Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений - Spectral theory of ordinary differential equations

В математика, то спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений является частью спектральная теория озабочены определением спектр и разложение по собственным функциям связанный с линейным обыкновенное дифференциальное уравнение. В его диссертации Герман Вейль обобщил классический Теория Штурма – Лиувилля на конечном закрытый интервал ко второму порядку дифференциальные операторы с особенностями на концах интервала, возможно полубесконечного или бесконечного. В отличие от классического случая, спектр может больше не состоять только из счетного набора собственных значений, но может также содержать непрерывную часть. В этом случае в разложение по собственным функциям входит интеграл по непрерывной части по спектральная мера, предоставленный Титчмарш –Кодаира формула. В окончательном упрощенном виде теория была приведена для сингулярных дифференциальных уравнений четной степени Кодаирой и другими с использованием фон Нейман с спектральная теорема. Он имел важные приложения в квантовая механика, теория операторов и гармонический анализ на полупростые группы Ли.

Вступление

Спектральная теория для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на компактном интервале был разработан Жак Шарль Франсуа Штурм и Джозеф Лиувиль в девятнадцатом веке и теперь известен как Теория Штурма – Лиувилля. На современном языке это приложение спектральная теорема за компактные операторы из-за Дэвид Гильберт. В своей диссертации, опубликованной в 1910 году, Герман Вейль распространил эту теорию на обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка сособенности в конечных точках интервала, теперь может быть бесконечным или полубесконечным. Одновременно он разработал спектральную теорию, адаптированную к этим специальным операторам, и ввел граничные условия с точки зрения его знаменитой дихотомии между предельные точки и ограничить круги.

В 1920-е гг. Джон фон Нейман установил общую спектральную теорему для неограниченный самосопряженные операторы, который Кунихико Кодайра используется для оптимизации метода Вейля. Кодаира также обобщил метод Вейля на сингулярные обыкновенные дифференциальные уравнения четного порядка и получил простую формулу для спектральная мера. Эта же формула была независимо получена Э. К. Титчмарш в 1946 г. (научное сообщение между Япония и объединенное Королевство был прерван Вторая Мировая Война ). Титчмарш следовал методу немецкого математика Эмиль Хильб, который получил разложения по собственным функциям, используя теория сложных функций вместо того теория операторов. Другие методы, избегающие спектральной теоремы, были позже независимо разработаны Левитаном, Левинсоном и Йошидой, которые использовали тот факт, что противовоспалительное средство сингулярного дифференциального оператора можно аппроксимировать формулой компактный резольвенты, соответствующие Задачи Штурма – Лиувилля. для правильных подинтервалов. Другой метод был найден Марк Григорьевич Крейн; его использование функционалы направления впоследствии был обобщен Израил Глазман к произвольным обыкновенным дифференциальным уравнениям четного порядка.

Вейль применил свою теорию к Карл Фридрих Гаусс с гипергеометрическое дифференциальное уравнение, таким образом получая далеко идущее обобщение формулы преобразования Густав Фердинанд Мелер (1881) для Дифференциальное уравнение Лежандра, заново открытый российским физиком Владимир Фок в 1943 году и обычно называли Преобразование Мелера – Фока. Соответствующий обыкновенный дифференциальный оператор представляет собой радиальную часть Оператор лапласа на 2-х мерном гиперболическое пространство. В более общем плане Теорема Планшереля за SL (2, R) из Хариш Чандра и Гельфанд –Наймарк могут быть выведены из теории Вейля для гипергеометрического уравнения, как и теория сферические функции для группы изометрий гиперболических пространств большой размерности. Позднее развитие Хариш Чандра теоремы Планшереля для общих вещественных полупростые группы Ли на него сильно повлияли методы, разработанные Вейлем для разложений по собственным функциям, связанных с сингулярными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Не менее важно, что теория заложила математические основы для анализа Уравнение Шредингера и матрица рассеяния в квантовая механика.

Решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Приведение к стандартной форме

Позволять D - дифференциальный оператор второго порядка на (а, б) данный

${ Displaystyle Df (х) = - п (х) е ^ { простое простое} (х) + г (х) е ^ { простое} (х) + q (х) е (х),}$

где п - строго положительная непрерывно дифференцируемая функция и q и р - непрерывные вещественнозначные функции.

