Ядерное пространство - Nuclear space

В математика, а ядерное пространство это топологическое векторное пространство со многими хорошими свойствами конечномерного векторные пространства. Топология на них может быть определена семейством полунормы чей единичные шары быстро уменьшаются в размерах. Векторные пространства, элементы которых в некотором смысле «гладкие», стремятся быть ядерными; типичным примером ядерного пространства является набор гладкие функции на компактный коллектор.

Все конечномерные векторные пространства ядерны (поскольку каждый оператор в конечномерном векторном пространстве ядерный). Ядерных банаховых пространств не существует, кроме конечномерных. На практике часто бывает обратное: если «естественное» топологическое векторное пространство нет Банахово пространство, значит, велика вероятность, что оно ядерное.

Оригинальная мотивация: теорема о ядре Шварца

Большая часть теории ядерных пространств была разработана Александр Гротендик во время расследования Теорема о ядре Шварца и опубликовано в (Гротендик 1955 ). Теперь опишем эту мотивацию.

Для любых открытых подмножеств ${ Displaystyle Omega _ {1} substeq mathbb {R} ^ {m}}$ и ${ displaystyle Omega _ {2} substeq mathbb {R} ^ {n}}$, каноническое отображение ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { prime} left ( Omega _ {1} times Omega _ {2} right) to L_ {b} left (C_ {c} ^ { infty} left ( Omega _ {2} right); { mathcal {D}} ^ { prime} left ( Omega _ {1} right) right)}$ является изоморфизмом ТВП (где ${ displaystyle L_ {b} left (C_ {c} ^ { infty} left ( Omega _ {2} right); { mathcal {D}} ^ { prime} left ( Omega _ {1} right) right)}$ имеет топология равномерной сходимости на ограниченных подмножествах ) и, кроме того, оба эти пространства канонически TVS-изоморфны ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ { prime} left ( Omega _ {1} right) { widehat { otimes}} { mathcal {D}} ^ { prime} left ( Omega _ {2} right)}$ (где, поскольку ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ { prime} left ( Omega _ {1} right)}$ ядерно, это тензорное произведение одновременно является инъективное тензорное произведение и проективное тензорное произведение ).^[1] Короче говоря, теорема Шварца о ядре утверждает, что:

${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ { prime} left ( Omega _ {1} times Omega _ {2} right) cong { mathcal {D}} ^ { prime} left ( Omega _ {1} right) { widehat { otimes}} { mathcal {D}} ^ { prime} left ( Omega _ {2} right) cong L_ {b} left (C_ {c} ^ { infty} left ( Omega _ {2} right); { mathcal {D}} ^ { prime} left ( Omega _ {1} right) right )}$

где все эти TVS-изоморфизмы каноничны.

Этот результат неверен, если заменить пробел ${ Displaystyle C_ {c} ^ { infty}}$ с ${ displaystyle L ^ {2}}$ (что является рефлексивное пространство которое даже изоморфно собственному сильному дуальному пространству) и заменяет ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ { prime}}$ с двойным этим ${ displaystyle L ^ {2}}$ Космос.^[2] Почему такой хороший результат верен для пространства распределений и тестовых функций, но не для Гильбертово пространство ${ displaystyle L ^ {2}}$ (который обычно считается одним из самых "красивых" TVS)? Этот вопрос привел Гротендика к открытию ядерных пространств. ядерные карты, а инъективное тензорное произведение.

