Симплициальный набор - Simplicial set

В математика, а симплициальный набор это объект, состоящий из «симплексов» определенным образом. Симплициальные множества являются многомерными обобщениями ориентированные графы, частично упорядоченные наборы и категории. Формально симплициальное множество можно определить как контравариантный функтор от категория симплекс к категория наборов. Симплициальные множества были введены в 1950 г. Сэмюэл Эйленберг и Дж. А. Зильбер.^[1]

Можно рассматривать симплициальное множество как чисто комбинаторную конструкцию, предназначенную для улавливания понятия "хорошо воспитанный " топологическое пространство Для целей теория гомотопии. В частности, категория симплициальных множеств обладает естественным структура модели, а соответствующие гомотопическая категория эквивалентна известной гомотопической категории топологических пространств.

Симплициальные множества используются для определения квазикатегории, основное понятие теория высших категорий. Построение, аналогичное конструкции симплициальных множеств, может быть выполнено в любой категории, а не только в категории множеств, что дает понятие симплициальные объекты.

Мотивация

Симплициальное множество - это категориальная (то есть чисто алгебраическая) модель, охватывающая те топологические пространства, которые могут быть построены (или точно представлены с точностью до гомотопии) из симплексы и их отношения инцидентности. Это похоже на подход Комплексы CW к моделированию топологических пространств с той важной разницей, что симплициальные множества являются чисто алгебраическими и не несут никакой фактической топологии.

Чтобы вернуться к актуальным топологическим пространствам, есть геометрическая реализация функтор что превращает симплициальные множества в компактно порожденные хаусдорфовы пространства. Наиболее классические результаты по комплексам CW в теория гомотопии обобщаются аналогичными результатами для симплициальных множеств. В то время как алгебраические топологи по-прежнему предпочитают комплексы CW, растет контингент исследователей, заинтересованных в использовании симплициальных множеств для приложений в алгебраическая геометрия где комплексов CW в природе не существует.

Интуиция

Симплициальные множества можно рассматривать как многомерное обобщение направленные мультиграфы. Симплициальный набор содержит вершины (известные в данном контексте как «0-симплексы») и стрелки («1-симплексы») между некоторыми из этих вершин. Две вершины могут быть соединены несколькими стрелками, также разрешены направленные петли, которые соединяют вершину с самой собой. В отличие от ориентированных мультиграфов, симплициальные множества могут также содержать высшие симплексы. Например, 2-симплекс можно рассматривать как двумерную «треугольную» форму, ограниченную списком из трех вершин. А, B, C и три стрелы B → C, А → C и А → B. В целом п-simplex - это объект, составленный из списка п + 1 вершина (которые являются 0-симплексами) и п + 1 лица (которые (п - 1) -симплексы). Вершины я-я грань - это вершины п-симплекс минус я-я вершина. Вершины симплекса не обязательно должны быть различными, и симплекс не определяется своими вершинами и гранями: два разных симплекса могут иметь один и тот же список граней (и, следовательно, один и тот же список вершин), точно так же, как две разные стрелки в мультиграфе могут соедините те же две вершины.

Симплициальные множества не следует путать с абстрактные симплициальные комплексы, которые обобщают простые неориентированные графы а не направленные мультиграфы.

Формально симплициальное множество Икс это набор наборов Икс_п, п = 0, 1, 2, ..., вместе с некоторыми отображениями между этими множествами: карты лица d_п,я : Икс_п → Икс_п−1 (п = 1, 2, 3, ... и 0 ≤я ≤ п) и карты вырождения s_п,я : Икс_п→Икс_п+1 (п = 0, 1, 2, ... и 0 ≤я ≤ п). Мы думаем об элементах Икс_п как п-просты Икс. Карта d_п,я присваивает каждому такому п-просто его я-я грань, грань "противоположная" (т.е. не содержащая) я-я вершина. Карта s_п,я присваивает каждому п-просто вырожденный (п+1) -симплекс, который возникает из заданного путем дублирования я-я вершина. Это описание неявно требует определенных соотношений согласованности между отображениями d_п,я и s_п,я. Вместо того, чтобы требовать этих симплициальные тождества явно как часть определения, короткое и элегантное современное определение использует язык теория категорий.