За Икс₀ в (а, б), определим Преобразование Лиувилля ψ пользователем

${ displaystyle psi (x) = int _ {x_ {0}} ^ {x} p (t) ^ {- 1/2} , dt}$

Если

${ Displaystyle U: L ^ {2} (a, b) mapsto L ^ {2} ( psi (a), psi (b))}$

это унитарный оператор определяется

${ Displaystyle (Uf) ( psi (x)) = f (x) times left ( psi '(x) right) ^ {- 1/2}, forall x in (a, б)}$

тогда

${ displaystyle U { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} U ^ {- 1} g = g ' psi' + { frac {1} {2}} g { гидроразрыв { psi ''} { psi '}}}$

и

${ displaystyle { begin {align} U { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} x ^ {2}}} U ^ {- 1} g & = left (U { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} U ^ {- 1} right) times left (U { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x }} U ^ {- 1} right) g & = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} psi}} left [g ' psi' + { frac {1 } {2}} g { frac { psi ''} { psi '}} right] cdot psi' + { frac {1} {2}} left [g ' psi' + { frac {1} {2}} g { frac { psi ''} { psi '}} right] times { frac { psi' '} { psi'}} & = g '' psi '^ {2} + 2g' psi '' + { frac {1} {2}} g times left [{ frac { psi '' '} { psi'}} + { frac { psi '' ^ {2}} { psi '^ {2}}} right] end {align}}}$

Следовательно,

${ displaystyle UDU ^ {- 1} g = -g ^ { prime prime} + Rg ^ { prime} + Qg,}$

где

${ displaystyle R = { frac {p '+ r} {p ^ {1/2}}}}$

и

${ displaystyle Q = q - { frac {rp '} {4p}} + { frac {p' '} {4}} - { frac {p' ^ {2}} {8p}}}$

Срок в грамм' можно удалить с помощью Эйлер интегрирующий фактор. Если S ' /S = −р/ 2, то час = Sgудовлетворяет

${ displaystyle (SUDU ^ {- 1} S ^ {- 1}) h = -h ^ { prime prime} + Vh,}$

где потенциал V дан кем-то

${ Displaystyle V = Q + { frac {S ''} {S}}}$

Таким образом, дифференциальный оператор всегда можно привести к одному из видов ^[1]

${ displaystyle Df = -f ^ { prime prime} + qf.}$

Теорема существования

Ниже приводится версия классического Теорема существования Пикара для дифференциальных уравнений второго порядка со значениями в Банахово пространство E.^[2]

Пусть α, β - произвольные элементы из E, А а ограниченный оператор на E и q непрерывная функция на [а,б].

Тогда для c = а или б, дифференциальное уравнение

Df = Af

имеет уникальное решение ж в C²([а,б],E) удовлетворяющие начальным условиям

ж(c) = β, ж '(c) = α.

Фактически решение дифференциального уравнения с этими начальными условиями эквивалентно решению интегральное уравнение

ж = час + Т ж

с Т ограниченное линейное отображение на C([а,б], E) определяется

${ Displaystyle Tf (x) = int _ {c} ^ {x} К (х, y) f (y) , dy,}$

где K это Ядро Вольтерры

K(Икс,т)= (Икс − т)(q(т) − А)

и

час(Икс) = α (Икс − c) + β.

Поскольку ||Т^k|| стремится к 0, это интегральное уравнение имеет единственное решение, которое задается Серия Неймана

ж = (я − Т)⁻¹ час = час + Т час + Т² час + Т³ час + ···

Эту итеративную схему часто называют Итерация Пикарда после французского математика Шарль Эмиль Пикар.

Основные собственные функции

Если ж дважды непрерывно дифференцируема (т. е. C²) на (а, б) удовлетворение Df = λж, тогда ж называется собственная функция из L с собственное значение λ.

• В случае компактного интервала [а, б] и q непрерывно на [а, б] из теоремы существования следует, что для c = а или б и каждому комплексному числу λ соответствует единственное C² собственная функция ж_λ на [а, б] с участием ж_λ(c) и ж '_λ(c) предписано. Причем для каждого Икс в [а, б], ж_λ(x) и ж '_λ(x) являются голоморфные функции из λ.
• Для произвольного интервала (а,б) и q непрерывно на (а, б) из теоремы существования следует, что для c в (а, б) и каждому комплексному числу λ соответствует единственное C² собственная функция ж_λ на (а, б) с ж_λ(c) и ж '_λ(c) предписано. Причем для каждого Икс в (а, б), ж_λ(x) и ж '_λ(x) являются голоморфные функции из λ.

