Мультикатегория - Википедия - Multicategory

В математика (особенно теория категорий ), а мультикатегория является обобщением концепции категория что позволяет морфизмы нескольких арность. Если морфизмы в категории рассматриваются как аналог функции, то морфизмы в мультикатегории аналогичны функциям многих переменных. Мультикатегории также иногда называют операды, или цветные операды.

Определение

(Несимметричная) мультикатегория состоит из

коллекция (часто правильный класс ) из объекты;
для каждого конечная последовательность ${ Displaystyle (X_ {я}) _ {я в п}}$ объектов (для порядкового номера фон Неймана ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ ) и объект Y, набор морфизмы из ${ Displaystyle (X_ {я}) _ {я в п}}$ к Y; и
для каждого объекта Икс, особый морфизм тождества (с п = 1) из Икс к Икс.

Кроме того, существуют операции композиции: заданная последовательность последовательностей ${ displaystyle ((X_ {ij}) _ {я in n_ {j}}) _ {j in m}}$ объектов, последовательность ${ displaystyle (Y_ {j}) _ {j in m}}$ объектов, а объект Z: если

для каждого ${ displaystyle j in m}$ , ж_j это морфизм из ${ displaystyle (X_ {ij}) _ {i in n_ {j}}}$ к Y_j; и
грамм это морфизм из ${ displaystyle (Y_ {j}) _ {j in m}}$ к Z:

то есть составной морфизм ${ displaystyle g (f_ {j}) _ {j in m}}$ из ${ displaystyle (X_ {ij}) _ {я in n_ {j}, j in m}}$ к Z. Это должно удовлетворять определенным аксиомам:

Если м = 1, Z = Y₀, и грамм является морфизмом тождества для Y₀, тогда грамм(ж₀) = ж₀;
если для каждого ${ displaystyle j in m}$ , п_j = 1, ${ displaystyle X_ {0j} = Y_ {j}}$ , и ж_j является морфизмом тождества для Y_j, тогда ${ displaystyle g (f_ {j}) _ {j in m} = g}$ ; и
ан ассоциативность условие: если для каждого ${ displaystyle j in m}$ и ${ displaystyle i in n_ {j}}$ , ${ displaystyle e_ {ij}}$ это морфизм из ${ displaystyle (W_ {hij}) _ {h in o_ {ij}}}$ к ${ displaystyle X_ {ij}}$ , тогда ${ displaystyle g left (f_ {j} (e_ {ij}) _ {i in n_ {j}} right) _ {j in m} = g (f_ {j}) _ {j in m} (e_ {ij}) _ {i in n_ {j}, j in m}}$ идентичные морфизмы из ${ displaystyle (W_ {hij}) _ {h in o_ {ij}, i in n_ {j}, j in m}}$ к Z.

Категории

А comcategory (ко-мульти-категория) - это полностью заказанный набор О объектов, набор А из многострелки с двумя функциями

${ displaystyle mathrm {head}: A rightarrow O,}$

${ displaystyle mathrm {земля}: A rightarrow O ^ {\%},}$

куда О^% - множество всех конечных упорядоченных последовательностей элементов О. Двойное изображение многострелки ж можно резюмировать

${ displaystyle f: mathrm {head} (f) Leftarrow mathrm {ground} (f).}$

Категория C также есть мультипродукт с обычным характером операции композиции. C называется ассоциативным, если выполняется аксиома мультипродукции по отношению к этому оператору.

Любая мультикатегория, симметричная или же несимметричный, вместе с полным упорядочением набора объектов, может быть превращен в эквивалентную категорию.

А многопорядковый является коматегорией, удовлетворяющей следующим условиям.

Существует не более одной многострелки с указанными головкой и землей.
Каждый объект Икс имеет единицу многострелку.
Многострелка - это единица, если на ее земле есть одна запись.

Мультиупорядоченность - это обобщение частичных порядков (посетов), впервые введенное (мимоходом) Томом Ленстером.^[1]

Примеры

Есть мультикатегория, объекты которой (маленькие) наборы, где морфизм из множеств Икс₁, Икс₂, ..., и Икс_п к набору Y является п-арная функция, это функция из Декартово произведение Икс₁ × Икс₂ × ... × Икс_п к Y.

Существует мультикатегория, объекты которой векторные пространства (над рациональное число, скажем), где морфизм из векторных пространств Икс₁, Икс₂, ..., и Икс_п в векторное пространство Y это полилинейный оператор, это линейное преобразование от тензорное произведение Икс₁ ⊗ Икс₂ ⊗ ... ⊗ Икс_п к Y.

В более общем плане, учитывая любые моноидальная категория C, существует мультикатегория, объектами которой являются объекты C, где морфизм из C-объекты Икс₁, Икс₂, ..., и Икс_п к C-объект Y это C-морфизм моноидального произведения Икс₁, Икс₂, ..., и Икс_п к Y.

An операда мультикатегория с одним уникальным объектом; за исключением вырожденных случаев, такая мультикатегория не происходит из моноидальной категории.

Примеры мультиордеров включают точечные мультимножества (последовательность A262671 в OEIS ), целые разделы (последовательность A063834 в OEIS ), и комбинаторные разделения (последовательность A269134 в OEIS ). Треугольники (или композиции) любого многопорядка являются морфизмами (не обязательно ассоциативной) категории схватки и категория разложения. Категория сжатия для мультиорядка multimin разделы (последовательность A255397 в OEIS ) - простейшая из известных категорий мультимножеств.^[2]

Приложения

Мультикатегории часто ошибочно считаются принадлежащими теория высших категорий, поскольку их первоначальным приложением было наблюдение, что операторы и идентичности, удовлетворяемые более высокими категориями, являются объектами и множественными стрелками мультикатегории. Изучение п-категории, в свою очередь, были мотивированы приложениями в алгебраическая топология и пытается описать теория гомотопии высших измерений коллекторы. Однако это в основном выросло из этой мотивации и теперь также считается частью чистой математики.[1]

Соответствие стягиваний и разложений треугольников в мультиупорядке позволяет построить ассоциативная алгебра назвал его алгебра инцидентности. Любой элемент, отличный от нуля на всех единичных стрелках, имеет композиционный обратный, и Функция Мёбиуса многопорядка определяется как композиция, обратная дзета-функции (константа-единица) в ее алгебре инцидентности.

История

Мультикатегории были впервые введены под этим названием Джим Ламбек в "Дедуктивных системах и категориях II" (1969)^[3] Он упоминает (стр. 108), что ему «сказали, что мультикатегории также изучались [Жаном] Бенабу и [Пьером] Картье», и действительно Ленстер полагает, что «идея могла прийти в голову любому, кто знал, что такое категория и многолинейная карта была ».^[1]^:63