Мотивы из геометрии

Другой набор мотивирующих примеров исходит непосредственно из геометрии и теории гладких многообразий.^{[3]приложение 2}. Для данных гладких многообразий ${ displaystyle M, N}$ и локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство, то существуют следующие изоморфизмы ядерных пространств

• ${ Displaystyle C ^ { infty} (M) otimes C ^ { infty} (N) cong C ^ { infty} (M times N)}$
• ${ displaystyle C ^ { infty} (M) otimes F cong {f: M to F: f { text {гладко}} }}$

Используя стандартные тензорные произведения для ${ Displaystyle С ^ { infty} ( mathbb {R})}$ как векторное пространство функция

${ Displaystyle грех (х + Y): mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R}}$

не может быть выражено как функция ${ displaystyle f otimes g}$ за ${ Displaystyle е, г в С ^ { infty} ( mathbb {R})}$. Это дает пример, демонстрирующий строгое включение множеств

${ displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R}) otimes C ^ { infty} ( mathbb {R}) subset C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {2}) }$

Определение

В этом разделе перечислены некоторые из наиболее общих определений ядерного пространства. Все определения, приведенные ниже, эквивалентны. Обратите внимание, что некоторые авторы используют более ограничительное определение ядерного пространства, добавляя условие, что пространство должно быть Фреше. (Это означает, что пространство полно, а топология задается счетный семейство полунорм.)

Следующее определение было использовано Гротендиком для определения ядерных пространств.^[4]

Определение 0: Позволять Икс - локально выпуклое топологическое векторное пространство. потом Икс ядерно, если для любого локально выпуклого пространства Y, каноническое вложение векторного пространства ${ displaystyle X otimes _ { pi} Y to { mathcal {B}} _ { epsilon} left (X _ { sigma} ^ { prime}, Y _ { sigma} ^ { prime} верно)}$ (от проективное тензорное произведение пространству раздельно непрерывных билинейных форм на ${ Displaystyle X _ { sigma} ^ { prime} times Y _ { sigma} ^ { prime}}$ наделен топология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах ) является вложением ТВП, образ которых плотен в области.

Начнем с того, что вспомним некоторую предысторию. А локально выпуклое топологическое векторное пространство V имеет топологию, которая определяется некоторым семейством полунормы. Для любой полунормы единичный шар является замкнутой выпуклой симметричной окрестностью 0, и, наоборот, любая замкнутая выпуклая симметрическая окрестность 0 является единичным шаром некоторой полунормы. (Для сложных векторных пространств условие «симметричность» следует заменить на «сбалансированный ".) Если п это полунорма на V, мы пишем V_п для Банахово пространство дан, заполнив V используя полунорму п. Есть естественная карта от V к V_п (не обязательно инъекционный).

Если q это еще одна полунорма, больше чем п (поточечно как функция на V), то существует естественное отображение из V_q к V_п так что первая карта факторов как V → V_q → V_п. Эти карты всегда непрерывны. Космос V является ядерным, когда выполняется более сильное условие, а именно, что эти отображения ядерные операторы. Условие быть ядерным оператором тонкое, и более подробная информация доступна в соответствующей статье.

Определение 1: А ядерное пространство является локально выпуклым топологическим векторным пространством такое, что для любой полунормы п мы можем найти большую полунорму q так что естественная карта из V_q к V_п является ядерный.

Неформально это означает, что всякий раз, когда нам дается единичный шар некоторой полунормы, мы можем найти внутри него «намного меньший» единичный шар другой полунормы или что любая окрестность 0 содержит «намного меньшую» окрестность. Не обязательно проверять это условие для всех полунорм. п; достаточно проверить это для набора полунорм, порождающих топологию, другими словами, набора полунорм, которые являются подоснование для топологии.

Вместо использования произвольных банаховых пространств и ядерных операторов мы можем дать определение в терминах Гильбертовы пространства и класс трассировки операторы, которые легче понять. (В гильбертовых пространствах ядерные операторы часто называют операторами класса следов.) Мы будем говорить, что полунорма п это Гильбертова полунорма если V_п является гильбертовым пространством, или, что то же самое, если п происходит от полуторалинейной положительно полуопределенной формы на V.

Определение 2: А ядерное пространство является топологическим векторным пространством с топологией, определяемой семейством гильбертовых полунорм, таким, что для любой гильбертовой полунормы п мы можем найти большую полунорму Гильберта q так что естественная карта из V_q к V_п является класс трассировки.

