Уточнение (теория категорий) - Refinement (category theory)

В теория категорий и смежных областях математики, уточнение - конструкция, обобщающая операции «внутреннего обогащения», такие как борнологификация или насыщение локально выпуклого пространства. Двойственная конструкция называется конверт.

Определение

Предполагать ${ displaystyle K}$ это категория, ${ displaystyle X}$ объект в ${ displaystyle K}$ , и ${ displaystyle Gamma}$ и ${ displaystyle Phi}$ два класса морфизмов в ${ displaystyle K}$ . Определение^[1] усовершенствования ${ displaystyle X}$ в классе ${ displaystyle Gamma}$ с помощью класса ${ displaystyle Phi}$ состоит из двух шагов.

Обогащение

Морфизм ${ displaystyle sigma: от X ' до X}$ в ${ displaystyle K}$ называется обогащение объекта ${ displaystyle X}$ в классе морфизмов ${ displaystyle Gamma}$ с помощью класса морфизмов ${ displaystyle Phi}$ , если ${ displaystyle sigma in Gamma}$ , и для любого морфизма ${ displaystyle varphi: B to X}$ из класса ${ displaystyle Phi}$ существует уникальный морфизм ${ displaystyle varphi ': B to X'}$ в ${ displaystyle K}$ такой, что ${ displaystyle varphi = sigma circ varphi '}$ .

Уточнение

Обогащение ${ displaystyle rho: E to X}$ объекта ${ displaystyle X}$ в классе морфизмов ${ displaystyle Gamma}$ с помощью класса морфизмов ${ displaystyle Phi}$ называется уточнение ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle Gamma}$ посредством ${ displaystyle Phi}$ , если для любого другого обогащения ${ displaystyle sigma: от X ' до X}$ (из ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle Gamma}$ посредством ${ displaystyle Phi}$ ) существует уникальный морфизм ${ displaystyle upsilon: от E до X '}$ в ${ displaystyle K}$ такой, что ${ displaystyle rho = sigma circ upsilon}$ . Предмет ${ displaystyle E}$ также называется уточнение ${ displaystyle X}$ в ${ displaystyle Gamma}$ посредством ${ displaystyle Phi}$ .

Обозначения:

{ displaystyle rho = operatorname {ref} _ { Phi} ^ { Gamma} X, qquad E = operatorname {Ref} _ { Phi} ^ { Gamma} X.}

В частном случае, когда ${ displaystyle Gamma}$ является классом всех морфизмов, чьи диапазоны принадлежат данному классу объектов ${ displaystyle L}$ в ${ displaystyle K}$ удобно заменить ${ displaystyle Gamma}$ с ${ displaystyle L}$ в обозначениях (и в терминах):

{ displaystyle rho = operatorname {ref} _ { Phi} ^ {L} X, qquad E = operatorname {Ref} _ { Phi} ^ {L} X.}

Аналогично, если ${ displaystyle Phi}$ является классом всех морфизмов, чьи диапазоны принадлежат данному классу объектов ${ displaystyle M}$ в ${ displaystyle K}$ удобно заменить ${ displaystyle Phi}$ с ${ displaystyle M}$ в обозначениях (и в терминах):

{ displaystyle rho = operatorname {ref} _ {M} ^ { Gamma} X, qquad E = operatorname {Ref} _ {M} ^ { Gamma} X.}

Например, можно говорить о уточнение ${ displaystyle X}$ в классе объектов ${ displaystyle L}$ с помощью класса объектов ${ displaystyle M}$ :

{ displaystyle rho = operatorname {ref} _ {M} ^ {L} X, qquad E = operatorname {Ref} _ {M} ^ {L} X.}

Примеры

В борнологификация^[2]^[3] ${ displaystyle X _ { operatorname {рожденный}}}$ из локально выпуклое пространство ${ displaystyle X}$ это уточнение ${ displaystyle X}$ в категории ${ displaystyle operatorname {LCS}}$ локально выпуклых пространств с помощью подкатегории ${ displaystyle operatorname {Norm}}$ из нормированные пространства: ${ displaystyle X _ { operatorname {рожденный}} = operatorname {Ref} _ { operatorname {Norm}} ^ { operatorname {LCS}} X}$
В насыщенность^[4]^[3] ${ displaystyle X ^ { blacktriangle}}$ псевдокомплекта^[5] локально выпуклое пространство ${ displaystyle X}$ это уточнение в категории ${ displaystyle operatorname {LCS}}$ локально выпуклых пространств с помощью подкатегории ${ displaystyle operatorname {Smi}}$ из Пространства Смита: ${ displaystyle X ^ { blacktriangle} = operatorname {Ref} _ { operatorname {Smi}} ^ { operatorname {LCS}} X}$

Смотрите также

Конверт

Примечания

^ Акбаров 2016, п. 52.
^ Kriegl & Michor 1997, п. 35.
^ ^а ^б Акбаров 2016, п. 57.
^ Акбаров 2003, п. 194.
^ А топологическое векторное пространство ${ displaystyle X}$ как говорят псевдокомплект если каждый полностью ограниченный Сеть Коши в ${ displaystyle X}$ сходится.

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Уточнение (теория категорий) - Refinement (category theory)

Содержание

Определение

Примеры

Смотрите также

Примечания

Рекомендации