Категория (математика) - Category (mathematics)

Это категория с набором объектов A, B, C и набором морфизмов, обозначенных f, g, g ∘ f, а петли - тождественные стрелки. Эта категория обычно обозначается жирным шрифтом. 3.

В математика, а категория (иногда называемый абстрактная категория отличить его от конкретная категория ) представляет собой набор «объектов», соединенных «стрелками». Категория имеет два основных свойства: способность составлять стрелки. ассоциативно и наличие индивидуальной стрелки для каждого объекта. Простой пример - категория наборов, чьи объекты наборы и чьи стрелки функции.

Теория категорий это раздел математики, который стремится обобщить всю математику в терминах категорий, независимо от того, что представляют их объекты и стрелки. Практически каждую отрасль современной математики можно описать категориями, и это часто обнаруживает глубокое понимание и сходство между, казалось бы, разными областями математики. Таким образом, теория категорий предоставляет математике альтернативную основу для теория множеств и другие предлагаемые аксиоматические основы. В общем, объекты и стрелки могут быть абстрактными объектами любого типа, а понятие категории обеспечивает фундаментальный и абстрактный способ описания математических объектов и их отношений.

Помимо формализации математики, теория категорий также используется для формализации многих других систем в информатике, таких как семантика языков программирования.

Две категории считаются одинаковыми, если они имеют один и тот же набор объектов, один и тот же набор стрелок и один и тот же ассоциативный метод составления любой пары стрелок. Два другой категории также можно рассматривать "эквивалент «для целей теории категорий, даже если они не имеют точно такой же структуры.

Общеизвестные категории обозначаются коротким словом с заглавной буквы или аббревиатурой, выделенной жирным шрифтом или курсивом: примеры включают Набор, категория наборы и набор функций; Кольцо, категория кольца и гомоморфизмы колец; и верхний, категория топологические пространства и непрерывные карты. Все предыдущие категории имеют карта идентичности как стрелки идентичности и сочинение как ассоциативная операция над стрелками.

Классический и до сих пор широко используемый текст по теории категорий: Категории для рабочего математика от Saunders Mac Lane. Остальные ссылки приведены в использованная литература ниже. Основные определения в этой статье содержатся в первых нескольких главах любой из этих книг.

Любые моноид может пониматься как особый вид категории (с одним объектом, самоморфизмы которого представлены элементами моноида), как и любой предзаказ.

Определение

Есть много эквивалентных определений категории.^[1] Одно из обычно используемых определений выглядит следующим образом. А категория C состоит из

• а класс ob (C) из объекты
• классный дом (C) из морфизмы, или стрелки, или карты, между объектами. Каждый морфизм ж имеет исходный объект a и целевой объект b где а и б находятся в об (C). Мы пишем ж: а → б, и мы говорим "ж это морфизм из а к б". Мы пишем hom (а, б) (или hom_C(а, б) когда может возникнуть путаница относительно того, к какой категории hom (а, б) относится) для обозначения хом-класс всех морфизмов из а к б. (Некоторые авторы пишут Мор (а, б) или просто C(а, б) вместо этого.)
• за каждые три объекта а, б и c, бинарная операция hom (а, б) × hom (б, c) → hom (а, c) называется композиция морфизмов; состав ж : а → б и г : б → c записывается как г ∘ ж или gf. (Некоторые авторы используют «схематический порядок», написав f; g или фг.)

такие, что выполняются следующие аксиомы:

• (ассоциативность ) если ж : а → б, г : б → c и час : c → d тогда час ∘ (г ∘ ж) = (час ∘ г) ∘ ж, и
• (идентичность ) для каждого объекта Икс, существует морфизм 1_Икс : Икс → Икс (некоторые авторы пишут мне бы_Икс) называется морфизм тождества для x, так что каждый морфизм ж : а → Икс удовлетворяет 1_Икс ∘ ж = ж, и каждый морфизм г : Икс → б удовлетворяет г ∘ 1_Икс = г.

Из этих аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один морфизм идентичности. Некоторые авторы используют небольшую вариацию определения, в которой каждый объект идентифицируется с соответствующим морфизмом идентичности.

Малые и большие категории

Категория C называется маленький если оба ob (C) и hom (C) на самом деле наборы и не правильные классы, и большой в противном случае. А местная малая категория такая категория, что для всех объектов а и б, гом-класс hom (а, б) - множество, называемое homset. Многие важные категории в математике (например, категория множеств), хотя и не малы, но по крайней мере локально малы. Поскольку в небольших категориях объекты образуют набор, небольшую категорию можно рассматривать как алгебраическая структура похожий на моноид но не требуя закрытие свойства. С другой стороны, большие категории можно использовать для создания «структур» алгебраических структур.