Некоторые авторы предпочитают использовать Операторы Гильберта – Шмидта вместо операторов класса трассировки. Это не имеет большого значения, потому что любой оператор класса следа является оператором Гильберта – Шмидта, а произведение двух операторов Гильберта – Шмидта имеет класс следа.

Определение 3: А ядерное пространство является топологическим векторным пространством с топологией, определяемой семейством гильбертовых полунорм, таким, что для любой гильбертовой полунормы п мы можем найти большую полунорму Гильберта q так что естественная карта из V_q к V_п это Гильберта – Шмидта.

Если мы хотим использовать понятие ядерного оператора из произвольного локально выпуклого топологического векторного пространства в банахово пространство, мы можем дать более короткие определения следующим образом:

Определение 4.: А ядерное пространство является локально выпуклым топологическим векторным пространством такое, что для любой полунормы п естественная карта из V к V_п является ядерный.

Определение 5.: А ядерное пространство является локально выпуклым топологическим векторным пространством такое, что любое непрерывное линейное отображение в банахово пространство ядерно.

Гротендик использовал определение, подобное следующему:

Определение 6: А ядерное пространство является локально выпуклым топологическим векторным пространством А такое, что для любого локально выпуклого топологического векторного пространства B естественное отображение проективного тензорного произведения в инъективное А и B является изоморфизмом.

На самом деле достаточно проверить это только для банаховых пространств. B, или даже просто для единственного банахова пространства л¹ абсолютно сходящихся рядов.

Характеристики

Позволять Икс - хаусдорфово локально выпуклое пространство. Тогда следующие эквиваленты:

1. Икс ядерный;
2. для любого локально выпуклого пространства Y, каноническое вложение векторного пространства ${ displaystyle X otimes _ { pi} Y to { mathcal {B}} _ { epsilon} left (X _ { sigma} ^ { prime}, Y _ { sigma} ^ { prime} верно)}$ является вложением ТВП, изображение которых плотно в кодобласти;
3. для любого Банахово пространство Y, каноническое вложение векторного пространства ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { pi} Y to X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ сюръективный изоморфизм ТВП;^[5]
4. для любого локально выпуклого хаусдорфова пространства Y, каноническое вложение векторного пространства ${ displaystyle X { widehat { otimes}} _ { pi} Y to X { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y}$ сюръективный изоморфизм ТВП;^[5]
5. каноническое вложение ${ displaystyle l ^ {1} [ mathbb {N}, X]}$ в ${ Displaystyle л ^ {1} влево ( mathbb {N}, X вправо)}$ сюръективный изоморфизм ТВП;^[6]
6. каноническая карта ${ displaystyle l ^ {1} { widehat { otimes}} _ { pi} X to l ^ {1} { widehat { otimes}} _ { epsilon} X}$ является сюръективным TVS-изоморфизмом.^[6]
7. для любой полунормы п мы можем найти большую полунорму q так что естественная карта из V_q к V_п является ядерный;
8. для любой полунормы п мы можем найти большую полунорму q так что каноническая инъекция ${ displaystyle X_ {p} ^ { prime} to X_ {q} ^ { prime}}$ ядерный;^[5]
9. топология Икс определяется семейством гильбертовых полунорм, таким что для любой гильбертовой полунормы п мы можем найти большую полунорму Гильберта q так что естественная карта из V_q к V_п является класс трассировки;
10. Икс имеет топологию, определяемую семейством гильбертовых полунорм, так что для любой гильбертовой полунормы п мы можем найти большую полунорму Гильберта q так что естественная карта из V_q к V_п есть Гильберта – Шмидта;
11. для любой полунормы п естественная карта из V к V_п является ядерный.
12. любое непрерывное линейное отображение в банахово пространство ядерно;
13. каждая непрерывная полунорма на Икс прядерный;^[7]
14. каждый равностепенный подмножество ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ прядерный;^[7]
15. каждое линейное отображение из банахова пространства в ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ который превращает единичный шар в равностепенно непрерывное множество, является ядерным;^[5]
16. завершение Икс это ядерное пространство;