Формальное определение

Обозначим через Δ категория симплекс. Объектами ∆ являются непустые линейно упорядоченные множества вида

[п] = {0, 1, ..., п}

с п≥0. Морфизмы в Δ являются (нестрого) сохраняющими порядок функциями между этими множествами.

А симплициальный набор Икс это контравариантный функтор

Икс : Δ → Набор

где Набор это категория наборов. (Альтернативно и эквивалентно можно определить симплициальные множества как ковариантные функторы от противоположная категория Δ^op к Набор.) Таким образом, симплициальные множества суть не что иное, как предварительные пучки на Δ. Учитывая симплициальное множество ИКС, мы часто пишем Икс_п вместо того Икс([п]).

Симплициальные множества образуют категорию, обычно обозначаемую sSet, объекты которого являются симплициальными множествами, а морфизмы естественные преобразования между ними.

Если мы рассмотрим ковариантный функторы Икс : Δ → Набор вместо контравариантных мы приходим к определению косимплициальный набор. Соответствующая категория косимплициальных множеств обозначается через cSet.

Карты лиц и вырождения

Симплексная категория Δ порождается двумя особо важными семействами морфизмов (отображений), образы которых при заданном функторе симплициального множества называются карты лица и карты вырождения этого симплициального множества.

В карты лица симплициального множества Икс являются изображениями в этом симплициальном множестве морфизмов ${ displaystyle delta ^ {n, 0}, dotsc, delta ^ {n, n} двоеточие [n-1] to [n]}$ , где ${ Displaystyle delta ^ {п, я}}$ единственная (сохраняющая порядок) инъекция ${ Displaystyle [п-1] к [п]}$ что "промахивается" ${ displaystyle i}$ Обозначим эти карты граней через ${ displaystyle d_ {n, 0}, dotsc, d_ {n, n}}$ соответственно, так что ${ displaystyle d_ {n, i}}$ это карта ${ displaystyle X_ {n} to X_ {n-1}}$ . Если первый индекс ясен, мы пишем ${ displaystyle d_ {i}}$ вместо того ${ displaystyle d_ {n, i}}$ .

В карты вырождения симплициального множества Икс являются изображениями в этом симплициальном множестве морфизмов ${ displaystyle sigma ^ {n, 0}, dotsc, sigma ^ {n, n} двоеточие [n + 1] to [n]}$ , где ${ Displaystyle sigma ^ {п, я}}$ единственная (сохраняющая порядок) сюръекция ${ Displaystyle [п + 1] к [п]}$ что "бьет" ${ displaystyle i}$ дважды. Обозначим эти отображения вырождения через ${ Displaystyle s_ {n, 0}, dotsc, s_ {n, n}}$ соответственно, так что ${ displaystyle s_ {n, i}}$ это карта ${ Displaystyle X_ {n} к X_ {n + 1}}$ . Если первый индекс ясен, мы пишем ${ displaystyle s_ {i}}$ вместо того ${ displaystyle s_ {n, i}}$ .

Определенные карты удовлетворяют следующим условиям симплициальные тождества:

${ displaystyle d_ {i} d_ {j} = d_ {j-1} d_ {i}}$ если я < j. (Это сокращение от ${ Displaystyle d_ {n-1, i} d_ {n, j} = d_ {n-1, j-1} d_ {n, i}}$ если 0 ≤ я < j ≤ п.)
${ displaystyle d_ {i} s_ {j} = s_ {j-1} d_ {i}}$ если я < j.
${ displaystyle d_ {i} s_ {j} = { text {id}}}$ если я = j или я = j + 1.
${ displaystyle d_ {i} s_ {j} = s_ {j} d_ {i-1}}$ если я > j + 1.
${ displaystyle s_ {i} s_ {j} = s_ {j + 1} s_ {i}}$ если я ≤ j.

Наоборот, если дана последовательность множеств Икс_п вместе с картами ${ displaystyle d_ {n, i}: X_ {n} to X_ {n-1}}$ и ${ displaystyle s_ {n, i}: X_ {n} to X_ {n + 1}}$ удовлетворяющие симплициальным тождествам, существует единственное симплициальное множество Икс который имеет эти лица и карты вырождения. Таким образом, тождества предоставляют альтернативный способ определения симплициальных множеств.

