Проблема инвариантного подпространства - Invariant subspace problem

Вектор

{ displaystyle x}

является собственный вектор матрицы

{ displaystyle A}

. Каждый оператор в нетривиальном комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственный вектор, решающий проблему инвариантного подпространства для этих пространств.

В области математика известный как функциональный анализ, то проблема инвариантного подпространства - это частично нерешенная проблема, заключающаяся в ограниченный оператор на комплексе Банахово пространство посылает нетривиальные закрыто подпространство себе. Многие варианты проблемы были решены путем ограничения класса рассматриваемых ограниченных операторов или путем указания конкретного класса банаховых пространств. Проблема все еще открыто для отделимых Гильбертовы пространства (иными словами, все найденные примеры операторов без нетривиальных инвариантных подпространств действуют на банаховых пространствах, которые не являются сепарабельными гильбертовыми пространствами).

История

Проблема, кажется, была сформулирована в середине 1900-х годов после работы Beurling и фон Нейман,^[1] кто нашел (но никогда не публиковал) положительное решение для случая компактные операторы. Затем он был поставлен Пол Халмос в случае операторов ${ displaystyle T}$ такой, что ${ displaystyle T ^ {2}}$ компактный. Этот вопрос был решен положительно для более общего класса полиномиально компактных операторов (операторов ${ displaystyle T}$ такой, что ${ displaystyle p (T)}$ является компактным оператором для подходящим образом выбранного ненулевого многочлена ${ displaystyle p}$ ), от Аллен Р. Бернштейн и Авраам Робинсон в 1966 г. (см. Нестандартный анализ § Проблема инвариантного подпространства краткое изложение доказательства).

Для Банаховы пространства, первый пример оператора без инвариантного подпространства был построен Пер Энфло. Он предложил контрпример к проблеме инвариантного подпространства в 1975 году, опубликовав план в 1976 году. Enflo представил полную статью в 1981 году, а из-за сложности и длины статьи ее публикация была отложена до 1987 года.^[2] Длинная «рукопись Энфло получила всемирное распространение среди математиков»^[1] и некоторые из его идей были описаны в публикациях помимо Enflo (1976).^[3] Работы Энфло вдохновили аналогичную конструкцию оператора без инвариантного подпространства, например, Бозами, который признал идеи Энфло.^[2]

В 1990-х Энфло разработал «конструктивный» подход к проблеме инвариантных подпространств в гильбертовых пространствах.^[4]

Точное заявление

Формально проблема инвариантного подпространства для комплекса Банахово пространство ${ displaystyle H}$ из измерение > 1 - это вопрос, каждый ли ограниченный линейный оператор ${ displaystyle T: H to H}$ имеет нетривиальный закрыто ${ displaystyle T}$ -инвариантное подпространство: закрытый линейное подпространство ${ displaystyle W}$ из ${ displaystyle H}$ , который отличается от ${ displaystyle {0 }}$ и из ${ displaystyle H}$ , так что ${ Displaystyle T (W) подмножество W}$ .

Отрицательный ответ на вопрос тесно связан со свойствами орбиты ${ displaystyle T}$ . Если ${ displaystyle x}$ является элементом банахова пространства ${ displaystyle H}$ , орбита ${ displaystyle x}$ под действием ${ displaystyle T}$ , обозначаемый ${ Displaystyle [х]}$ , - подпространство, порожденное последовательностью ${ Displaystyle {Т ^ {п} (х) ,: , п geq 0 }}$ . Это также называется ${ displaystyle T}$ -циклическое подпространство Сгенерированно с помощью ${ displaystyle x}$ . Из определения следует, что ${ Displaystyle [х]}$ это ${ displaystyle T}$ -инвариантное подпространство. Более того, это минимальный ${ displaystyle T}$ -инвариантное подпространство, содержащее ${ displaystyle x}$ : если ${ displaystyle W}$ другое инвариантное подпространство, содержащее ${ displaystyle x}$ , то обязательно ${ Displaystyle Т ^ {п} (х) в W}$ для всех ${ Displaystyle п geq 0}$ (поскольку ${ displaystyle W}$ является ${ displaystyle T}$ -инвариантно), и поэтому ${ Displaystyle [х] подмножество W}$ . Если ${ displaystyle x}$ не равно нулю, то ${ Displaystyle [х]}$ не равно ${ displaystyle {0 }}$ , поэтому его закрытие - это либо все пространство ${ displaystyle H}$ (в таком случае ${ displaystyle x}$ считается циклический вектор для ${ displaystyle T}$ ) или это нетривиальный ${ displaystyle T}$ -инвариантное подпространство. Следовательно, контрпримером к проблеме инвариантного подпространства было бы банахово пространство ${ displaystyle H}$ и ограниченный оператор ${ displaystyle T: H to H}$ для которого каждый ненулевой вектор ${ displaystyle x in H}$ это циклический вектор для ${ displaystyle T}$ . (Где "циклический вектор" ${ displaystyle x}$ для оператора ${ displaystyle T}$ на банаховом пространстве ${ displaystyle H}$ означает тот, для которого орбита ${ Displaystyle [х]}$ из ${ displaystyle x}$ плотно в ${ displaystyle H}$ .)