Если Икс это Fréchet space то следующие эквиваленты:

1. Икс ядерный;
2. каждая суммируемая последовательность в Икс абсолютно суммируем;^[6]
3. сильный дуал Икс ядерный;

Достаточные условия

• Локально выпуклое хаусдорфово пространство ядерно тогда и только тогда, когда его пополнение ядерно.
• Каждое подпространство ядерного пространства ядерно.^[8]
• Каждое фактор-пространство Хаусдорфа ядерного пространства ядерно.^[8]
• Индуктивный предел счетной последовательности ядерных пространств ядерный.^[8]
• Локально выпуклая прямая сумма счетной последовательности ядерных пространств ядерна.^[8]
• Сильный двойник ядерного пространства Фреше является ядерным.^[9]
  • В общем, сильный дуал ядерного пространства может не быть ядерным.^[9]
• Пространство Фреше, сильное дуальное которого является ядерным, само ядерно.^[9]
• Предел семейства ядерных пространств ядерный.^[8]
• Продукт семейства ядерных пространств является ядерным.^[8]
• Завершение ядерного пространства является ядерным (и на самом деле пространство ядерно, если и только если его завершение является ядерным).
• В тензорное произведение двух ядерных пространств является ядерным.
• В проективное тензорное произведение Как и его завершение, из двух ядерных пространств является ядерным.^[10]

Предположим, что Икс, Y, и N '- локально выпуклые пространства с N ядерный.

• Если N ядерно, то векторное пространство непрерывных линейных отображений ${ Displaystyle L _ { sigma} (X, N)}$ наделенное топологией простой сходимости - ядерное пространство.^[9]
• Если Икс это полурефлексивный пространство, сильное дуальное которого ядерно, и если N ядерно, то векторное пространство непрерывных линейных отображений ${ displaystyle L_ {b} (X, N)}$ (наделенного топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах Икс) является ядерным пространством.^[11]

Примеры

• Если ${ displaystyle d}$ множество любой мощности, то ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ и ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {d}}$ оба являются ядерными пространствами.^[12]
• Простым бесконечномерным примером ядерного пространства является пространство всех быстро убывающих последовательностей c=(c₁, c₂, ...). («Быстро убывающий» означает, что c_пп(п) ограничена для любого полинома п.) Для каждого действительного числа s, мы можем определить норму || · ||_s автор ||c||_s = sup |c_п|п^s

Если пополнение в этой норме C_s, то есть естественная карта из C_s к C_т в любое время s≥т, и это ядерно всякий раз, когда s>т+1, поскольку ряд Σп^т−s тогда абсолютно сходится. В частности, для каждой нормы || · ||_т мы можем найти другую норму, скажем || · ||_т+2, так что карта из C_т+2 к C_т ядерный. Итак, космос ядерный.

• Пространство гладких функций на любом компактном многообразии ядерно.
• В Пространство Шварца гладких функций на ${ Displaystyle mathbf {R} ^ {п}}$ для которого производные всех порядков быстро убывают, является ядерным пространством.
• Пространство целых голоморфных функций на комплексной плоскости ядерно.
• В пространство распределений ${ Displaystyle { mathcal {D}} ^ { prime}}$, сильное двойственное ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$, является ядерным.^[11]

Характеристики

Ядерные пространства во многом похожи на конечномерные пространства и обладают многими хорошими свойствами.