Примеры

Учитывая частично заказанный набор (S, ≤), можно определить симплициальное множество NS, то нерв из S, а именно: для каждого объекта [п] матрицы Δ положим NS([п]) = hom_по-сет( [п] , S) сохраняющие порядок отображения из [п] к S. Каждый морфизм φ: [п]→[м] в Δ является отображением, сохраняющим порядок, и посредством композиции индуцирует отображение NS(φ): NS([м]) → NS([п]). Несложно проверить, что NS - контравариантный функтор из Δ в Набор: симплициальное множество.

Конкретно п-просты нерва NS, т.е. элементы NS_п=NS([п]), можно представить себе упорядоченную длину - (п+1) последовательности элементов из S: (а₀ ≤ а₁ ≤ ... ≤ а_п). Карта лица d_я бросает я-й элемент из такого списка, и карты вырождения s_я дублирует я-й элемент.

Подобное построение можно выполнить для каждой категории. C, чтобы получить нерв NC из C. Вот, NC([п]) - множество всех функторов из [п] к C, где мы рассматриваем [п] как категория с объектами 0,1, ...,п и единый морфизм из я к j всякий раз, когда я ≤ j.

Конкретно п-просты нерва NC можно рассматривать как последовательность п составные морфизмы в C: а₀ → а₁ → ... → а_п. (В частности, 0-симплексы являются объектами C а 1-симплексы - это морфизмы C.) Карта лица d₀ отбрасывает первый морфизм из такого списка, карта лица d_п отбрасывает последний, и карта лица d_я для 0 <я < п капли а_я и составляет яth и (я +1) -й морфизм. Карты вырождения s_я удлинить последовательность, вставив морфизм идентичности в позициюя.

Мы можем восстановить позет S от нерва NS и категория C от нерва NC; в этом смысле симплициальные множества обобщают наборы и категории.

Другой важный класс примеров симплициальных множеств - это особое множество SY топологического пространства Y. Здесь SY_п состоит из всех непрерывных отображений из стандартных топологических п-просто для Y. Особое множество более подробно объясняется ниже.

Стандарт п-симплекс и категория симплексов

В стандарт п-суплекс, обозначим Δ^п, является симплициальным множеством, определяемым как функтор hom_Δ(-, [п]) куда [п] обозначает упорядоченный набор {0, 1, ...,п} первого (п + 1) неотрицательные целые числа. (Во многих текстах оно пишется как hom ([п], -) где гоммножество понимается как находящееся в противоположной категории ∆^op.^[2])

Посредством Лемма Йонеды, то п-симплексы симплициального множества Икс стоят в 1–1 соответствии с естественными преобразованиями из ∆^п к ИКС, т.е. ${ displaystyle X_ {n} = X ([n]) cong operatorname {Nat} ( operatorname {hom} _ { Delta} (-, [n]), X) = operatorname {hom} _ { textbf {sSet}} ( Delta ^ {n}, X)}$ .

Более того, Икс рождает категория симплексов, обозначаемый ${ displaystyle Delta downarrow {X}}$ , объектами которого являются карты (т.е. естественные преобразования) Δ^п → Икс и морфизмами которых являются естественные преобразования ∆^п → Δ^м над Икс вытекающие из карт [п] → [м] в Δ. Это, ${ displaystyle Delta downarrow {X}}$ это категория срезов Δ над Икс. В следующий изоморфизм показывает, что симплициальное множество Икс это копредел его симплексов:^[3]

{ Displaystyle X cong varinjlim _ { Delta ^ {n} to X} Delta ^ {n}}

где копредел берется по категории симплексов Икс.

Геометрическая реализация

Есть функтор | • |: sSet → CGHaus называется геометрическая реализация взятие симплициального множества Икс соответствующей реализации в категории компактно порожденный Хаусдорфовы топологические пространства. Интуитивно осознание Икс топологическое пространство (на самом деле CW комплекс ) получается, если каждые н-симплекс Икс заменяется топологическим н-симплекс (определенный н-размерное подмножество (п + 1) -мерное евклидово пространство, определенное ниже), и эти топологические симплексы склеиваются так же, как симплексы Икс поддерживать друг друга. При этом ориентация симплексов Икс потерян.