Формула Грина

Если ж и грамм находятся C² функции на (а, б), Вронскиан W(ж, грамм) определяется

W(ж, грамм) (х) = ж(Икс) грамм '(Икс) − ж '(Икс) грамм(Икс).

Формула Грина - который в этом одномерном случае представляет собой простое интегрирование по частям - утверждает, что для Икс, у в (а, б)

${ Displaystyle int _ {x} ^ {y} (Df) g-f (Dg) , dt = W (f, g) (y) -W (f, g) (x).}$

Когда q непрерывно и ж, грамм C² на компактном интервале [а, б], эта формула верна и для Икс = а или у = б.

Когда ж и грамм являются собственными функциями для одного и того же собственного значения, то

${ displaystyle {d over dx} W (f, g) = 0,}$

так что W(ж, грамм) не зависит от Икс.

Классическая теория Штурма – Лиувилля.

Позволять [а, б] - конечный отрезок, q действительнозначная непрерывная функция на [а, б] и разреши ЧАС₀ - пространство C² функции ж на [а, б] удовлетворение Граничные условия Робина

${ Displaystyle соз альфа , е (а) - грех альфа , е ^ { простое} (а) = 0, qquad соз бета , е (б) - грех бета , f ^ { prime} (b) = 0,}$

с внутренний продукт

${ displaystyle (f, g) = int _ {a} ^ {b} f (x) { overline {g (x)}} , dx.}$

На практике обычно одно из двух стандартных граничных условий:

• Граничное условие Дирихле ж(c) = 0
• Граничное условие Неймана ж '(c) = 0

накладывается на каждую конечную точку c = а, б.

Дифференциальный оператор D данный

${ Displaystyle Df = -f ^ { prime prime} + qf}$

действует на ЧАС₀. Функция ж в ЧАС₀ называется собственная функция из D (для указанного выше выбора граничных значений), если Df = λ ж для некоторого комплексного числа λ соответствующие собственное значение.По формуле Грина D формально самосопряженный на ЧАС₀, поскольку вронскиан W (ж, г) исчезает, если оба f, g удовлетворяют граничным условиям:

(Df, грамм) = (ж, Dg) за ж, грамм в ЧАС₀.

Как следствие, точно так же, как и для самосопряженная матрица в конечных размерах,

• собственные значения D настоящие;
• то собственные подпространства для различных собственных значений ортогональный.

Оказывается, собственные значения можно описать максимум-минимум принцип Рэлей –Ритц ^[3] (см. ниже). На самом деле легко увидеть априори что собственные значения ограничены снизу, поскольку оператор D сам по себе ограниченный снизу на ЧАС₀:

• ${ Displaystyle (Df, f) geq M (f, f)}$ для некоторой конечной (возможно, отрицательной) постоянной ${ displaystyle M}$.

Фактически интегрируя по частям

${ displaystyle (Df, f) = [- f ^ { prime} { overline {f}}] _ {a} ^ {b} + int | f ^ { prime} | ^ {2} + int q | f | ^ {2}.}$

Для граничных условий Дирихле или Неймана первое слагаемое обращается в нуль и неравенство выполняется с M = inf q.

Для общих граничных условий Робина первое слагаемое можно оценить с помощью элементарного Петр-Поль версия Неравенство Соболева:

"Для ε> 0 существует постоянная R> 0 такая, что | f (x) |² ≤ ε (f ', f') + R (f, f) для всех f в C¹[а, б]."

Фактически, поскольку

|ж(б) − ж(Икс)| ≤ (б − а)^½·||ж '||₂,

только оценка ж(б) требуется, и это следует путем замены ж(Икс) в указанном неравенстве на (Икс − а)^п·(б − а)^−п·ж(Икс) за п достаточно большой.

Функция Грина (обычный случай)

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений существуют единственные фундаментальные собственные функции φ_λ(х), χ_λ(x) такой, что

• D φ_λ = λ φ_λ, φ_λ(а) = sin α, φ_λ'(а) = cos α
• D χ_λ = λ χ_λ, χ_λ(б) = sin β, χ_λ'(б) = cos β

которые в каждой точке вместе со своими первыми производными голоморфно зависят от λ. Позволять

ω (λ) = W (φ_λ, χ_λ),

ан целая голоморфная функция.