Известные частные случаи

В то время как случай проблемы инвариантного подпространства для сепарабельных гильбертовых пространств все еще открыт, несколько других случаев были решены для топологических векторных пространств (над полем комплексных чисел):

Для конечномерных комплексных векторных пространств размерности больше двух каждый оператор допускает собственный вектор, поэтому он имеет одномерное инвариантное подпространство.
Гипотеза верна, если гильбертово пространство ${ displaystyle H}$ не является отделяемый (т.е. если он имеет бесчисленный ортонормированный базис ). Фактически, если ${ displaystyle x}$ - ненулевой вектор в ${ displaystyle H}$ , замыкание по норме линейной орбиты ${ Displaystyle [х]}$ сепарабельно (по построению) и, значит, собственное подпространство, а также инвариантно.
фон Нейман показал^[5] что любой компактный оператор в гильбертовом пространстве размерности не меньше 2 имеет нетривиальное инвариантное подпространство.
В спектральная теорема показывает, что все нормальные операторы допускают инвариантные подпространства.
Ароншайн и Смит (1954) доказал, что каждый компактный оператор на любом банаховом пространстве размерности не меньше 2 имеет инвариантное подпространство.
Бернштейн и Робинсон (1966) доказал использование нестандартный анализ что если оператор ${ displaystyle T}$ в гильбертовом пространстве полиномиально компактно (другими словами ${ displaystyle p (T)}$ компактна для некоторого ненулевого многочлена ${ displaystyle p}$ ) тогда ${ displaystyle T}$ имеет инвариантное подпространство. В их доказательстве используется оригинальная идея вложения бесконечномерного гильбертова пространства в гиперконечный -мерное гильбертово пространство (см. Нестандартный анализ # Проблема инвариантного подпространства ).
Халмос (1966), увидев препринт Робинсона, исключил из него нестандартный анализ и предоставил более короткое доказательство в том же номере того же журнала.
Ломоносов (1973) дал очень короткое доказательство, используя Теорема Шаудера о неподвижной точке что если оператор ${ displaystyle T}$ на банаховом пространстве коммутирует с ненулевым компактным оператором, то ${ displaystyle T}$ имеет нетривиальное инвариантное подпространство. Это включает случай полиномиально компактных операторов, поскольку оператор коммутирует с любым полиномом сам по себе. В более общем плане он показал, что если ${ displaystyle S}$ коммутирует с нескалярным оператором ${ displaystyle T}$ который коммутирует с ненулевым компактным оператором, то ${ displaystyle S}$ имеет инвариантное подпространство.^[6]
Первый пример оператора в банаховом пространстве без нетривиальных инвариантных подпространств был найден Пер Энфло (1976, 1987 ), и его пример был упрощен Beauzamy (1985).
Первый контрпример на «классическом» банаховом пространстве был найден Чарльз Рид (1984, 1985 ), описавшего оператор на классическом банаховом пространстве ${ displaystyle l_ {1}}$ без инвариантных подпространств.
Позже Чарльз Рид (1988 ) построил оператор на ${ displaystyle l_ {1}}$ без даже нетривиального замкнутого инварианта подмножество, то есть для каждого вектора ${ displaystyle x}$ то набор ${ Displaystyle {Т ^ {п} (х) ,: , п geq 0 }}$ плотно, и в этом случае вектор называется гиперциклический (отличие от случая циклических векторов в том, что мы не берем подпространство, порожденное точками ${ Displaystyle {Т ^ {п} (х) ,: , п geq 0 }}$ в таком случае).
Ацмон (1983) привел пример оператора без инвариантных подпространств на ядерный Fréchet space.
Liwa (2008) доказал, что любое бесконечномерное банахово пространство счетного типа над неархимедовым полем допускает ограниченный линейный оператор без нетривиального замкнутого инвариантного подпространства. Это полностью решает неархимедову версию этой проблемы, поставленную ван Рой и Шикхофом в 1992 году.
Аргирос и Хейдон (2009) дал конструкцию бесконечномерного банахова пространства, в котором каждый непрерывный оператор является суммой компактного оператора и скалярного оператора, поэтому, в частности, каждый оператор имеет инвариантное подпространство.

