N-группа (теория категорий) - N-group (category theory)

В математика, п-группа, или же п-мерная высшая группа, особый вид п-категория это обобщает концепцию группа к многомерная алгебра. Здесь, ${displaystyle n}$ может быть любой натуральное число или же бесконечность. Тезис Александр Гротендик студент Хоанг Сюан Синь было углубленным изучением 2 группы под прозвищем «гр-категория».

Общее определение ${displaystyle n}$-группа - предмет постоянных исследований. Однако ожидается, что каждый топологическое пространство будет гомотопия ${displaystyle n}$-группа в каждой точке, которая инкапсулирует Постникова башня пространства до гомотопическая группа ${displaystyle pi _ {n}}$, или вся Постникова башня за ${displaystyle n = infty}$.

Примеры

Пространства Эйленберга-Маклана

Один из основных примеров высших групп происходит от гомотопических типов Пространства Эйленберга – Маклейна ${displaystyle K (A, n)}$ поскольку они являются фундаментальными строительными блоками для построения высших групп и гомотопических типов в целом. Например, каждая группа ${displaystyle G}$ можно превратить в пространство Эйленберга-Маклейна ${displaystyle K (G, 1)}$ через симплициальную конструкцию^[1], и ведет себя функториально. Эта конструкция обеспечивает эквивалентность групп и 1-групп. Обратите внимание, что некоторые авторы пишут ${displaystyle K (G, 1)}$ в качестве ${displaystyle BG}$, а для абелевой группы ${displaystyle A}$, ${displaystyle K (A, n)}$ записывается как ${displaystyle B ^ {n} A}$.

2 группы

Определение и многие свойства 2 группы уже известны. 2-группы можно описать с помощью скрещенные модули и их классификационные пространства. По сути, они даются четверкой ${displaystyle (pi _ {1}, pi _ {2}, t, omega)}$ куда ${displaystyle pi _ {1}, pi _ {2}}$ группы с ${displaystyle pi _ {2}}$ абелевский

${displaystyle t: pi _ {1} o {ext {Aut}} (pi _ {2})}$

групповой морфизм, и ${displaystyle omega in H ^ {3} (Bpi _ {1}, pi _ {2})}$ класс когомологий. Эти группы можно закодировать как гомотопические ${displaystyle 2}$-типы ${displaystyle X}$ с ${displaystyle pi _ {1} (X) = pi _ {1}}$ и ${displaystyle pi _ {2} (X) = pi _ {2}}$, причем действие происходит от действия ${displaystyle pi _ {1} (X)}$ на высших гомотопических группах и ${displaystyle omega}$ исходящий из Постникова башня так как существует расслоение

${displaystyle B ^ {2} pi _ {2} o X o Bpi _ {1}}$

исходя из карты ${displaystyle Bpi _ {1} o B ^ {3} pi _ {2}}$. Обратите внимание, что эту идею можно использовать для построения других более высоких групп с данными группы, имеющими тривиальные средние группы. ${displaystyle pi _ {1}, e, ldots, e, pi _ {n}}$, где последовательность расслоений теперь

${displaystyle B ^ {n} pi _ {n} o X o Bpi _ {1}}$

исходя из карты ${displaystyle Bpi _ {1} o B ^ {n + 1} pi _ {n}}$ чей гомотопический класс является элементом ${displaystyle H ^ {n + 1} (Bpi _ {1}, pi _ {n})}$.

3 группы

Другой интересный и доступный класс примеров, требующий теоретико-гомотопических методов, недоступных для строгих группоидов, связан с изучением гомотопических 3-типов групп.^[2]. Существенно, что они даны тройкой групп ${displaystyle (pi _ {1}, pi _ {2}, pi _ {3})}$ при этом только первая группа неабелева, и некоторые дополнительные теоретические данные гомотопии из башни Постникова. Если взять эту 3-группу как гомотопический 3-тип ${displaystyle X}$существование универсальных покрытий дает нам гомотопический тип ${displaystyle {hat {X}} o X}$ которое укладывается в последовательность расслоений

${displaystyle {hat {X}} o X o Bpi _ {1}}$

давая гомотопию ${displaystyle {hat {X}}}$ тип с ${displaystyle pi _ {1}}$ тривиально, на котором ${displaystyle pi _ {1}}$ действует на. Это можно понять явно, используя предыдущую модель ${displaystyle 2}$-группы, сдвинутые по степени вверх (так называемый разворот). Явно, ${displaystyle {hat {X}}}$ укладывается в башню Постникова с ассоциированным расслоением Серра