Эта функция ω (λ) играет роль характеристический многочлен из D. Действительно, единственность фундаментальных собственных функций означает, что их нули являются в точности собственными значениями D и что каждое ненулевое собственное подпространство одномерно. В частности, существует не более чем счетное число собственных значений D и, если их бесконечно много, они должны стремиться к бесконечности. Оказывается, нули ω (λ) также имеют кратность единицу (см. Ниже).

Если λ не является собственным значением D на ЧАС₀определить Функция Грина к

г_λ(Икс,у) = φ_λ (Икс) χ_λ(у) / ω (λ) для Икс ≥ у и χ_λ(Икс) φ_λ (у) / ω (λ) для у ≥ Икс.

Это ядро ​​определяет оператор на внутреннем пространстве продукта C [а,б] через

${ displaystyle (G _ { lambda} f) (x) = int _ {a} ^ {b} G _ { lambda} (x, y) f (y) , dy.}$

С г_λ(Икс,у) непрерывна на [а, б] Икс [а, б], он определяет Оператор Гильберта – Шмидта о пополнении гильбертова пространстваЧАС из C [а, б] = ЧАС₁ (или, что то же самое, плотного подпространства ЧАС₀), принимая значения в ЧАС₁. Этот оператор несет ЧАС₁ в ЧАС₀. Когда λ реально, г_λ(Икс,у) = г_λ(у,Икс) также действительна, поэтому определяет самосопряженный оператор на ЧАС. Более того,

• г_λ (D - λ) = I на ЧАС₀
• г_λ несет ЧАС₁ в ЧАС₀, и (D - λ) г_λ = Я на ЧАС₁.

Таким образом, оператор г_λ можно отождествить с противовоспалительное средство (D - λ)⁻¹.

Спектральная теорема

Теорема. Собственные числа оператора D вещественны с кратностью один и образуют возрастающую последовательность λ₁ <λ₂ <··· стремящиеся к бесконечности.

Соответствующие нормированные собственные функции образуют ортонормированный базис ЧАС₀.

K-е собственное значение D задается принцип минимакса

${ displaystyle lambda _ {k} = max _ {{ rm {dim}} , G = k-1} , min _ {f perp G} {(Df, f) over (f , f)}.}$

В частности, если q₁ ≤ q₂, тогда

${ displaystyle lambda _ {k} (D_ {1}) leq lambda _ {k} (D_ {2}).}$

На самом деле пусть Т = г_λ для больших и отрицательных λ. потом Т определяет компактный самосопряженный оператор на гильбертовом пространстве ЧАС.Посредством спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов, ЧАС имеет ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов ψ_п из Т сТψ_п = μ_п ψ_п, где μ_п стремится к нулю. Диапазон Т содержит ЧАС₀ так плотно. Следовательно, 0 не является собственным значением Т. Резольвентные свойства Т следует, что ψ_п лежит в ЧАС₀ и это

D ψ_п = (λ + 1 / μ_п) ψ_п

Принцип минимакса следует потому, что если

${ displaystyle lambda (G) = min _ {f perp G} {(Df, f) over (f, f)},}$

тогда λ (г) = λ_k для линейный пролет из первых k - 1 собственная функция. Для любого другого (k - 1) -мерное подпространство г, немного ж в линейной оболочке первого k собственные векторы должны быть ортогональны г. Следовательно, λ (г) ≤ (Df,ж)/(ж,ж) ≤ λ_k.

Вронскиан как определитель Фредгольма

Для простоты предположим, что м ≤ q(Икс) ≤ M на [0, π] с граничными условиями Дирихле. Принцип минимакса показывает, что

${ displaystyle n ^ {2} + m leq lambda _ {n} (D) leq n ^ {2} + M.}$

Отсюда следует, что резольвента (D - λ)⁻¹ это оператор класса трассировки если λ не является собственным значением D и, следовательно, Определитель Фредгольма det I - μ (D - λ)⁻¹ определено.

Из граничных условий Дирихле следует, что

ω (λ) = φ_λ(б).