Заметки

^ ^а ^б Ядав (2005), п. 292.
^ ^а ^б Beauzamy (1988); Ядав (2005).
^ См., Например, Раджави и Розенталь (1982).
^ Стр. 401 в Фойаш, Киприан; Юнг, Иль Бонг; Ко, Юнгил; Пирси, Карл (2005). «О квазинильпотентных операторах. III». Журнал теории операторов. 54 (2): 401–414.. Метод Энфло («вперед») «минимальных векторов» также отмечен в обзоре этой исследовательской статьи Жиля Кассье в Математические обзоры: Г-Н2186363
^ Доказательство фон Неймана никогда не было опубликовано, как было передано в частном сообщении авторам Ароншайн и Смит (1954). Версия этого доказательства, независимо обнаруженная Ароншайном, приведена в конце статьи.
^ Увидеть Пирси и Шилдс (1974) для обзора.

использованная литература

Абрамович, Юрий А .; Алипрантис, Хараламбос Д. (2002), Приглашение к теории операторов, Аспирантура по математике, 50, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, Дои:10,1090 / г / м2 / 050, ISBN 978-0-8218-2146-6, Г-Н 1921782
Argyros, Spiros A .; Хейдон, Ричард Г. (2011), "Наследственно неразложимая L_∞-пространство, которое решает скалярную плюс-компактную задачу », Acta Math., 206 (1): 1–54, arXiv:0903.3921, Дои:10.1007 / s11511-011-0058-у, Г-Н 2784662
Ароншайн, Н.; Смит, К. Т. (1954), "Инвариантные подпространства вполне непрерывных операторов", Анналы математики, Вторая серия, 60 (2): 345–350, Дои:10.2307/1969637, JSTOR 1969637, Г-Н 0065807
Ацмон, Аарон (1983), "Оператор без инвариантных подпространств на ядерном пространстве Фреше", Анналы математики, Вторая серия, 117 (3): 669–694, Дои:10.2307/2007039, JSTOR 2007039, Г-Н 0701260
Beauzamy, Бернар (1985), "Un opérateur sans sous-espace invariant: упрощение de l'exemple de P. Enflo" [Оператор без инвариантного подпространства: упрощение примера P. Enflo], Интегральные уравнения и теория операторов (На французском), 8 (3): 314–384, Дои:10.1007 / BF01202903, Г-Н 0792905
Beauzamy, Бернар (1988), Введение в теорию операторов и инвариантные подпространства, Математическая библиотека Северной Голландии, 42, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-70521-1, Г-Н 0967989
Bernstein, Allen R .; Робинсон, Авраам (1966), "Решение проблемы инвариантного подпространства К. Т. Смита и П. Р. Халмоша", Тихоокеанский математический журнал, 16 (3): 421–431, Дои:10.2140 / pjm.1966.16.421, Г-Н 0193504
Энфло, Пер (1976), "К проблеме инвариантных подпространств в банаховых пространствах", Séminaire Maurey - Шварц (1975-1976) Espaces L^п, приложения радонифиантов и геометрия пространства Банаха, Exp. №№ 14-15, Center Math., École Polytech., Palaiseau, p. 7, Г-Н 0473871
Энфло, Пер (1987), "О проблеме инвариантного подпространства для банаховых пространств", Acta Mathematica, 158 (3): 213–313, Дои:10.1007 / BF02392260, Г-Н 0892591
Энфло, Пер; Ломоносов Виктор (2001), "Некоторые аспекты проблемы инвариантного подпространства", Справочник по геометрии банаховых пространств, я, Амстердам: Северная Голландия, стр. 533–559, Дои:10.1016 / S1874-5849 (01) 80015-2, ISBN 9780444828422, Г-Н 1863701
