эксклюзивный или операции с двухбитными двоичными значениями или более абстрактно так как Z₂ × Z₂, то прямой продукт двух экземпляров циклическая группа из порядок 2. он был назван Vierergruppe (имеется в виду четыре группы) Феликс Кляйн в 1884 г.^[1]Его еще называют Кляйн группа, и часто обозначается буквой V или K₄.

Четыре группы Клейна с четырьмя элементами - это наименьшая группа, которая не является циклическая группа. Есть только одна другая группа четвертого порядка, до изоморфизм, циклическая группа порядка 4. Обе они абелевы группы. Наименьшей неабелевой группой является группа симметрическая группа степени 3, который имеет порядок 6.

Презентаций

Группа Кляйн Стол Кэли дан кем-то:

Четырехгруппа Клейна также определяется групповая презентация

${ displaystyle mathrm {V} = langle a, b mid a ^ {2} = b ^ {2} = (ab) ^ {2} = e rangle.}$

Все не-идентичность элементы группы Клейна имеют порядок 2, поэтому любые два неединичных элемента могут служить генераторами в приведенном выше представлении. Четыре группы Клейна - наименьшая не-циклическая группа. Однако это абелева группа, и изоморфна группа диэдра порядка (мощности) 4, т.е.D₄ (или D₂, используя геометрическое соглашение); кроме группы порядка 2, это единственная группа диэдра, которая является абелевой.

Четырехгруппа Клейна также изоморфна группе прямая сумма Z₂ ⊕ Z₂, так что его можно представить в виде пар {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} при покомпонентном сложении по модулю 2 (или эквивалентно битовые строки {00, 01, 10, 11} под побитовое XOR ); где (0,0) является элементом идентичности группы. Таким образом, четырехгруппа Клейна является примером элементарная абелева 2-группа, который также называют Логическая группа. Таким образом, четырехгруппа Клейна также является группой, порожденной симметричная разница как бинарная операция над подмножества из powerset множества с двумя элементами, т.е. над поле наборов с четырьмя элементами, например ${ displaystyle { emptyset, { alpha }, { beta }, { alpha, beta } }}$; то пустой набор в данном случае является элементом идентичности группы.

Другой числовой конструкцией четырехгруппы Клейна является множество { 1, 3, 5, 7 }, с операцией умножение по модулю 8. Вот а это 3, б 5, а c = ab является 3 × 5 = 15 ≡ 7 (мод 8).

Четырехгруппа Клейна представлена ​​в виде вещественных матриц 2x2 с операцией матричного умножения:

${ displaystyle e = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} , , a = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} , , b = { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} , , c = { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}}}$

Геометрия

Группа симметрии этого креста - четырехгруппа Клейна. Его можно перевернуть по горизонтали (а) или вертикально (б) или оба (ab) и остаются без изменений. Однако, в отличие от квадрата, поворот на четверть оборота изменит фигуру.

Геометрически в двух измерениях четырехгруппа Клейна представляет собой группа симметрии из ромб и из прямоугольники это не квадраты, четыре элемента - это идентичность, вертикальное отражение, горизонтальное отражение и поворот на 180 градусов.

В трех измерениях есть три различные группы симметрии, которые алгебраически представляют собой четырехгруппу Клейна V:

• один с тремя перпендикулярными осями 2-х кратного вращения: D₂
• один с 2-кратной осью вращения и перпендикулярной плоскостью отражения: C_2час = D_1d
• один с 2-кратной осью вращения в плоскости отражения (и, следовательно, также в перпендикулярной плоскости отражения): C_2v = D_1час.

Представление перестановки

Идентичность и двойнаятранспозиции четырех объектов образуют V

Другие перестановки четырех объектов, также образующих V

Увидеть: 4-элементные подмножества S₄

Три элемента второго порядка в четырехгруппе Клейна взаимозаменяемы: группа автоморфизмов of V - это группа перестановок этих трех элементов.

Перестановки собственных элементов четырехгруппы Клейна можно абстрактно рассматривать как ее перестановочное представление по четырем пунктам:

V = {(), (1,2) (3,4), (1,3) (2,4), (1,4) (2,3)}

В этом представлении V является нормальная подгруппа из переменная группа А₄(а также симметричная группа S₄) на четыре буквы. Фактически, это ядро сюръективного групповой гомоморфизм из S₄ к S₃.

Другие представления в S₄ находятся:

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4)}

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4)}

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3)}

Они не являются нормальными подгруппами в S_4.

Алгебра

Согласно с Теория Галуа, существование четырехгруппы Клейна (и, в частности, ее перестановочного представления) объясняет существование формулы для вычисления корней уравнения четвертой степени с точки зрения радикалы, как установлено Лодовико Феррари:карта S₄ → S₃ соответствует резольвентной кубике, в терминах Резольвенты Лагранжа.

В строительстве конечные кольца, восемь из одиннадцати колец с четырьмя элементами имеют четырехгруппу Клейна в качестве аддитивной субструктуры.

Если р^× обозначает мультипликативную группу ненулевых действительных чисел и р⁺ мультипликативная группа положительные реалы, р^× × р^× это группа единиц кольца р × р, и р⁺ × р⁺ является подгруппой р^× × р^× (на самом деле это компонент идентичности из р^× × р^×). В факторгруппа (р^× × р^×) / (р⁺ × р⁺) изоморфна четырехгруппе Клейна. Аналогичным образом группа юнитов кольцо с расщепленными комплексными числами при делении на компонент идентичности также приводит к четырехгруппе Клейна.

Теория графов

Простейший просто связный граф который допускает четырехгруппу Клейна в качестве своей группа автоморфизмов это ромбовидный график показано ниже. Это также группа автоморфизмов некоторых других графов, которые проще в том смысле, что в них меньше сущностей. К ним относятся граф с четырьмя вершинами и одним ребром, который остается простым, но теряет связность, и граф с двумя вершинами, соединенными друг с другом двумя ребрами, который остается связанным, но теряет простоту.

Музыка

В музыкальная композиция четырехгруппа - основная группа перестановок в двенадцатитоновая техника. В этом случае записывается таблица Кэли;^[2]

Смотрите также

• Группа Quaternion
• Список малых групп

использованная литература

дальнейшее чтение

• М. А. Армстронг (1988) Группы и симметрия, Springer Verlag, стр. 53.
• У. Э. Барнс (1963) Введение в абстрактную алгебру, D.C. Heath & Co., стр.20.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Vierergruppe". MathWorld.