Используя итерацию Пикара, Титчмарш показал, что φ_λ(б), а значит, ω (λ) является целая функция конечного порядка 1/2:

ω (λ) = O (e^√|λ|)

В нуле μ функции ω (λ) φ_μ(б) = 0. Кроме того,

${ displaystyle psi (x) = partial _ { lambda} varphi _ { lambda} (x) | _ { lambda = mu}}$

удовлетворяет (D - μ) ψ = φ_μ. Таким образом

ω (λ) = (λ - μ) ψ (б) + O ((λ - μ)²).

Отсюда следует, что^[4]

• μ - простой нуль функции ω (λ).

В противном случае ψ (б) = 0, так что ψ должна лежать в ЧАС₀.Но потом

(φ_μ, φ_μ) = ((D - μ) ψ, φ_μ) = (ψ, (D - μ) φ_μ) = 0,

противоречие.

С другой стороны, распределение нулей целой функции ω (λ) уже известно из принципа минимакса.

Посредством Теорема факторизации Адамара, следует, что^[5]

• ${ Displaystyle омега ( лямбда) = С прод (1- лямбда / лямбда _ {п}),}$

для некоторой ненулевой константы C.

Следовательно

${ displaystyle { rm {det}} , (I- mu (D- lambda) ^ {- 1}) = prod left (1 - { mu over lambda _ {n} - lambda} right) = prod {1 - ( lambda + mu) / lambda _ {n} over 1- lambda / lambda _ {n}} = { omega ( lambda + mu) over omega ( lambda)}.}$

В частности, если 0 не является собственным значением D

${ displaystyle omega ( mu) = omega (0) cdot { rm {det}} , (I- mu D ^ {- 1}).}$

Инструменты абстрактной спектральной теории

Функции ограниченной вариации

Функция ρ (Икс) из ограниченная вариация^[6] на закрытом интервале [а, б] - комплексная функция такая, что ее полное изменение V(ρ), супремум вариаций

${ displaystyle sum _ {r = 0} ^ {k-1} | rho (x_ {r + 1}) - rho (x_ {r}) |}$

в общем и целом рассечения

${ displaystyle a = x_ {0}$

конечно. Действительная и мнимая части ρ являются действительными функциями ограниченной вариации. Если ρ вещественнозначен и нормирован так, что ρ (a) = 0, он имеет каноническое разложение как разность двух ограниченных неубывающих функций:

${ Displaystyle rho (x) = rho _ {+} (x) - rho _ {-} (x),}$

где ρ₊(Икс) и ρ_–(Икс) - полная положительная и отрицательная вариация ρ на [а, Икс].

Если ж является непрерывной функцией на [а, б] это Интеграл Римана – Стилтьеса. относительно ρ

${ Displaystyle int _ {a} ^ {b} е (х) , д ро (х)}$

определяется как предел аппроксимирующих сумм

${ Displaystyle сумма _ {г = 0} ^ {к-1} е (х_ {г}) ( ро (х_ {г + 1}) - ро (х_ {г}))}$

как сетка рассечения, полученного sup |Икс_р+1 - Икс_р| стремится к нулю.

Этот интеграл удовлетворяет

${ displaystyle left | int _ {a} ^ {b} f (x) , d rho (x) right | leq V ( rho) cdot | f | _ { infty} }$

и таким образом определяет ограниченный линейный функционал dρ на C[а, б] с участием норма || dρ || =V(ρ).

Каждый линейный ограниченный функционал μ на C[а, б] имеет абсолютная величина | μ | определен для неотрицательных ж к^[7]

${ Displaystyle | му | (е) = sup _ {0 leq | g | leq f} | mu (g) ​​|.}$

Форма | μ | линейно продолжается до ограниченной линейной формы на C [а, б] с нормой || μ || и удовлетворяет характеризующему неравенству

| μ (ж) | ≤ | μ | (|ж|)

за ж в C [а, б]. Если μ равно настоящий, т.е. является действительным знаком на действительных функциях, то

${ Displaystyle му = | му | - (| му | - му) эквив му _ {+} - му _ {-}}$

дает каноническое разложение как разность положительный формы, то есть формы, которые неотрицательны на неотрицательных функциях.

Каждая положительная форма μ однозначно продолжается до линейной оболочки неотрицательных ограниченных снизу полунепрерывные функции грамм по формуле^[8]

${ Displaystyle му (г) = лим му (е_ {п}),}$

где неотрицательные непрерывные функции ж_п увеличивать поточечно до грамм.

