Категория Клейсли - Википедия - Kleisli category

В теория категорий, а Категория Клейсли это категория естественно ассоциируется с любым монада Т. Приравнивается к категории бесплатных Т-алгебры. Категория Клейсли - одно из двух экстремальных решений вопроса Каждая ли монада возникает из примыкание ? Другое экстремальное решение - это Категория Эйленберга – Мура. Категории Клейсли названы в честь математика Генрих Клейсли.

Формальное определение

Позволять ⟨Т, η, μ⟩ Быть монада по категории C. В Категория Клейсли из C это категория C_Т чьи объекты и морфизмы задаются

{ displaystyle { begin {align} mathrm {Obj} ({{ mathcal {C}} _ ​​{T}}) & = mathrm {Obj} ({ mathcal {C}}), mathrm {Hom} _ {{ mathcal {C}} _ ​​{T}} (X, Y) & = mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (X, TY). End {align}}}

То есть каждый морфизм е: X → T Y в C (с codomain TY) также можно рассматривать как морфизм в C_Т (но с codomain Y). Состав морфизмов в C_Т дан кем-то

{ displaystyle g circ _ {T} f = mu _ {Z} circ Tg circ f: X to TY to T ^ {2} Z to TZ}

куда е: X → T Y и г: Y → T Z. Тождественный морфизм задается единицей монады η:

{ displaystyle mathrm {id} _ {X} = eta _ {X}}

.

Mac Lane использует альтернативный способ записи, поясняющий категорию, в которой находится каждый объект.^[1] В этой презентации мы используем несколько иные обозначения. Учитывая ту же монаду и категорию ${ displaystyle C}$ как и выше, мы связываем с каждым объектом ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle C}$ новый объект ${ Displaystyle X_ {T}}$ , и для каждого морфизма ${ displaystyle f двоеточие X до TY}$ в ${ displaystyle C}$ морфизм ${ displaystyle f ^ {*} двоеточие X_ {T} to Y_ {T}}$ . Вместе эти объекты и морфизмы составляют нашу категорию ${ displaystyle C_ {T}}$ , где мы определяем

{ displaystyle g ^ {*} circ _ {T} f ^ {*} = ( mu _ {Z} circ Tg circ f) ^ {*}.}

Тогда морфизм тождества в ${ displaystyle C_ {T}}$ является

{ displaystyle mathrm {id} _ {X_ {T}} = ( eta _ {X}) ^ {*}.}

Операторы продолжения и тройки Клейсли

Состав стрелок Клейсли можно выразить лаконично с помощью оператор расширения (–)^* : Hom (Икс, TY) → Hom (TX, TY). Для монады ⟨Т, η, μ⟩ Над категорией C и морфизм ж : Икс → TY позволять

{ displaystyle f ^ {*} = mu _ {Y} circ Tf.}

Композиция в категории Клейсли C_Т тогда можно написать

{ displaystyle g circ _ {T} f = g ^ {*} circ f.}

Оператор расширения удовлетворяет тождествам:

{ displaystyle { begin {align} eta _ {X} ^ {*} & = mathrm {id} _ {TX} f ^ {*} circ eta _ {X} & = f (g ^ {*} circ f) ^ {*} & = g ^ {*} circ f ^ {*} end {align}}}

куда ж : Икс → TY и грамм : Y → TZ. Из этих свойств тривиально следует, что композиция Клейсли ассоциативна и что η_Икс это личность.

Фактически, дать монаду - значит дать Клейсли трехместный ⟨Т, η, (–)^*⟩, Т.е.

Функция ${ Displaystyle Т двоеточие mathrm {ob} (C) to mathrm {ob} (C)}$ ;
Для каждого объекта ${ displaystyle A}$ в ${ displaystyle C}$ , морфизм ${ displaystyle eta _ {A} двоеточие от A до T (A)}$ ;
Для каждого морфизма ${ Displaystyle е двоеточие от А до Т (В)}$ в ${ displaystyle C}$ , морфизм ${ displaystyle f ^ {*} двоеточие T (A) to T (B)}$

такие, что выполняются указанные выше три уравнения для операторов продолжения.

Клейсли примыкание

Категории Клейсли были первоначально определены для того, чтобы показать, что каждая монада возникает из присоединения. Эта конструкция выглядит следующим образом.

Позволять ⟨Т, η, μ⟩ - монада над категорией C и разреши C_Т - ассоциированная категория Клейсли. Используя обозначения Mac Lane, упомянутые в разделе «Формальное определение» выше, определите функтор F: C → C_Т к

{ Displaystyle FX = X_ {T} ;}

{ Displaystyle F (е двоеточие X к Y) = ( eta _ {Y} circ f) ^ {*}}

и функтор грамм : C_Т → C к

{ Displaystyle GY_ {T} = TY ;}

{ displaystyle G (f ^ {*} двоеточие X_ {T} to Y_ {T}) = mu _ {Y} circ Tf ;}

Можно показать, что F и грамм действительно являются функторами и что F слева примыкает к грамм. Счетчик примыкания определяется как

{ displaystyle varepsilon _ {Y_ {T}} = ( mathrm {id} _ {TY}) ^ {*} :( TY) _ {T} to Y_ {T}.}

Наконец, можно показать, что Т = GF и μ = GεF так что ⟨Т, η, μ⟩ - монада, ассоциированная с присоединением ⟨F, грамм, η, ε⟩.

Показывая это GF = Т

Для любого объекта Икс в категории C:

{ Displaystyle (G circ F) (X) = G (F (X))}

{ Displaystyle qquad = G (X_ {T})}

{ displaystyle qquad = TX}

.

Для любого ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ в категории C:

{ Displaystyle (G circ F) (е) = G (F (f))}

{ Displaystyle qquad = G (( eta _ {Y} circ f) ^ {*})}

{ Displaystyle qquad = му _ {Y} circ T ( eta _ {Y} circ f)}

{ displaystyle qquad = mu _ {Y} circ T eta _ {Y} circ Tf}

{ displaystyle qquad = { text {id}} _ {TY} circ Tf}

{ Displaystyle qquad = Tf}

.

С ${ Displaystyle (G circ F) (X) = TX}$ верно для любого объекта Икс в C и ${ Displaystyle (G circ F) (е) = Tf}$ верно для любого морфизма ж в C, тогда ${ Displaystyle G circ F = T}$ . ${ Displaystyle квадрат}$