Чтобы определить функтор реализации, сначала определим его на стандартных n-симплексах Δ^п следующим образом: геометрическая реализация | Δ^п| стандартный топологический п-симплекс в общем положении, данное

{ displaystyle | Delta ^ {n} | = {(x_ {0}, dots, x_ {n}) in mathbb {R} ^ {n + 1}: 0 leq x_ {i} leq 1, sum x_ {i} = 1 }.}

Тогда определение естественным образом распространяется на любое симплициальное множество Икс установив

| X | = lim_{Δ^п → Икс} | Δ^п|

где копредел берется по n-симплексной категории Икс. Геометрическая реализация функториальна на sSet.

Важно отметить, что мы используем категорию CGHaus компактно порожденных хаусдорфовых пространств, а не категории верхний топологических пространств, как целевая категория геометрической реализации: вроде sSet и в отличие от верхний, категория CGHaus является декартово закрыто; то категориальный продукт определяется по-разному в категориях верхний и CGHaus, и один в CGHaus соответствует одному в sSet через геометрическую реализацию.

Особый набор для пространства

В особый набор топологического пространства Y симплициальное множество SY определяется

(SY)([п]) = hom_Тop(| Δ^п|, Y) для каждого объекта [п] ∈ Δ.

Всякое сохраняющее порядок отображение φ: [п]→[м] индуцирует непрерывное отображение | Δ^п| → | Δ^м| естественным образом, что по составу дает SY(φ) : SY([м]) → SY([п]). Это определение аналогично стандартной идее в особые гомологии «зондирования» целевого топологического пространства стандартными топологическими п-симплексы. Кроме того, сингулярный функтор S является правый смежный к описанному выше функтору геометрической реализации, то есть:

хом_{верхний}(|Икс|, Y) ≅ hom_sSet(Икс, SY)

для любого симплициального множества Икс и любое топологическое пространство Y. Интуитивно это присоединение можно понимать так: непрерывное отображение геометрической реализации Икс в космос Y однозначно определяется, если мы сопоставим каждому симплексу Икс непрерывное отображение соответствующего стандартного топологического симплекса на Y, таким образом, что эти карты совместимы с тем, как симплексы в Икс поддерживать друг друга.

Гомотопическая теория симплициальных множеств

Чтобы определить структура модели в категории симплициальных множеств необходимо определить расслоения, корасслоения и слабые эквивалентности. Можно определить расслоения быть Расслоения Кана. Карта симплициальных множеств определяется как слабая эквивалентность если его геометрическая реализация - слабая эквивалентность пространств. Карта симплициальных множеств определяется как кофибрация если это мономорфизм симплициальных множеств. Это трудная теорема Дэниел Квиллен что категория симплициальных множеств с этими классами морфизмов удовлетворяет аксиомам для правильный закрыто категория симплициальной модели.

Ключевой поворотный момент теории состоит в том, что геометрическая реализация расслоения Кана является Расслоение Серра пространств. Имея структуру модели, можно разработать гомотопическую теорию симплициальных множеств, используя стандартные гомотопическая алгебра методы. Кроме того, геометрическая реализация и сингулярные функторы дают Квиллен эквивалентность из закрытые категории моделей индуцирование эквивалентности

|•|: Хо(sSet) ↔ Хо(верхний)

между гомотопическая категория для симплициальных множеств и обычной гомотопической категории CW-комплексов с гомотопическими классами непрерывных отображений между ними. Часть общего определения присоединения Квиллена состоит в том, что правый сопряженный функтор (в данном случае функтор особого множества) переводит расслоения (соответственно тривиальные расслоения) в расслоения (соответственно тривиальные расслоения).

Симплициальные объекты

А симплициальный объект Икс в категории C контравариантный функтор

Икс : Δ → C

или, что то же самое, ковариантный функтор

Икс: Δ^op → C,

где Δ по-прежнему обозначает категория симплекс. Когда C это категория наборов, мы просто говорим о симплициальных множествах, которые были определены выше. Сдача C быть категория групп или категория абелевых групп, получаем категории sGrp симплициального группы и САБ симплициального абелевы группы соответственно.

Симплициальные группы и симплициальные абелевы группы также несут замкнутые модельные структуры, индуцированные структурой лежащих в основе симплициальных множеств.

Гомотопические группы симплициальных абелевых групп могут быть вычислены с помощью Переписка Дольда – Кана что дает эквивалентность категорий между симплициальными абелевыми группами и ограниченными цепные комплексы и задается функторами

N: САБ → Ch₊

и

Γ: Ch₊ → САБ.