Следовательно, то же самое относится к произвольной ограниченной линейной форме μ, так что функция ρ ограниченной вариации может быть определена как^[9]

${ Displaystyle ро (х) = му ( чи _ {[а, х]}),}$

где χ_А обозначает характеристическая функция подмножества А из [а, б]. Таким образом, μ = dρ и || μ || = ||dρ ||, причем μ₊ = dρ₊ и μ_– = dρ_–.

Это соответствие между функциями ограниченной вариации и ограниченными линейными формами является частным случаем Теорема Рисса о представлении.

В поддержка из μ = dρ - дополнение всех точек Икс в [а,б] где ρ постоянно в некоторой окрестности точки Икс; по определению это замкнутое подмножество А из [а,б]. Кроме того, μ ((1-χ_А)ж) = 0, так что μ (ж) = 0, если ж исчезает на А.

Спектральная мера

Позволять ЧАС - гильбертово пространство и ${ displaystyle T}$ самосопряженный ограниченный оператор на ЧАС с ${ displaystyle 0 leq T leq I}$, таким образом спектр ${ displaystyle sigma (T)}$ из ${ displaystyle T}$ содержится в ${ displaystyle [0,1]}$. Если ${ displaystyle p (t)}$ - комплексный многочлен, то по теорема о спектральном отображении

${ Displaystyle сигма (п (Т)) = р ( сигма (Т))}$

и, следовательно

${ Displaystyle | п (Т) | Leq | р | _ { infty}}$

где ${ Displaystyle | , | _ { infty}}$ обозначает единая норма на ${ displaystyle C [0,1]}$. Посредством Аппроксимационная теорема Вейерштрасса, многочлены равномерно плотны в ${ displaystyle C [0,1]}$. Это следует из того ${ Displaystyle f (T)}$ можно определить ${ displaystyle forall f in C [0,1]}$, с участием

${ Displaystyle сигма (е (Т)) = е ( сигма (Т))}$ и ${ Displaystyle | е (Т) | Leq | е | _ { infty}}$.

Если ${ displaystyle 0 leq g leq 1}$ является полунепрерывной снизу функцией на ${ displaystyle [0,1]}$, например характеристическая функция ${ displaystyle chi _ {[0, alpha]}}$ подынтервала ${ displaystyle [0,1]}$, тогда${ displaystyle g}$ - поточечный возрастающий предел неотрицательного ${ displaystyle f_ {n} in C [0,1]}$.

Согласно с Szkefalvi-Nagy,^[10] если ${ Displaystyle xi}$ вектор в ЧАС, то векторы

${ displaystyle eta _ {n} = f_ {n} (T) xi}$

сформировать Последовательность Коши в ЧАС, поскольку для ${ displaystyle n geq m}$,

${ displaystyle | eta _ {n} - eta _ {m} | ^ {2} leq ( eta _ {n}, xi) - ( eta _ {m}, xi), }$

и ${ Displaystyle ( eta _ {n}, xi) = (f_ {n} (T) xi, xi)}$ ограничен и возрастает, поэтому имеет предел.

Это следует из того ${ displaystyle g (T)}$ можно определить как^[11]

${ Displaystyle г (T) xi = lim f_ {n} (T) xi}$.

Если ${ Displaystyle xi}$ и ${ displaystyle eta}$ векторы в ЧАС, тогда

${ Displaystyle му _ { xi, eta} (f) = (f (T) xi, eta)}$

определяет ограниченную линейную форму ${ displaystyle mu _ { xi, eta}}$ на ЧАС. По теореме Рисса о представлении

${ Displaystyle му _ { xi, eta} = d rho _ { xi, eta}}$

для уникальной нормализованной функции ${ displaystyle rho _ { xi, eta}}$ ограниченной вариации на ${ displaystyle [0,1]}$.

${ displaystyle d rho _ { xi, eta}}$ (а иногда немного неправильно ${ displaystyle rho _ { xi, eta}}$ сам) называется спектральная мераопределяется по ${ Displaystyle xi}$ и ${ displaystyle eta}$.