• Пространство Фреше ядерно тогда и только тогда, когда его сильный дуал ядерный.
• Каждый ограниченное подмножество ядерного пространства предкомпактно (напомним, что множество предкомпактно, если его замыкание в пополнении пространства компактно).^[13] Это аналогично Теорема Гейне-Бореля. Напротив, ни одно бесконечномерное нормированное пространство не обладает этим свойством (хотя конечномерные пространства им обладают).
• Если Икс это квазиполный (т.е. все замкнутые и ограниченные подмножества полны) ядерное пространство, то Икс имеет Недвижимость Гейне-Бореля.^[14]
• Ядерный квазиполный ствольное пространство это Montel space.
• Каждое замкнутое равностепенно непрерывное подмножество двойственного ядерного пространства является компактным метризуемым множеством (для сильной дуальной топологии).
• Каждое ядерное пространство является подпространством произведения гильбертовых пространств.
• Каждое ядерное пространство допускает базис полунорм, состоящий из гильбертовых норм.
• Каждое ядерное пространство - это пространство Шварца.
• Каждое ядерное пространство обладает свойством аппроксимации.^[15]
• Любое подпространство и любое фактор-пространство по замкнутому подпространству ядерного пространства ядерно.
• Если А ядерный и B любое локально выпуклое топологическое векторное пространство, то естественное отображение из проективного тензорного произведения А и B к инъективному тензорному произведению является изоморфизмом. Грубо говоря, это означает, что есть только один разумный способ определить тензорное произведение. Это свойство характеризует ядерные пространства. А.
• В теории мер на топологических векторных пространствах основная теорема утверждает, что любое непрерывное измерение набора цилиндров на двойственном к ядерному пространству Фреше автоматически продолжается до Радоновая мера. Это полезно, потому что часто легко построить меры цилиндрического множества на топологических векторных пространствах, но для большинства приложений этого недостаточно, если только они не являются мерами Радона (например, они даже не являются счетно-аддитивными в целом).

Теорема о ядре

Большая часть теории ядерных пространств была разработана Александр Гротендик во время расследования Теорема о ядре Шварца и опубликовано в (Гротендик 1955 ). Имеем следующее обобщение теоремы.

Теорема о ядре Шварца:^[9] Предположим, что Икс ядерный, Y локально выпуклый, а v является непрерывной билинейной формой на ${ Displaystyle X раз Y}$. потом v происходит из пространства формы ${ displaystyle X_ {A ^ { prime}} ^ { prime} { widehat { otimes}} _ { epsilon} Y_ {B ^ { prime}} ^ { prime}}$ куда ${ displaystyle A ^ { prime}}$ и ${ displaystyle B ^ { prime}}$ являются подходящими равностепенно непрерывными подмножествами ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ и ${ displaystyle Y ^ { prime}}$. Эквивалентно, v имеет форму,

${ displaystyle v (x, y) = sum _ {i = 1} ^ { infty} lambda _ {i} left langle x, x_ {i} ^ { prime} right rangle left langle y, y_ {i} ^ { prime} right rangle}$ для всех ${ Displaystyle (х, у) в X раз Y}$

куда ${ Displaystyle влево ( лямбда _ {я} вправо) в л ^ {1}}$ и каждый из ${ Displaystyle {x_ {1} ^ { prime}, x_ {2} ^ { prime}, ldots }}$ и ${ Displaystyle {y_ {1} ^ { prime}, y_ {2} ^ { prime}, ldots }}$ равностепенные. Кроме того, эти последовательности можно рассматривать как нулевые (т. Е. Сходящиеся к 0) в ${ Displaystyle X_ {A ^ { prime}} ^ { prime}}$ и ${ Displaystyle Y_ {B ^ { prime}} ^ { prime}}$, соответственно.

Теорема Бохнера – Минлоса

Непрерывный функционал C на ядерном пространстве А называется характерный функционал если C(0) = 1, и для любого комплекса ${ displaystyle z_ {j}}$ и ${ displaystyle x_ {j} in A}$, j,k = 1, ..., п,

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} sum _ {k = 1} ^ {n} z_ {j} { bar {z}} _ {k} C (x_ {j} -x_ {k}) geq 0.}$

Учитывая характерный функционал на ядерном пространстве А, то Теорема Бохнера – Минлоса (после Саломон Бохнер и Роберт Адольфович Минлос ) гарантирует существование и единственность соответствующего вероятностная мера ${ displaystyle mu}$ на двойном пространстве ${ displaystyle A '}$, данный

${ displaystyle C (y) = int _ {A '} e ^ {i langle x, y rangle} , d mu (x).}$

Это расширяет обратное преобразование Фурье в ядерные пространства.