История и использование симплициальных множеств

Симплициальные множества изначально использовались для точного и удобного описания классификация пространств из группы. Эта идея была значительно расширена Гротендик идея рассмотрения классификационных пространств категорий, и в частности Quillen работа алгебраическая K-теория. В этой работе, которая принесла ему Медаль Филдса Квиллен разработал удивительно эффективные методы манипулирования бесконечными симплициальными множествами. Позже эти методы использовались и в других областях, находящихся на границе алгебраической геометрии и топологии. Например, Гомологии Андре – Квиллена кольца есть «неабелевы гомологии», определяемые и исследуемые таким образом.

Как алгебраическая K-теория, так и гомологии Андре – Квиллена определяются с использованием алгебраических данных для записи симплициального множества, а затем взятия гомотопических групп этого симплициального множества.

Симплициальные методы часто полезны, когда кто-то хочет доказать, что пространство является пространство петли. Основная идея заключается в том, что если ${ displaystyle G}$ группа с классифицирующим пространством ${ displaystyle BG}$ , тогда ${ displaystyle G}$ гомотопически эквивалентно пространству петель ${ displaystyle Omega BG}$ . Если ${ displaystyle BG}$ сам по себе является группой, мы можем повторить процедуру и ${ displaystyle G}$ гомотопически эквивалентен пространству двойной петли ${ displaystyle Omega ^ {2} B (BG)}$ . В случае ${ displaystyle G}$ абелева группа, мы можем повторять это бесконечно много раз и получить, что ${ displaystyle G}$ является бесконечным пространством петель.

Даже если ${ displaystyle X}$ не является абелевой группой, может случиться так, что она имеет композицию, которая достаточно коммутативна, так что можно использовать вышеприведенную идею, чтобы доказать, что ${ displaystyle X}$ - бесконечное пространство петель. Таким образом, можно доказать, что алгебраическая ${ displaystyle K}$ -теория кольца, рассматриваемого как топологическое пространство, представляет собой бесконечное пространство петель.

В последние годы симплициальные множества используются в теория высших категорий и производная алгебраическая геометрия. Квазикатегории могут рассматриваться как категории, в которых состав морфизмов определяется только с точностью до гомотопии, а также сохраняется информация о составе высших гомотопий. Квазикатегории определяются как симплициальные множества, удовлетворяющие еще одному условию - слабому условию Кана.

Смотрите также

Набор дельта
Дендроидный набор, обобщение симплициального множества
Симплициальная предпучка
Квазикатегория
Кан комплекс
Переписка Дольда – Кана
Симплициальная гомотопия
Симплициальная сфера
Абстрактный симплициальный комплекс

Примечания

^ Эйленберг, Сэмюэл; Зильбер, Дж. А. (1950). «Полусимплициальные комплексы и особые гомологии». Анналы математики. 51 (3): 499–513. Дои:10.2307/1969364. JSTOR 1969364.
^ Гельфанд и Манин 2013
^ Goerss & Jardine 1999, п. 7

использованная литература

Goerss, Paul G .; Джардин, Джон Ф. (1999). Симплициальная теория гомотопий. Успехи в математике. 174. Birkhäuser. Дои:10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-7643-6064-1. Г-Н 1711612.
Гельфанд, Сергей I .; Манин, Юрий Иванович (2013). Методы гомологической алгебры. Springer. ISBN 978-3-662-12492-5.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Аллегретти, Дилан Г.Л. «Симплициальные множества и теорема ван Кампена» (PDF). CiteSeerX 10.1.1.539.7411. (Элементарное введение в симплициальные множества).
Квиллен, Дэниел (1973). «Высшая алгебраическая K-теория: I». В Бас, Хайман (ред.). Высшие K-теории. Конспект лекций по математике. 341. Springer-Verlag. С. 85–147. ISBN 3-540-06434-6.
Сигал, Грэм Б. (1974). «Категории и теории когомологий». Топология. 13 (3): 293–312. Дои:10.1016/0040-9383(74)90022-6.

дальнейшее чтение

[1] Эйленберг, Сэмюэл; Зильбер, Дж. А. (1950). «Полусимплициальные комплексы и особые гомологии». Анналы математики. 51 (3): 499–513. Дои:10.2307/1969364. JSTOR 1969364.

[2] Гельфанд и Манин 2013

[3] Goerss & Jardine 1999, п. 7

[1]

[2]

[3]