Теория высших категорий - Higher category theory

В математика, теория высших категорий является частью теория категорий в более высокого порядка, что означает замену некоторых равенств явными стрелки чтобы иметь возможность подробно изучить структуру, стоящую за этими равенствами. Теория высших категорий часто применяется в алгебраическая топология (особенно в теория гомотопии ), где изучаются алгебраические инварианты из пробелы, например, их фундаментальный слабый ∞-группоид.

Строгие высшие категории

Обычный категория имеет объекты и морфизмы. А 2 категории обобщает это, также включая 2-морфизмы между 1-морфизмами. Продолжая это до п-морфизмы между (п−1) -морфизмов дает п-категория.

Так же, как категория, известная как Кот, которая является категорией малые категории и функторы на самом деле 2-категория с естественные преобразования как ее 2-морфизмы, категория п-Кот из (малых) п-categories на самом деле является (п+1) -категория.

An п-категория определяется индукцией по п к:

Таким образом, 1-категория - это просто категория (локально небольшая).

В моноидальный структура Набор представляет собой декартово произведение как тензор и одноэлемент как единицу. Фактически любая категория с конечным товары можно придать моноидальную структуру. Рекурсивное построение п-Кот работает нормально, потому что если категория C имеет конечные продукты, категория C-обогащенные категории также имеют конечные продукты.

Хотя эта концепция слишком строгая для некоторых целей, например, теория гомотопии, где возникают «слабые» структуры в виде высших категорий,[1] строгие кубические высшие гомотопические группоиды также возникли как новые основы алгебраической топологии на границе между гомологиями и теорией гомотопий; посмотреть статью Неабелева алгебраическая топология, ссылка на которую приведена в книге ниже.

Слабые высшие категории

Основная статья: Слабая n-категория

В слабом п-категории условия ассоциативности и тождества больше не являются строгими (то есть они не задаются равенствами), а удовлетворяются с точностью до изоморфизма следующего уровня. Пример в топология это состав пути, где условия идентичности и ассоциации выполняются только до повторная параметризация, а значит, до гомотопия, который является 2-изоморфизмом для этой 2-категории. Эти п-изоморфизмы должны хорошо вести себя между домашние наборы и выразить это - трудность определения слабого п-категории. Слабые 2-категории, также называемые бикатегории, были первыми, которые были определены явно. Особенностью их является то, что бикатегория с одним объектом - это в точности моноидальная категория, так что бикатегории можно назвать «моноидальными категориями со многими объектами». Слабые 3 категории, также называемые трикатегории, а обобщения более высокого уровня все труднее определять явно. Было дано несколько определений, и сообщение о том, когда они эквивалентны и в каком смысле, стало новым объектом исследования в теории категорий.

Квазикатегории

Основная статья: квазикатегория

Слабые комплексы Кан, или квазикатегории, являются симплициальные множества удовлетворяющий слабой версии условия Кана. Андре Жоял показали, что они являются хорошей основой для теории высших категорий. Недавно, в 2009 г., теория была дополнительно систематизирована Джейкоб Лурье кто просто называет их категориями бесконечности, хотя последний термин также является общим термином для всех моделей (бесконечности,k) категории для любых k.

Симплициально обогащенные категории

Основная статья: Симплициально обогащенная категория

Симплициально обогащенные категории или симплициальные категории - это категории, обогащенные над симплициальными множествами. Однако если мы посмотрим на них как на модель (бесконечность, 1) -категории, то многие категориальные понятия (например, пределы) не согласуются с соответствующими понятиями в смысле обогащенных категорий. То же самое и для других расширенных моделей, таких как топологически обогащенные категории.

Топологически обогащенные категории

Основная статья: топологическая категория

Топологически обогащенные категории (иногда просто топологические категории) - это категории, обогащенные некоторой удобной категорией топологических пространств, например категория компактно порожденных хаусдорфовых топологических пространств.

Категории Segal

Основная статья: Категория Segal

Это модели более высоких категорий, введенные Хиршовицем и Симпсоном в 1998 г.[2] частично вдохновлен результатами Грэма Сигала в 1974 году.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Баез и Долан 1998, п. 6
  2. ^ Хиршовиц, Андре; Симпсон, Карлос (2001). «Descente pour les n-champs (Спуск для n стеков)». arXiv:математика / 9807049.

Рекомендации

  • Лурье, Джейкоб (2009). Теория высших топосов. Издательство Принстонского университета. arXiv:math.CT / 0608040. ISBN  978-0-691-14048-3. В качестве PDF.
  • nLab, коллективный и открытый проект вики-блокнота по теории высших категорий и приложениям в физике, математике и философии
  • Катлаб Джояла, вики, посвященная отточенным изложениям категориальной и высшей категориальной математики с доказательствами
  • Браун, Рональд; Хиггинс, Филип Дж .; Сивера, Рафаэль (2011). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды. Трактаты по математике. 15. Европейское математическое общество. ISBN  978-3-03719-083-8.

внешняя ссылка