Мономорфизм - Monomorphism

В контексте абстрактная алгебра или универсальная алгебра, а мономорфизм является инъективный гомоморфизм. Мономорфизм из $Икс$ к $Y$ часто обозначают обозначениями ${ Displaystyle X hookrightarrow Y}$ .

В более общем контексте теория категорий, а мономорфизм (также называемый монический морфизм или мононуклеоз) это лево-отменяющий морфизм. То есть стрелка $ж : Икс \to Y$ так что для всех объектов $Z$ и все морфизмы $г 1, г 2 : Z \to Икс$ ,

{ displaystyle f circ g_ {1} = f circ g_ {2} подразумевает g_ {1} = g_ {2}.}

Мономорфизмы являются категоричным обобщением инъективные функции (также называемые «индивидуальные функции»); в некоторых категориях понятия совпадают, но мономорфизмы более общие, как в примеры ниже.

В категоричный дуальный мономорфизма является эпиморфизм, то есть мономорфизм в категории C является эпиморфизмом в двойная категория C^op. Каждые раздел является мономорфизмом, и каждый втягивание это эпиморфизм.

Отношение к обратимости

Обратимые слева морфизмы обязательно монические: если л является левым обратным для ж (смысл л это морфизм и ${ displaystyle l circ f = operatorname {id} _ {X}}$ ), тогда ж моничен, как

{ displaystyle f circ g_ {1} = f circ g_ {2} Rightarrow l circ f circ g_ {1} = l circ f circ g_ {2} Rightarrow g_ {1} = g_ { 2}.}

Обратимый слева морфизм называется сплит моно или раздел.

Однако мономорфизм не обязательно должен быть обратимым слева. Например, в категории Группа из всех группы и групповые гомоморфизмы среди них, если ЧАС является подгруппой г тогда включение ж : ЧАС → г всегда мономорфизм; но ж имеет левый обратный в категории тогда и только тогда, когда ЧАС имеет нормальное дополнение в г.

Морфизм ж : Икс → Y моничен тогда и только тогда, когда индуцированное отображение ж_∗ : Hom (Z, Икс) → Hom (Z, Y), определяется ж_∗(час) = ж ∘ час для всех морфизмов час : Z → Икс, является инъективный для всех объектов Z.

Примеры

Каждый морфизм в конкретная категория чья основная функция инъективно - это мономорфизм; другими словами, если морфизмы на самом деле являются функциями между множествами, то любой морфизм, который является взаимно однозначной функцией, обязательно будет мономорфизмом в категориальном смысле. в категория наборов верно и обратное, так что мономорфизмы - это в точности инъективный морфизмы. Обратное также верно в большинстве естественно встречающихся категорий алгебр из-за существования свободный объект на одном генераторе. В частности, это верно для категорий всех групп, всех кольца, и в любом абелева категория.

Однако в целом неверно, что все мономорфизмы должны быть инъективными в других категориях; то есть есть настройки, в которых морфизмы являются функциями между множествами, но можно иметь функцию, которая не является инъективной, но все же является мономорфизмом в категориальном смысле. Например, в категории Div из делимый (абелевы) группы и групповые гомоморфизмы между ними существуют не инъективные мономорфизмы: рассмотрим, например, фактор-отображение q : Q → Q/Z, где Q - добавляемое рациональное число, Z целые числа (также считаются добавляемой группой), и Q/Z соответствующий факторгруппа. Это не инъективное отображение, так как, например, каждое целое число отображается в 0. Тем не менее, это мономорфизм в этой категории. Это следует из импликации q ∘ час = 0 ⇒ час = 0, что мы сейчас и докажем. Если час : г → Q, где г некоторая делимая группа, и q ∘ час = 0, тогда час(Икс) ∈ Z, ∀ Икс ∈ г. Теперь исправим некоторые Икс ∈ г. Без ограничения общности можно считать, что час(Икс) ≥ 0 (в противном случае выберите -Икс вместо). Затем, позволяя п = час(Икс) + 1, поскольку г делимая группа, существует некоторая у ∈ г такой, что Икс = нью-йорк, так час(Икс) = п час(у). Отсюда и 0 ≤ час(Икс) < час(Икс) + 1 = п, это следует из того

{ Displaystyle 0 Leq { гидроразрыва {ч (х)} {ч (х) +1}} = ч (у) <1}

поскольку час(у) ∈ Z, это следует из того час(у) = 0, и поэтому час(Икс) = 0 = час(−Икс), ∀ Икс ∈ г. Это говорит, что час = 0, по желанию.