Халмос, Пол Р. (1966), «Инвариантные подпространства полиномиально компактных операторов», Тихоокеанский математический журнал, 16 (3): 433–437, Дои:10.2140 / pjm.1966.16.433, Г-Н 0193505
Ломоносов В. И. (1973), "Инвариантные подпространства семейства операторов, коммутирующих с вполне непрерывным оператором", Академия Наук СССР. Функциональный анализ и его приложение, 7 (3): 55–56, Дои:10.1007 / BF01080698, Г-Н 0420305
Пирси, Карл; Шилдс, Аллен Л. (1974), "Обзор техники Ломоносова в теории инвариантных подпространств", в К. Пирси (ред.), Темы теории операторов, Mathematical Surveys, Providence, R.I .: American Mathematical Society, стр. 219–229, Г-Н 0355639
Рид, К. Дж. (1984), "Решение проблемы инвариантного подпространства", Бюллетень Лондонского математического общества, 16 (4): 337–401, Дои:10.1112 / blms / 16.4.337, Г-Н 0749447
Рид, К. Дж. (1985), "Решение проблемы инвариантного подпространства в пространстве l₁", Бюллетень Лондонского математического общества, 17 (4): 305–317, Дои:10.1112 / blms / 17.4.305, Г-Н 0806634
Рид, К. Дж. (1988), "Проблема инвариантного подпространства для одного класса банаховых пространств, 2: гиперциклические операторы", Израильский математический журнал, 63 (1): 1–40, Дои:10.1007 / BF02765019, Г-Н 0959046
Раджави, Гейдар; Розенталь, Питер (1982), «Проблема инвариантного подпространства», Математический интеллект, 4 (1): 33–37, Дои:10.1007 / BF03022994, Г-Н 0678734
Раджави, Гейдар; Розенталь, Питер (2003), Инвариантные подпространства (Второе изд.), Минеола, Нью-Йорк: Довер, ISBN 978-0-486-42822-2, Г-Н 2003221
Раджави, Гейдар; Розенталь, Питер (2000), Одновременная треугольная форма, Universitext, New York: Springer-Verlag, pp. Xii + 318, Дои:10.1007/978-1-4612-1200-3, ISBN 978-0-387-98467-4, Г-Н 1736065
Слива, Веслав (2008), "Проблема инвариантного подпространства для неархимедовых банаховых пространств" (PDF), Канадский математический бюллетень, 51 (4): 604–617, Дои:10.4153 / CMB-2008-060-9, Г-Н 2462465
Ядав, Б. С. (2005), "Современное состояние и наследие проблемы инвариантного подпространства", Миланский математический журнал, 73 (1): 289–316, Дои:10.1007 / s00032-005-0048-7, Г-Н 2175046

[Yadav,_page_292-1] а ^б Ядав (2005), п. 292.

[Beauzamy_1988;_Yadav-2] а ^б Beauzamy (1988); Ядав (2005).

[3] См., Например, Раджави и Розенталь (1982).

[4] Стр. 401 в Фойаш, Киприан; Юнг, Иль Бонг; Ко, Юнгил; Пирси, Карл (2005). «О квазинильпотентных операторах. III». Журнал теории операторов. 54 (2): 401–414.. Метод Энфло («вперед») «минимальных векторов» также отмечен в обзоре этой исследовательской статьи Жиля Кассье в Математические обзоры: Г-Н2186363

[5] Доказательство фон Неймана никогда не было опубликовано, как было передано в частном сообщении авторам Ароншайн и Смит (1954). Версия этого доказательства, независимо обнаруженная Ароншайном, приведена в конце статьи.

[6] Увидеть Пирси и Шилдс (1974) для обзора.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]