${displaystyle B ^ {3} pi _ {3} o {hat {X}} o B ^ {2} pi _ {2}}$

давая где ${displaystyle B ^ {3} pi _ {3}}$-пучок ${displaystyle {hat {X}} o B ^ {2} pi _ {2}}$ исходит с карты ${displaystyle B ^ {2} pi _ {2} o B ^ {4} pi _ {3}}$, дающий класс когомологий в ${displaystyle H ^ {4} (B ^ {2} pi _ {2}, pi _ {3})}$. Потом, ${displaystyle X}$ можно восстановить с помощью гомотопического фактора ${displaystyle {hat {X}} // pi _ {1} simeq X}$.

n-группы

Предыдущая конструкция дает общее представление о том, как вообще рассматривать высшие группы. Для группы n с группами ${displaystyle pi _ {1}, pi _ {2}, ldots, pi _ {n}}$ с абелевым последним сгустком, мы можем рассматривать связанный с ним гомотопический тип ${displaystyle X}$ и сначала рассмотрим универсальный чехол ${displaystyle {hat {X}} o X}$. Тогда это пространство с тривиальным ${displaystyle pi _ {1} ({шляпа {X}}) = 0}$, что упрощает построение остальной части гомотопического типа с помощью башни Постникова. Тогда гомотопический фактор ${displaystyle {hat {X}} // pi _ {1}}$ дает реконструкцию ${displaystyle X}$, показывая данные ${displaystyle n}$-group - высшая группа, или Простое пространство, с тривиальным ${displaystyle pi _ {1}}$ так что группа ${displaystyle G}$ действует на него гомотопически. Это наблюдение отражается в том факте, что гомотопические типы не реализуются симплициальные группы, но симплициальные группоиды^{[3]стр. 295} поскольку структура группоида моделирует гомотопический фактор ${displaystyle - // pi _ {1}}$.

Проходит строительство 4-х групповой ${displaystyle X}$ поучительно, потому что дает общее представление о том, как строить группы в целом. Для простоты предположим ${displaystyle pi _ {1} = e}$ тривиально, поэтому нетривиальные группы ${displaystyle pi _ {2}, pi _ {3}, pi _ {4}}$. Это дает постников башню

${displaystyle X o X_ {3} o B ^ {2} pi _ {2} o *}$

где первое нетривиальное отображение ${displaystyle X_ {3} o B ^ {2} pi _ {2}}$ расслоение с волокном ${displaystyle B ^ {3} pi _ {3}}$. Опять же, это классифицируется классом когомологий в ${displaystyle H ^ {4} (B ^ {2} pi _ {2}, pi _ {3})}$. Теперь построим ${displaystyle X}$ из ${displaystyle X_ {3}}$, существует ассоциированное расслоение

${displaystyle B ^ {4} pi _ {4} o X o X_ {3}}$

заданный гомотопическим классом ${displaystyle [X_ {3}, B ^ {5} pi _ {4}] cong H ^ {5} (X_ {3}, pi _ {4})}$. В принципе^[4] эта группа когомологий должна быть вычислима с использованием предыдущего расслоения ${displaystyle B ^ {3} pi _ {3} o X_ {3} o B ^ {2} pi _ {2}}$ со спектральной последовательностью Серра с правильными коэффициентами, а именно ${displaystyle pi _ {4}}$. Делая это рекурсивно, скажем, для ${displaystyle 5}$-группа, потребует нескольких вычислений спектральной последовательности, в худшем случае ${displaystyle n!}$ много вычислений спектральной последовательности для ${displaystyle n}$-группа.

Смотрите также

• ∞-группоид
• Скрещенный модуль
• Гипотеза гомотопии

Рекомендации

• Хоанг Сюан Синь, Gr-категории, Кандидатская диссертация, (1973)
• Джон К. Баэз и Аарон Д. Лауда, Многомерная алгебра V: 2-группы, Теория и приложения категорий 12 (2004), 423–491.
• Дэвид Майкл Робертс и Урс Шрайбер, 3-группа внутренних автоморфизмов строгой 2-группы, Журнал гомотопии и родственных структур, вып. 3 (1) (2008), стр. 193–245.
• Классификация слабых 3-групп
• Стеки и гомотопическая теория симплициальных пучков

Когомологии высших групп

• Определение вторых групп гомологий и когомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов
• Третья группа когомологий классифицирует скрещенные расширения модулей
• О второй группе когомологий симплициальной группы

Этот теория категорий -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.