Оператор ${ displaystyle g (T)}$ соответственно однозначно характеризуется уравнением

${ Displaystyle (г (T) xi, eta) = mu _ { xi, eta} (g) = int _ {0} ^ {1} g ( lambda) , d rho _ { xi, eta} ( lambda).}$

В спектральная проекция ${ Displaystyle Е ( лямбда)}$ определяется

${ displaystyle E ( lambda) = chi _ {[0, lambda]} (T),}$

так что

${ Displaystyle rho _ { xi, eta} ( lambda) = (E ( lambda) xi, eta).}$

Это следует из того

${ displaystyle g (T) = int _ {0} ^ {1} g ( lambda) , dE ( lambda),}$

что понимается в том смысле, что для любых векторов ${ Displaystyle xi}$ и ${ displaystyle eta}$,

${ Displaystyle (г (T) xi, eta) = int _ {0} ^ {1} g ( lambda) , d (E ( lambda) xi, eta) = int _ { 0} ^ {1} g ( lambda) , d rho _ { xi, eta} ( lambda).}$

Для одного вектора ${ Displaystyle xi, , mu _ { xi} = mu _ { xi, xi}}$ положительная форма на ${ displaystyle [0,1]}$ (другими словами, пропорционально вероятностная мера на ${ displaystyle [0,1]}$) и ${ Displaystyle rho _ { xi} = rho _ { xi, xi}}$ неотрицательна и неубывающая. Поляризация показывает, что все формы ${ displaystyle mu _ { xi, eta}}$ естественно выразить в терминах таких положительных форм, поскольку

${ displaystyle mu _ { xi, eta} = { frac {1} {4}} { bigg (} mu _ { xi + eta} + i mu _ { xi + i eta} - mu _ { xi - eta} -i mu _ { xi -i eta} { bigg)}}$

Если вектор ${ Displaystyle xi}$ такова, что линейный пролет векторов ${ Displaystyle (Т ^ {п} xi)}$ плотно в ЧАС, т.е. ${ Displaystyle xi}$ это циклический вектор за${ displaystyle T}$, то карта ${ displaystyle U}$ определяется

${ Displaystyle U (е) = е (T) xi, , C [0,1] rightarrow H}$

удовлетворяет

${ displaystyle (Uf_ {1}, Uf_ {2}) = int _ {0} ^ {1} f_ {1} ( lambda) { overline {f_ {2} ( lambda)}} , d rho _ { xi} ( lambda).}$

Позволять ${ Displaystyle L_ {2} ([0,1], d rho _ { xi})}$ обозначают пополнение гильбертова пространства ${ displaystyle C [0,1]}$ связанный с возможным вырожденный внутренний продукт с правой стороны.^[12] Таким образом ${ displaystyle U}$ распространяется на унитарное преобразование из ${ Displaystyle L_ {2} ([0,1], rho _ { xi})}$ на ЧАС. ${ displaystyle UTU ^ { ast}}$ тогда просто умножение на ${ displaystyle lambda}$ на ${ Displaystyle L_ {2} ([0,1], d rho _ { xi})}$; и вообще ${ Displaystyle Uf (T) U ^ { ast}}$ это умножение на ${ displaystyle f ( lambda)}$. В этом случае поддержка ${ displaystyle d rho _ { xi}}$точно ${ displaystyle sigma (T)}$, так что

• самосопряженный оператор становится оператором умножения на пространстве функций на его спектре со скалярным произведением, заданным спектральной мерой.

Теория Вейля – Титчмарша – Кодаира

Разложение по собственным функциям, связанное с сингулярными дифференциальными операторами вида

${ displaystyle Df = - (pf ^ { prime}) ^ { prime} + qf}$

на открытом интервале (а, б) требует первоначального анализа поведения основных собственных функций вблизи конечных точек а и б определить возможные граничные условия Там. В отличие от обычного случая Штурма – Лиувилля, в некоторых случаях спектральные значения из D могу иметь множественность 2. При разработке, описанной ниже, стандартные предположения будут налагаться на п и q которые гарантируют, что спектрD всюду имеет кратность единицу и ограничен снизу. Сюда входят почти все важные приложения; модификации, необходимые для более общего случая, будут рассмотрены позже.

Выбрав граничные условия, как в классической теории резольвента D, (D + р )⁻¹ за р большой и положительный, задается оператором Т соответствующее функции Грина, построенной из двух фундаментальных собственных функций. В классическом случае Т был компактным самосопряженным оператором; в этом случае Т является самосопряженным ограниченным оператором с 0 ≤ Т ≤ I. Абстрактная теория спектральной меры поэтому может быть применена к Т дать разложение по собственным функциям для D.