Примеры

В класс всех наборов (как объектов) вместе со всеми функции между ними (как морфизмы), где композиция морфизмов обычная функциональная композиция, образует большую категорию, Набор. Это самая основная и наиболее часто используемая категория в математике. Категория Rel состоит из всех наборы (как объекты) с бинарные отношения между ними (как морфизмы). Абстрагируясь от связи вместо функций дает аллегории, особый класс категорий.

Любой класс можно рассматривать как категорию, единственными морфизмами которой являются морфизмы тождества. Такие категории называются дискретный. Для любого данного набор я, то дискретная категория на I это небольшая категория, в которой есть элементы я как объекты и только тождественные морфизмы как морфизмы. Дискретные категории - это простейший вид категорий.

Любые предварительно заказанный набор (п, ≤) образует небольшую категорию, в которой объекты являются членами п, морфизмы - это стрелки, указывающие из Икс к у когда Икс ≤ у. Кроме того, если ≤ является антисимметричный, между любыми двумя объектами может быть не более одного морфизма. Существование тождественных морфизмов и составность морфизмов гарантируются рефлексивность и транзитивность предзаказа. По тому же аргументу любой частично заказанный набор и любой отношение эквивалентности можно рассматривать как небольшую категорию. Любые порядковый номер можно рассматривать как категорию, если рассматривать ее как заказанный набор.

Любые моноид (Любые алгебраическая структура с одним ассоциативный бинарная операция и элемент идентичности ) образует небольшую категорию с одним объектом Икс. (Вот, Икс - любое фиксированное множество.) Морфизмы из Икс к Икс являются в точности элементами моноида, тождественный морфизм Икс является единицей моноида, а категориальная композиция морфизмов задается операцией моноида. Некоторые определения и теоремы о моноидах могут быть обобщены на категории.

Аналогично любой группа можно рассматривать как категорию с одним объектом, в котором каждый морфизм обратимый, то есть для каждого морфизма ж есть морфизм г это оба левый и правый обратные к ж под состав. Обратимый в этом смысле морфизм называется изоморфизм.

А группоид - категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом. Группоиды - это обобщения групп, групповые действия и отношения эквивалентности. На самом деле, с точки зрения категории единственное различие между группоидом и группой состоит в том, что у группоида может быть более одного объекта, но у группы должен быть только один. Рассмотрим топологическое пространство Икс и зафиксируем базовую точку ${ displaystyle x_ {0}}$ из Икс, тогда ${ displaystyle pi _ {1} (X, x_ {0})}$ это фундаментальная группа топологического пространства Икс и базовая точка ${ displaystyle x_ {0}}$, и как набор имеет структуру группы; если тогда пусть базовая точка ${ displaystyle x_ {0}}$ проходит по всем точкам Икс, и возьмем объединение всех ${ displaystyle pi _ {1} (X, x_ {0})}$, то в полученном наборе есть только структура группоида (которая называется фундаментальный группоид из Икс): две петли (в соответствии с отношением эквивалентности гомотопии) могут не иметь одинаковых базовых точек, поэтому они не могут быть кратными друг другу. На языке категории это означает, что здесь два морфизма могут не иметь одного и того же исходного объекта (или целевого объекта, потому что в этом случае для любого морфизма исходный объект и целевой объект одинаковы: базовая точка), поэтому они не могут компоноваться с друг друга.

Ориентированный граф.

Любые ориентированный граф генерирует небольшая категория: объекты вершины графа, а морфизмы - это пути в графе (дополненные петли при необходимости), где композиция морфизмов - это конкатенация путей. Такая категория называется свободная категория порожденный графом.

Класс всех предварительно заказанных наборов с монотонные функции поскольку морфизмы образуют категорию, Ord. Это конкретная категория, т.е. категория, полученная добавлением некоторого типа структуры к Набор, и требуя, чтобы морфизмы были функциями, которые уважают эту добавленную структуру.

Класс всех групп с групповые гомоморфизмы так как морфизмы и функциональная композиция поскольку операция композиции формирует большую категорию, Grp. подобно Ord, Grp это конкретная категория. Категория Ab, состоящий из всех абелевы группы и их групповые гомоморфизмы, является полная подкатегория из Grp, а прототип абелева категория. Другие примеры конкретных категорий приведены в следующей таблице.

Пучки волокон с участием связка карт между ними образуется конкретная категория.

Категория Кот состоит из всех малых категорий, с функторы между ними как морфизмы.

