Многомерная алгебра - Википедия - Higher-dimensional algebra

В математика, особенно (выше ) теория категорий, многомерная алгебра это изучение категоризованный конструкции. Имеет приложения на неабелевском алгебраическая топология, и обобщает абстрактная алгебра.

Категории высших измерений

Первым шагом к определению алгебр более высоких измерений является концепция 2 категории из теория высших категорий, за которым следует более «геометрическая» концепция двойная категория.^[1][2]

Таким образом, концепция более высокого уровня определяется как категория категорий или суперкатегории, которая обобщает на более высокие измерения понятие категория - рассматривается как любая структура, которая является интерпретацией Лавер аксиомы элементарная теория абстрактных категорий (ETAC).^[3][4] Ll.

,^[5][6] Таким образом, суперкатегория, а также суперкатегория, можно рассматривать как естественное расширение понятий мета-категория,^[7] мультикатегория, и мультиграф, k-дольный граф, или же цветной график (см цветной рисунок, а также его определение в теория графов ).

Суперкатегории были впервые введены в 1970 году,^[8] и впоследствии были разработаны для приложений в теоретическая физика (особенно квантовая теория поля и топологическая квантовая теория поля ) и математическая биология или же математическая биофизика.^[9]

Другие пути в многомерной алгебре включают: бикатегории, гомоморфизмы бикатегорий, категории переменных (он же, проиндексировано или параметризованные категории ), Topoi, эффективный спуск, и обогащенный и внутренние категории.

Двойные группоиды

В многомерная алгебра (HDA), а двойной группоид является обобщением одномерного группоид к двум измерениям,^[10] и последний группоид можно рассматривать как частный случай категории со всеми обратимыми стрелками, или морфизмы.

Двойные группоиды часто используются для сбора информации о геометрический такие объекты, как многомерные многообразия (или же п-мерные многообразия ).^[11] В целом п-мерное многообразие это пространство, которое локально выглядит как п-мерное евклидово пространство, но чья глобальная структура может быть неевклидов.

Двойные группоиды были впервые введены Рональд Браун в 1976 г., в исх.^[11] и получили дальнейшее развитие для приложений в неабелевский алгебраическая топология.^{[12][13][14][15]} Родственная, «двойная» концепция - это двойная алгеброид, и более общая концепция R-алгеброид.

Неабелева алгебраическая топология

Видеть Неабелева алгебраическая топология

Приложения

Теоретическая физика

В квантовая теория поля, существуют квантовые категории.^[16][17][18] и квантовые двойные группоиды.^[19] Квантовые двойные группоиды можно рассматривать как фундаментальные группоиды определяется через 2-функтор, что позволяет задуматься о физически интересном случае квантовые фундаментальные группоиды (QFG) с точки зрения бикатегория Промежуток (Группоиды), а затем построение 2-Гильбертовы пространства и 2-линейные карты для коллекторов и кобордизмы. На следующем шаге получаем кобордизмы с углами через естественные преобразования таких 2-функторов. Затем было заявлено, что группа датчиков SU (2), "расширенный TQFT, или ETQFT, дает теорию, эквивалентную Модель Понцано – Редже из квантовая гравитация ";^[19] аналогично Модель Тураева – Виро будет тогда получен с представления SU_q(2). Таким образом, можно описать пространство состояний калибровочной теории - или многих других квантовые теории поля (КТП) и локальной квантовой физики с точки зрения трансформационные группоиды задаются симметриями, как, например, в случае калибровочной теории, калибровочные преобразования действует на состояния, которые в данном случае являются связями. В случае симметрий, связанных с квантовые группы, можно получить структуры, которые являются категориями представления квантовые группоиды,^[16] вместо 2-векторные пространства которые являются категориями представлений группоидов.

