Узловое разложение - Nodal decomposition

Узловая декомпозиция.

В теория категорий, абстрактная математическая дисциплина, узловое разложение^[1] морфизма ${ displaystyle varphi: X to Y}$ представляет собой представление ${ displaystyle varphi}$ как продукт ${ displaystyle varphi = sigma circ beta circ pi}$ , куда ${ displaystyle pi}$ это сильный эпиморфизм^[2]^[3]^[4], ${ displaystyle beta}$ а биморфизм, и ${ displaystyle sigma}$ а сильный мономорфизм.^[5]^[3]^[4]

Уникальность и обозначения

Единственность узлового разложения.

Если существует, узловое разложение единственно с точностью до изоморфизма в следующем смысле: для любых двух узловых разложений ${ displaystyle varphi = sigma circ beta circ pi}$ и ${ displaystyle varphi = sigma ' circ beta' circ pi '}$ существуют изоморфизмы ${ displaystyle eta}$ и ${ displaystyle theta}$ такой, что

{ displaystyle pi '= eta circ pi,}

{ Displaystyle бета = тета circ beta ' circ eta,}

{ displaystyle sigma '= sigma circ theta.}

Обозначения.

Это свойство оправдывает некоторые специальные обозначения элементов узловой декомпозиции:

{ displaystyle { begin {align} & pi = operatorname {coim} _ { infty} varphi, && P = operatorname {Coim} _ { infty} varphi, & beta = operatorname { красный} _ { infty} varphi, && & sigma = operatorname {im} _ { infty} varphi, && Q = operatorname {Im} _ { infty} varphi, end {выровнено} }}

- здесь ${ displaystyle operatorname {coim} _ { infty} varphi}$ и ${ displaystyle operatorname {Coim} _ { infty} varphi}$ называются узловое изображение ${ displaystyle varphi}$ , ${ displaystyle operatorname {im} _ { infty} varphi}$ и ${ displaystyle operatorname {Im} _ { infty} varphi}$ в узловое изображение ${ displaystyle varphi}$ , и ${ displaystyle operatorname {красный} _ { infty} varphi}$ в узловая приведенная часть ${ displaystyle varphi}$ .

В этих обозначениях узловое разложение принимает вид

{ displaystyle varphi = operatorname {im} _ { infty} varphi circ operatorname {red} _ { infty} varphi circ operatorname {coim} _ { infty} varphi.}

Связь с базовой декомпозицией в преабелевых категориях

В преабелева категория ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ каждый морфизм ${ displaystyle varphi}$ имеет стандартное разложение

{ displaystyle varphi = operatorname {im} varphi circ operatorname {red} varphi circ operatorname {coim} varphi}

,

называется основное разложение (здесь ${ Displaystyle OperatorName {im} varphi = ker ( Operatorname {coker} varphi)}$ , ${ displaystyle operatorname {coim} varphi = operatorname {coker} ( ker varphi)}$ , и ${ displaystyle operatorname {красный} varphi}$ - соответственно образ, коимаж и редуцированная часть морфизма ${ displaystyle varphi}$ ).

Узловые и базовые разложения.

Если морфизм ${ displaystyle varphi}$ в преабелева категория ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ имеет узловое разложение, то существуют морфизмы ${ displaystyle eta}$ и ${ displaystyle theta}$ которые (не обязательно изоморфизмы) связывают узловое разложение с основным разложением следующими тождествами:

{ displaystyle operatorname {coim} _ { infty} varphi = eta circ operatorname {coim} varphi,}

{ displaystyle operatorname {красный} varphi = theta circ operatorname {red} _ { infty} varphi circ eta,}

{ displaystyle operatorname {im} _ { infty} varphi = operatorname {im} varphi circ theta.}

Категории с узловой декомпозицией

Категория ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ называется категория с узловой декомпозицией^[1] если каждый морфизм ${ displaystyle varphi}$ имеет узловое разложение в ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ . Это свойство играет важную роль при построении конверты и уточнения в ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ .

В абелева категория ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ основное разложение

{ displaystyle varphi = operatorname {im} varphi circ operatorname {red} varphi circ operatorname {coim} varphi}

всегда узловой. Как следствие, все абелевы категории имеют узловое разложение.

Если преабелева категория ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ линейно полный^[6], обладающая сильными мономорфизмами^[7] и обладают сильными эпиморфизмами^[8], тогда ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ имеет узловое разложение.^[9]

В более общем смысле, предположим категорию ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ линейно полный^[6], обладающая сильными мономорфизмами^[7], обладающие сильными эпиморфизмами^[8], причем сильные эпиморфизмы различают мономорфизмы^[10] в ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ , и, двойственно, сильные мономорфизмы различают эпиморфизмы^[11] в ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ , тогда ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ имеет узловое разложение.^[12]

Категория Ste из стереотипные пространства (будучи неабелевым) имеет узловое разложение^[13], а также (не-добавка ) категория SteAlg из стереотипные алгебры .^[14]

Примечания

^ ^а ^б Акбаров 2016, п. 28.
^ An эпиморфизм ${ displaystyle varepsilon: от A до B}$ как говорят сильный, если для любого мономорфизм ${ displaystyle mu: C to D}$ и для любых морфизмов ${ displaystyle alpha: от A до C}$ и ${ displaystyle beta: B to D}$ такой, что ${ displaystyle beta circ varepsilon = mu circ alpha}$ существует морфизм ${ displaystyle delta: B to C}$ , так что ${ displaystyle delta circ varepsilon = alpha}$ и ${ displaystyle mu circ delta = beta}$ .
^ ^а ^б Borceux 1994.
^ ^а ^б Цаленко 1974.
^ А мономорфизм ${ displaystyle mu: C to D}$ как говорят сильный, если для любого эпиморфизм ${ displaystyle varepsilon: от A до B}$ и для любых морфизмов ${ displaystyle alpha: от A до C}$ и ${ displaystyle beta: B to D}$ такой, что ${ displaystyle beta circ varepsilon = mu circ alpha}$ существует морфизм ${ displaystyle delta: B to C}$ , так что ${ displaystyle delta circ varepsilon = alpha}$ и ${ displaystyle mu circ delta = beta}$
^ ^а ^б Категория ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ как говорят линейно полный, если любой функтор из линейно упорядоченного множества в ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ имеет непосредственный и обратные пределы.
^ ^а ^б Категория ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ как говорят обладает сильными мономорфизмами, если для каждого объекта ${ displaystyle X}$ категория ${ displaystyle operatorname {SMono} (X)}$ из всех сильные мономорфизмы в ${ displaystyle X}$ скелетно мал (то есть имеет скелет, который является набором).
^ ^а ^б Категория ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ как говорят обладают сильными эпиморфизмами, если для каждого объекта ${ displaystyle X}$ категория ${ displaystyle operatorname {SEpi} (X)}$ из всех сильные эпиморфизмы из ${ displaystyle X}$ скелетно мал (то есть имеет скелет, который является набором).
^ Акбаров 2016, п. 37.
^ Он сказал, что сильные эпиморфизмы различают мономорфизмы в категории ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ , если каждый морфизм ${ displaystyle mu}$ , которая не является мономорфизмом, может быть представлена как композиция ${ displaystyle mu = mu ' circ varepsilon}$ , куда ${ displaystyle varepsilon}$ это сильный эпиморфизм что не является изоморфизмом.
^ Он сказал, что сильные мономорфизмы различают эпиморфизмы в категории ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ , если каждый морфизм ${ displaystyle varepsilon}$ , не являющийся эпиморфизмом, можно представить в виде композиции ${ Displaystyle varepsilon = mu circ varepsilon '}$ , куда ${ displaystyle mu}$ это сильный мономорфизм что не является изоморфизмом.
^ Акбаров 2016, п. 31.
^ Акбаров 2016, п. 142.
^ Акбаров 2016, п. 164.

Узловое разложение - Nodal decomposition

Содержание

Уникальность и обозначения

Связь с базовой декомпозицией в преабелевых категориях

Категории с узловой декомпозицией

Примечания

Рекомендации