В частности, если А это ядерное пространство

${ displaystyle A = bigcap _ {k = 0} ^ { infty} H_ {k},}$

куда ${ displaystyle H_ {k}}$ являются гильбертовыми пространствами, теорема Бохнера – Минлоса гарантирует существование вероятностной меры с характеристической функцией ${ displaystyle e ^ {- { frac {1} {2}} | y | _ {H_ {0}} ^ {2}}}$, то есть существование гауссовой меры на двойное пространство. Такая мера называется белый шум мера. Когда А - пространство Шварца, соответствующее случайный элемент это случайный распределение.

Сильно ядерные пространства

А сильно ядерное пространство является локально выпуклым топологическим векторным пространством такое, что для любой полунормы п мы можем найти большую полунорму q так что естественная карта из V_q к V_п сильно ядерный.

Смотрите также

• Ядро Фредгольма
• Инъективное тензорное произведение
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - Векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами
• Ядерный оператор
• Проективное тензорное произведение
• Оснащенное гильбертово пространство - Конструкция, связывающая изучение "связанных" и непрерывных собственных значений в функциональном анализе.
• Класс трассировки
• Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости

Рекомендации

Библиография

• Гротендик, Александр (1955). "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Мемуары Американского математического общества. 16.
• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: новый взгляд на резюме Гротендика. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4440-3. OCLC  185095773.
• Дубинский, Эд (1979). Строение ядерных пространств Фреше.. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09504-7. OCLC  5126156.
• Гротендик, Гротендик (1966). Производит тензорные топологические и космические ядерные объекты. (На французском). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1216-5. OCLC  1315788.
• Хусейн, Такдир (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09096-7. OCLC  4493665.
• Халилулла, С. М. (1982). Написано в берлинском Гейдельберге. Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 936. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Нленд, Х (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственности топологии-борнологии и ее использованию в функциональном анализе. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. Co. Единственные дистрибьюторы в США и Канаде, Elsevier-North Holland. ISBN  0-7204-0712-5. OCLC  2798822.
• Нленд, Х (1981). Ядерные и конъядерные пространства: вводные курсы по ядерным и конъядерным пространствам в свете дуальности. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк, Нью-Йорк: паб Северной Голландии. Co. Единственный дистрибьютор в США и Канаде, Elsevier North-Holland. ISBN  0-444-86207-2. OCLC  7553061.
• Гельфанд, И. М .; Виленкин, Н.Я. (1964). Обобщенные функции - т. 4: Применение гармонического анализа. Нью-Йорк: Academic Press. OCLC  310816279.
• Такеюки Хида и Си Си, Лекции по функционалам белого шума, World Scientific Publishing, 2008. ISBN  978-981-256-052-0
• Т. Р. Йохансен, Теорема Бохнера-Минлоса для ядерных пространств и абстрактного пространства белого шума, 2003.
• Литвинов Г.Л. (2001) [1994], «Ядерное пространство», Энциклопедия математики, EMS Press
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Пич, Альбрехт (1972) [1965]. Ядерные локально выпуклые пространства. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-05644-9. МИСТЕР  0350360.
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально выпуклые пространства. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Робертсон, А.П .; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства. Кембриджские трактаты по математике. 53. Издательство Кембриджского университета. п. 141.
• Робертсон, А. П. (1973). Топологические векторные пространства. Кембридж, Англия: Издательство университета. ISBN  0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Райан, Раймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств. Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  1-85233-437-1. OCLC  48092184.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6. OCLC  5126158.