Теорема плотности (теория категорий) - Википедия - Density theorem (category theory)
В теория категорий, раздел математики, теорема плотности заявляет, что каждый предпучка наборов это копредел из представимые предварительные пучки каноническим способом.[1]
Например, по определению симплициальный набор является предпучком на симплексной категории Δ, а представимое симплициальное множество в точности имеет вид (называется стандартом п-симплекс), как гласит теорема: для каждого симплициального множества Икс,
где colim пробегает индексную категорию, определяемую Икс.
Заявление
Позволять F быть первым в категории C; т.е. объект категория функторов . Для категории индекса, по которой будет работать копредел, пусть я быть категория элементов из F: это категория, в которой
- объект - это пара состоящий из объекта U в C и элемент ,
- морфизм состоит из морфизма в C такой, что
Он поставляется с забывчивым функтором .
потом F является копределом диаграмма (т.е. функтор)
где вторая стрелка - это Йонеда вложение: .
Доказательство
Позволять ж обозначают приведенную выше диаграмму. Чтобы показать копредел ж является F, нам нужно показать: для каждого предпучка грамм на C, существует естественная биекция:
куда это постоянный функтор со значением грамм а Hom справа означает множество естественных преобразований. Это потому, что универсальное свойство копредела сводится к утверждению является левым сопряженным к диагональному функтору
Для этого пусть быть естественным преобразованием. Это семейство морфизмов, индексируемых объектами в я:
который удовлетворяет свойству: для каждого морфизма в я, (поскольку )
Лемма Йонеды утверждает, что существует естественная биекция . В соответствии с этим предубеждением соответствует уникальному элементу . У нас есть:
поскольку, согласно лемме Йонеды, соответствует
Теперь для каждого объекта U в C, позволять быть функцией, заданной . Это определяет естественное преобразование ; действительно, для каждого морфизма в я, у нас есть:
поскольку . Ясно, что конструкция обратимо. Следовательно, необходимая естественная биекция.
Примечания
Рекомендации
- Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике. 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.CS1 maint: ref = harv (связь)