Строковая диаграмма - Википедия - String diagram

В теория категорий, строковые диаграммы являются способом представления морфизмы в моноидальные категории, или, как правило, с 2 ячейками в 2 категории.

Определение

Идея состоит в том, чтобы представить структуры размерности d по структурам размерности 2-й, с помощью Двойственность Пуанкаре. Таким образом,

объект представлен частью плоскости,
1-ячейка ${ displaystyle f: от A до B}$ представлен вертикальным сегментом, называемым нить- разделение плоскости пополам (правая часть соответствует А и левый B),
2-элементный ${ displaystyle alpha: f Rightarrow g: A to B}$ представлен пересечением строк (строки, соответствующие ж над ссылкой строки, соответствующие грамм ниже по ссылке).

Параллельная композиция из двух ячеек соответствует горизонтальному наложению диаграмм, а последовательная композиция - вертикальному наложению диаграмм.

Двойственность между коммутативными диаграммами (слева) и строковыми диаграммами (справа)

Пример

Рассмотрим примыкание ${ Displaystyle (F, G, eta, varepsilon)}$ между двумя категориями ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ куда ${ Displaystyle F: { mathcal {C}} leftarrow { mathcal {D}}}$ примыкает к ${ Displaystyle G: { mathcal {C}} rightarrow { mathcal {D}}}$ и естественные преобразования ${ displaystyle eta: I rightarrow GF}$ и ${ displaystyle varepsilon: FG rightarrow I}$ соответственно единица и счет. Струнные диаграммы, соответствующие этим естественным преобразованиям, следующие:

Струнная схема агрегата

Струнная диаграмма счетчика

Строковая диаграмма идентичности

Строка, соответствующая тождественному функтору, изображена пунктирной линией и может быть опущена. Для определения присоединения необходимы следующие равенства:

{ Displaystyle { begin {выровненный} ( varepsilon F) circ F ( eta) & = 1_ {F} G ( varepsilon) circ ( eta G) & = 1_ {G} end { выровнено}}}

Первый изображен как

Схематическое изображение равенства

{ Displaystyle ( varepsilon F) circ F ( eta) = 1_ {F}}

Другие языки диаграмм

Морфизмы в моноидальные категории также могут быть нарисованы в виде строковых диаграмм ^[1] поскольку строгую моноидальную категорию можно рассматривать как 2 категории только с одним объектом (следовательно, будет только один тип плоской области), и теорема о строгости Мак Лейна утверждает, что любая моноидальная категория моноидально эквивалентна строгой. Графический язык строковых диаграмм для моноидальных категорий может быть расширен для представления выражений в категориях с другой структурой, например плетеные моноидальные категории, категории кинжалов,^[2] и т.д. и относится к геометрическим представлениям для плетеные моноидальные категории^[3] и категории лент.^[4] В квантовые вычисления, существует несколько языков диаграмм, основанных на строковых диаграммах для рассуждений о линейных отображениях между кубиты, наиболее известным из которых является ZX-исчисление.

внешняя ссылка

Катстеры (2007). Строковые диаграммы 1 (потоковое видео). YouTube.
Строковые диаграммы в nLab

Рекомендации

^ Хоял, Андре; Улица, Росс (1991). «Геометрия тензорного исчисления, I» (PDF). Успехи в математике. 88 (1): 55–112. Дои:10.1016 / 0001-8708 (91) 90003-П. ISSN 0001-8708.
^ Селинджер, П. (2010). "Обзор графических языков для моноидальных категорий" (PDF). В Бобе Коке (ред.). Новые структуры для физики. Конспект лекций по физике. 813. Springer Berlin Heidelberg. С. 289–355. arXiv:0908.3347. Bibcode:2009arXiv0908.3347S. Дои:10.1007/978-3-642-12821-9_4. ISBN 978-3-642-12820-2.
^ Joyal, A .; Улица Р. (1993). «Плетеные тензорные категории». Успехи в математике. 102 (1): 20–78. Дои:10.1006 / aima.1993.1055. ISSN 0001-8708.
^ Шум, Мэй Чи (1994-04-11). «Тортильные тензорные категории». Журнал чистой и прикладной алгебры. 93 (1): 57–110. Дои:10.1016 / 0022-4049 (92) 00039-Т. ISSN 0022-4049.

Этот теория категорий -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[1] Хоял, Андре; Улица, Росс (1991). «Геометрия тензорного исчисления, I» (PDF). Успехи в математике. 88 (1): 55–112. Дои:10.1016 / 0001-8708 (91) 90003-П. ISSN 0001-8708.

[2] Селинджер, П. (2010). "Обзор графических языков для моноидальных категорий" (PDF). В Бобе Коке (ред.). Новые структуры для физики. Конспект лекций по физике. 813. Springer Berlin Heidelberg. С. 289–355. arXiv:0908.3347. Bibcode:2009arXiv0908.3347S. Дои:10.1007/978-3-642-12821-9_4. ISBN 978-3-642-12820-2.

[3] Joyal, A .; Улица Р. (1993). «Плетеные тензорные категории». Успехи в математике. 102 (1): 20–78. Дои:10.1006 / aima.1993.1055. ISSN 0001-8708.

[4] Шум, Мэй Чи (1994-04-11). «Тортильные тензорные категории». Журнал чистой и прикладной алгебры. 93 (1): 57–110. Дои:10.1016 / 0022-4049 (92) 00039-Т. ISSN 0022-4049.

[1]

[2]

[3]

[4]