Группа автоморфизмов - Википедия - Automorphism group

В математика, то группа автоморфизмов объекта Икс это группа состоящий из автоморфизмы из Икс. Например, если Икс это конечномерный векторное пространство, то группа автоморфизмов Икс это общая линейная группа из Икс, группа обратимых линейные преобразования из Икс себе.

Особенно в геометрическом контексте группу автоморфизмов также называют группа симметрии. Подгруппа группы автоморфизмов называется группа трансформации (особенно в старой литературе).

Примеры

Группа автоморфизмов набор Икс это именно симметричная группа из Икс.
А групповой гомоморфизм группе автоморфизмов множества Икс составляет групповое действие на Икс: действительно, каждый левый грамм-действие на съемочной площадке Икс определяет ${ displaystyle G to Operatorname {Aut} (X), , g mapsto sigma _ {g}, , sigma _ {g} (x) = g cdot x}$ , и, наоборот, каждый гомоморфизм ${ displaystyle varphi: G to operatorname {Aut} (X)}$ определяет действие ${ Displaystyle г cdot х = varphi (г) х}$ .
Позволять ${ displaystyle A, B}$ два конечных набора одинаковых мощность и ${ displaystyle operatorname {Iso} (A, B)}$ набор всех биекции ${ Displaystyle A mathrel { overset { sim} { to}} B}$ . потом ${ displaystyle operatorname {Aut} (B)}$ , являющаяся симметрической группой (см. выше), действует на ${ displaystyle operatorname {Iso} (A, B)}$ слева свободно и переходно; то есть, ${ displaystyle operatorname {Iso} (A, B)}$ это торсор за ${ displaystyle operatorname {Aut} (B)}$ (ср. # В теории категорий ).
Группа автоморфизмов ${ displaystyle G}$ конечного циклическая группа из порядок п является изоморфный к ${ Displaystyle ( mathbb {Z} / п mathbb {Z}) ^ {*}}$ с изоморфизмом, задаваемым ${ displaystyle { overline {a}} mapsto sigma _ {a} in G, , sigma _ {a} (x) = x ^ {a}}$ .^[1] Особенно, ${ displaystyle G}$ является абелева группа.
Учитывая расширение поля ${ displaystyle L / K}$ , его группа автоморфизмов - это группа, состоящая из полевых автоморфизмов L который исправить K: он более известен как Группа Галуа из ${ displaystyle L / K}$ .
Группа автоморфизмов проективный п-Космос через поле k это проективная линейная группа ${ displaystyle operatorname {PGL} _ {n} (k).}$ ^[2]
Группа автоморфизмов конечномерного вещественного Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ имеет структуру (реального) Группа Ли (на самом деле это даже линейная алгебраическая группа: Смотри ниже). Если грамм группа Ли с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , то группа автоморфизмов грамм имеет структуру группы Ли, индуцированную структурой группы автоморфизмов ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .^[3]^[4]
Позволять п быть конечно порожденный проективный модуль через звенеть р. Тогда есть встраивание ${ displaystyle operatorname {Aut} (P) hookrightarrow operatorname {GL} _ {n} (R)}$ , уникальный до внутренние автоморфизмы.^[5]

В теории категорий

Группы автоморфизмов очень естественно появляются в теория категорий.

Если Икс является объект в категории, то группа автоморфизмов Икс группа, состоящая из всех обратимых морфизмы из Икс себе. Это группа единиц из моноид эндоморфизма из Икс. (Для некоторых примеров см. PROP.)

Если ${ displaystyle A, B}$ объекты в некоторой категории, то множество ${ displaystyle operatorname {Iso} (A, B)}$ из всех ${ Displaystyle A mathrel { overset { sim} { to}} B}$ левый ${ displaystyle operatorname {Aut} (B)}$ -торсор. На практике это говорит о том, что иной выбор базовой точки ${ displaystyle operatorname {Iso} (A, B)}$ однозначно отличается элементом ${ displaystyle operatorname {Aut} (B)}$ , или что каждый выбор базовой точки - это в точности выбор тривиализации торсора.

Если ${ displaystyle X_ {1}}$ и ${ displaystyle X_ {2}}$ объекты в категориях ${ displaystyle C_ {1}}$ и ${ displaystyle C_ {2}}$ , и если ${ displaystyle F: C_ {1} to C_ {2}}$ это функтор отображение ${ displaystyle X_ {1}}$ к ${ displaystyle X_ {2}}$ , тогда ${ displaystyle F}$ индуцирует групповой гомоморфизм ${ Displaystyle OperatorName {Aut} (X_ {1}) to operatorname {Aut} (X_ {2})}$ , поскольку он отображает обратимые морфизмы в обратимые морфизмы.

В частности, если грамм группа рассматривается как категория с одним объектом * или, в более общем смысле, если грамм является группоидом, то каждый функтор ${ displaystyle G to C}$ , C категория, называется действием или представлением грамм на объекте ${ Displaystyle F (*)}$ , или объекты ${ Displaystyle F ( Operatorname {Obj} (G))}$ . Затем эти объекты называются ${ displaystyle G}$ -объекты (как они действуют ${ displaystyle G}$ ); ср. ${ Displaystyle mathbb {S}}$ -объект. Если ${ displaystyle C}$ является категорией модулей наподобие категории конечномерных векторных пространств, то ${ displaystyle G}$ -объекты также называют ${ displaystyle G}$ -модули.

Функтор группы автоморфизмов

Позволять ${ displaystyle M}$ - конечномерное векторное пространство над полем k который снабжен некоторой алгебраической структурой (т. е. M является конечномерным алгебра над k). Это может быть, например, ассоциативная алгебра или Алгебра Ли.

Теперь рассмотрим k-линейные карты ${ displaystyle M to M}$ сохраняющие алгебраическую структуру: они образуют векторное подпространство ${ displaystyle operatorname {End} _ { text {alg}} (M)}$ из ${ displaystyle operatorname {End} (M)}$ . Единичная группа ${ displaystyle operatorname {End} _ { text {alg}} (M)}$ группа автоморфизмов ${ displaystyle operatorname {Aut} (M)}$ . Когда на основе M выбран, ${ displaystyle operatorname {End} (M)}$ это пространство квадратные матрицы и ${ displaystyle operatorname {End} _ { text {alg}} (M)}$ является нулевым набором некоторых полиномиальные уравнения, и обратимость снова описывается многочленами. Следовательно, ${ displaystyle operatorname {Aut} (M)}$ это линейная алгебраическая группа над k.

Теперь базовые расширения, примененные к вышеупомянутому обсуждению, определяют функтор:^[6] а именно для каждого коммутативное кольцо р над kрассмотрим р-линейные карты ${ displaystyle M otimes R to M otimes R}$ сохраняя алгебраическую структуру: обозначим ее через ${ displaystyle operatorname {End} _ { text {alg}} (M otimes R)}$ . Тогда группа единиц кольца матриц ${ displaystyle operatorname {End} _ { text {alg}} (M otimes R)}$ над р группа автоморфизмов ${ displaystyle operatorname {Aut} (M otimes R)}$ и ${ Displaystyle R mapsto OperatorName {Aut} (M otimes R)}$ это групповой функтор: функтор от категория коммутативных колец над k к категория групп. Более того, она представлена схемой (поскольку группы автоморфизмов задаются многочленами): эта схема называется схемой схема группы автоморфизмов и обозначается ${ displaystyle operatorname {Aut} (M)}$ .