Строительство новых категорий

Двойная категория

Любая категория C может сам по себе рассматриваться как новая категория по-другому: объекты такие же, как и в исходной категории, но стрелки - это стрелки исходной категории, перевернутые. Это называется двойной или противоположная категория и обозначается C^op.

Категории продукта

Если C и D категории, можно сформировать категория продукта C × D: объекты представляют собой пары, состоящие из одного объекта из C и один из D, и морфизмы также являются парами, состоящими из одного морфизма в C и один в D. Такие пары можно составить покомпонентно.

Типы морфизмов

А морфизм ж : а → б называется

• а мономорфизм (или моник), если он сокращается слева, т.е. фг₁ = фг₂ подразумевает г₁ = г₂ для всех морфизмов г₁, г₂ : Икс → а.
• ан эпиморфизм (или эпос), если он сокращается справа, т.е. г₁ж = г₂ж подразумевает г₁ = г₂ для всех морфизмов г₁, г₂ : б → Икс.
• а биморфизм если это одновременно мономорфизм и эпиморфизм.
• а втягивание если он имеет правый обратный, т.е. если существует морфизм г : б → а с участием фг = 1_б.
• а раздел если он имеет левый обратный, т.е. если существует морфизм г : б → а с участием gf = 1_а.
• ан изоморфизм если он имеет инверсию, т.е. если существует морфизм г : б → а с участием фг = 1_б и gf = 1_а.
• ан эндоморфизм если а = б. Класс эндоморфизмов а обозначается конец (а).
• ан автоморфизм если ж является одновременно эндоморфизмом и изоморфизмом. Класс автоморфизмов а обозначается aut (а).

Всякая ретракция - это эпиморфизм. Каждое сечение - мономорфизм. Следующие три утверждения эквивалентны:

• ж - мономорфизм и ретракция;
• ж - эпиморфизм и разрез;
• ж является изоморфизмом.

Отношения между морфизмами (такими как фг = час) удобнее всего представить как коммутативные диаграммы, где объекты представлены в виде точек, а морфизмы - в виде стрелок.

Типы категорий

• Во многих категориях, например Ab или Vect_K, hom-множества hom (а, б) не просто наборы, а на самом деле абелевы группы, и композиция морфизмов совместима с этими групповыми структурами; то есть билинейный. Такая категория называется предаддитив. Если к тому же в категории все конечные продукты и побочные продукты, это называется аддитивная категория. Если все морфизмы имеют ядро и коядро, и все эпиморфизмы являются коядрами, а все мономорфизмы являются ядрами, то мы говорим о абелева категория. Типичный пример абелевой категории - категория абелевых групп.
• Категория называется полный если все маленькие пределы существуют в нем. Категории множеств, абелевых групп и топологических пространств полны.
• Категория называется декартово закрыто если он имеет конечные прямые произведения и морфизм, определенный на конечном произведении, всегда может быть представлен морфизмом, определенным только на одном из факторов. Примеры включают Набор и CPO, категория полные частичные заказы с участием Скотт-непрерывные функции.
• А топос - это определенный тип декартовой замкнутой категории, в которой может быть сформулирована вся математика (точно так же, как классически вся математика формулируется в категории множеств). Топос также может использоваться для представления логической теории.

Смотрите также

• Обогащенная категория
• Теория высших категорий
• Квантовоид
• Таблица математических символов

Заметки

использованная литература

• Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990), Абстрактные и конкретные категории (PDF), Wiley, ISBN  0-471-60922-6 (теперь бесплатная онлайн-версия, GNU FDL ).
• Асперти, Андреа; Лонго, Джузеппе (1991), Категории, типы и структуры, MIT Press, ISBN  0-262-01125-5.
• Awodey, Стив (2006), Теория категорий, Оксфордские логические руководства, 49, Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19-856861-2.
• Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (2005), Топосы, тройки и теории, Отпечатки в теории и приложениях категорий, 12 (переработанная ред.), Г-Н  2178101.
• Borceux, Francis (1994), "Справочник категориальной алгебры", Энциклопедия математики и ее приложений, 50–52, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-06119-9.
• «Категория», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (2007), Теория категорий, Heldermann Verlag, ISBN  978-3-88538-001-6.
• Джейкобсон, Натан (2009), Базовая алгебра (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47187-7.
• Ловер, Уильям; Шануэль, Стив (1997), Концептуальная математика: первое введение в категории, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-47249-0.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998), Категории для рабочего математика, Тексты для выпускников по математике, 5 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-98403-8.
• Маркиз, Жан-Пьер (2006), «Теория категорий», в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии.
• Сика, Джандоменико (2006), Что такое теория категорий?, Углубленное изучение математики и логики, 3, Полиметрика, ISBN  978-88-7699-031-1.
• категория в nLab