Чтобы перейти от этого подтекста к тому, что q является мономорфизмом, предположим, что q ∘ ж = q ∘ г для некоторых морфизмов ж, г : г → Q, где г некоторая делимая группа. потом q ∘ (ж − г) = 0, где (ж − г) : Икс ↦ ж(Икс) − г(Икс). (Поскольку (ж − г)(0) = 0, и (ж − г)(Икс + у) = (ж − г)(Икс) + (ж − г)(у), это следует из того (ж − г) ∈ Hom (г, Q)). Из только что доказанного следствия q ∘ (ж − г) = 0 ⇒ ж − г = 0 ⇔ ∀ Икс ∈ г, ж(Икс) = г(Икс) ⇔ ж = г. Следовательно q является мономорфизмом, как утверждается.

Свойства

В топос, каждое моно является эквалайзером, и любая карта, которая одновременно является монической и эпос является изоморфизм.
Каждый изоморфизм моничен.

Связанные понятия

Есть также полезные концепции регулярный мономорфизм, экстремальный мономорфизм, непосредственный мономорфизм, сильный мономорфизм, и расщепляемый мономорфизм.

Мономорфизм называется регулярный если это эквалайзер некоторой пары параллельных морфизмов.
Мономорфизм ${ displaystyle mu}$ как говорят экстремальный^[1] если в каждом представлении ${ displaystyle mu = varphi circ varepsilon}$ , где ${ displaystyle varepsilon}$ является эпиморфизмом, морфизм ${ displaystyle varepsilon}$ автоматически изоморфизм.
Мономорфизм ${ displaystyle mu}$ как говорят немедленный если в каждом представлении ${ displaystyle mu = mu ' circ varepsilon}$ , где ${ displaystyle mu '}$ является мономорфизмом и ${ displaystyle varepsilon}$ является эпиморфизмом, морфизм ${ displaystyle varepsilon}$ автоматически изоморфизм.
Мономорфизм ${ displaystyle mu: C to D}$ как говорят сильный^[1]^[2] если для любого эпиморфизма ${ displaystyle varepsilon: от A до B}$ и любые морфизмы ${ displaystyle alpha: от A до C}$ и ${ displaystyle beta: B to D}$ такой, что ${ displaystyle beta circ varepsilon = mu circ alpha}$ , существует морфизм ${ displaystyle delta: B to C}$ такой, что ${ displaystyle delta circ varepsilon = alpha}$ и ${ displaystyle mu circ delta = beta}$ .
Мономорфизм ${ displaystyle mu}$ как говорят Трещина если существует морфизм ${ displaystyle varepsilon}$ такой, что ${ Displaystyle varepsilon circ mu = 1}$ (в таком случае ${ displaystyle varepsilon}$ называется левосторонним обратным для ${ displaystyle mu}$ ).

Терминология

Сопутствующие термины мономорфизм и эпиморфизм были первоначально представлены Николя Бурбаки; Бурбаки использует мономорфизм как сокращение для инъективной функции. Ранние теоретики категорий полагали, что правильным обобщением инъективности в контексте категорий было свойство отмены, данное выше. Хотя это не совсем верно для монических отображений, это очень близко, так что это вызвало небольшие проблемы, в отличие от случая эпиморфизмов. Saunders Mac Lane пытался провести различие между тем, что он называл мономорфизмы, которые были отображениями в конкретной категории, чьи базовые карты множеств инъективны, и монические карты, которые являются мономорфизмами в категоричном смысле слова. Это различие никогда не вошло в обиход.

Другое название мономорфизма - расширение, хотя это имеет и другое применение.

Смотрите также

использованная литература

Бергман, Джордж (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям. Springer. ISBN 978-3-319-11478-1.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Борсё, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре. Том 1: Основная теория категорий. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521061193.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
"Мономорфизм", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Ван Остен, Яап (1995). Основная теория категорий (PDF). БРИКС, факультет компьютерных наук, Орхусский университет. ISSN 1395-2048.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Цаленко, М.С .; Шульгейфер, Э. (1974). Основы теории категорий. Наука. ISBN 5-02-014427-4.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)

внешние ссылки

мономорфизм в nLab
Сильный мономорфизм в nLab

[FOOTNOTEBorceux1994-1] а ^б Borceux 1994.

[FOOTNOTETsalenkoShulgeifer1974-2] Цаленко и Шульгейфер 1974.

[1]

[2]