Смотрите также

• Хронология теории категорий и смежной математики
• Теория высших категорий
• Рональд Браун
• Алгеброид Ли
• Двойной группоид
• Анабелева геометрия
• Некоммутативная геометрия
• Категориальная алгебра
• Теория Галуа Гротендика
• Топология Гротендика
• Топологическая динамика
• Категориальная динамика
• Скрещенный модуль
• Псевдоалгебра
• Области применения в квантовой физике:
  • Квантовая алгебраическая топология
  • Квантовая геометрия
  • Квантовая гравитация
  • Квантовая группа
  • Топологическая квантовая теория поля
  • Локальная квантовая теория поля

Примечания

дальнейшее чтение

• Brown, R .; Хиггинс, П.Дж .; Сивера, Р. (2011). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды. Трактаты Том 15. Европейское математическое общество. arXiv:математика / 0407275. Дои:10.4171/083. ISBN  978-3-03719-083-8. (Доступен для скачивания PDF )
• Brown, R .; Спенсер, Си Би (1976). «Двойные группоиды и скрещенные модули». Cahiers Top. Геом. Diff. 17: 343–362.
• Brown, R .; Моза, Г. (1999). «Двойные категории, тонкие конструкции и связи». Теория и приложения категорий. 5: 163–175.
• Браун, Р. (2002). Категориальные структуры в теории спуска и Галуа. Институт Филдса.
• Браун Р. (1987). «От групп к группоидам: краткий обзор» (PDF). Бюллетень Лондонского математического общества. 19 (2): 113–134. CiteSeerX  10.1.1.363.1859. Дои:10.1112 / blms / 19.2.113. HDL:10338.dmlcz / 140413. Это дает некоторую часть истории группоидов, а именно происхождение работы Генрих Брандт по квадратичным формам и указание на более поздние работы до 1987 г., со 160 ссылками.
• Браун, Р. "Теория многомерных групп".. Веб-статья со множеством ссылок, объясняющих, как концепция группоидов привела к появлению концепций многомерных группоидов, недоступных в теории групп, с приложениями в теории гомотопий и когомологиях групп.
• Brown, R .; Хиггинс, П.Дж. (1981). «Об алгебре кубов». Журнал чистой и прикладной алгебры. 21 (3): 233–260. Дои:10.1016/0022-4049(81)90018-9.
• Mackenzie, K.C.H. (2005). Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли. Издательство Кембриджского университета. Архивировано из оригинал на 2005-03-10.
• Р., Браун (2006). Топология и группоиды. Книжный всплеск. ISBN  978-1-4196-2722-4. Пересмотренное и расширенное издание книги, ранее опубликованной в 1968 и 1988 годах. Электронная версия доступна на сайте.
• Borceux, F .; Джанелидзе, Г. (2001). Теории Галуа. Издательство Кембриджского университета. Архивировано из оригинал на 2012-12-23. Показывает, как обобщения Теория Галуа привести к Группоиды Галуа.
• Baez, J .; Долан, Дж. (1998). «Многомерная алгебра III. п-Категории и алгебра опетопов ». Успехи в математике. 135 (2): 145–206. arXiv:q-alg / 9702014. Bibcode:1997q.alg ..... 2014B. Дои:10.1006 / aima.1997.1695.
• Баяну, И. (1970). "Органические суперкатегории: II. О многостабильных системах" (PDF). Бюллетень математической биофизики. 32 (4): 539–61. Дои:10.1007 / BF02476770. PMID  4327361. Внешняя ссылка в | журнал = (помощь)
• Baianu, I.C .; Маринеску, М. (1974). "Об одном функциональном построении (M, р) -Системы ». Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées. 19: 388–391.
• Баяну, И. (1987). «Компьютерные модели и теория автоматов в биологии и медицине». В М. Виттене (ред.). Математические модели в медицине. 7. Pergamon Press. С. 1513–1577. ЦЕРН Препринт № EXT-2004-072. КАК В  0080346928 КАК В  0080346928.
• "Гомотопия многомерного мира на PlanetPhysics". Архивировано из оригинал на 13.08.2009.
• Георгий Джанелидзе, Чистая теория Галуа в категориях, J. Alg. 132: 270–286, 1990.
• Джанелидзе, Георгий (1993). «Теория Галуа в переменных категориях». Прикладные категориальные структуры. 1: 103–110. Дои:10.1007 / BF00872989..