Центральную идею доказательства Вейля и Кодаиры можно неформально объяснить следующим образом. Предположим, что спектр D лежит в [1, ∞) и что Т =D⁻¹ и разреши

${ displaystyle E ( lambda) = chi _ {[ lambda ^ {- 1}, 1]} (T)}$

- спектральная проекция D соответствующий интервалу [1, λ]. Для произвольной функции ж определить

${ Displaystyle е (х, лямбда) = (Е ( лямбда) f) (х).}$

ж(Икс, λ) можно рассматривать как дифференцируемое отображение в пространство функций ограниченной вариации ρ; или, что то же самое, как дифференцируемое отображение

${ Displaystyle х mapsto (d _ { lambda} f) (x)}$

в банахово пространство E ограниченных линейных функционалов dρ на C [α, β], если [α, β] - компактный подынтервал в [1, ∞).

Основное наблюдение Вейля заключалось в том, что d_λ ж удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, принимающему значения в E:

${ displaystyle D (d _ { lambda} f) = lambda cdot d _ { lambda} f.}$

После наложения начальных условий на первые две производные в фиксированной точке c, это уравнение может быть решено явно в терминах двух основных собственных функций и функционалов "начального значения"

${ displaystyle (d _ { lambda} f) (c) = d _ { lambda} f (c, cdot), quad (d _ { lambda} f) ^ { prime} (c) = d _ { лямбда} f_ {x} (c, cdot).}$

Теперь эту точку зрения можно перевернуть с ног на голову: ж(c, λ) и ж_Икс(c, λ) можно записать как

${ Displaystyle е (с, лямбда) = (е, xi _ {1} ( lambda)), quad f_ {x} (c, lambda) = (f, xi _ {2} ( лямбда)),}$

где ξ₁(λ) и ξ₂(λ) задаются исключительно в терминах основных собственных функций. Функции ограниченной вариации

${ displaystyle sigma _ {ij} ( lambda) = ( xi _ {i} ( lambda), xi _ {j} ( lambda))}$

определить спектральную меру на спектре D и может быть вычислен в явном виде из поведения основных собственных функций (формула Титчмарша – Кодаира).

Предельная окружность и предельная точка для сингулярных уравнений

Позволять q(Икс) - непрерывная вещественнозначная функция на (0, ∞) и пусть D - дифференциальный оператор второго порядка

${ Displaystyle Df = -f ^ { prime prime} + qf}$

на (0, ∞). Зафиксируйте точку c в (0, ∞) и для комплекса λ пусть ${ displaystyle varphi _ { lambda}, theta _ { lambda}}$ быть уникальным основные собственные функции из D на (0, ∞) такая, что

${ displaystyle (D- lambda) varphi _ { lambda} = 0, quad (D- lambda) theta _ { lambda} = 0}$

вместе с начальными условиями при c

${ displaystyle varphi _ { lambda} (c) = 1, , varphi _ { lambda} ^ { prime} (c) = 0, , theta _ { lambda} (c) = 0 , , theta _ { lambda} ^ { prime} (c) = 1.}$

Тогда их вронскиан удовлетворяет

${ displaystyle W ( varphi _ { lambda}, theta _ { lambda}) = varphi _ { lambda} theta _ { lambda} ^ { prime} - theta _ { lambda} varphi _ { lambda} ^ { prime} Equiv 1,}$

поскольку он постоянен и равен 1 при c.

Пусть λ невещественно и 0 < Икс <∞. Если комплексное число ${ displaystyle mu}$ таково, что ${ displaystyle f = varphi + mu theta}$ удовлетворяет граничному условию ${ Displaystyle соз бета , е (х) - грех бета , е '(х) = 0}$ для некоторых ${ displaystyle beta}$ (или, что то же самое, ${ displaystyle f '(x) / f (x)}$ действительна), то, используя интегрирование по частям, получаем

${ displaystyle { rm {Im}} ( lambda) int _ {c} ^ {x} | varphi + mu theta | ^ {2} = { rm {Im}} ( mu). }$

Следовательно, набор ${ displaystyle mu}$ удовлетворяющее этому уравнению, не пусто. Этот набор представляет собой круг в комплексе ${ displaystyle mu}$-самолет. Точки ${ displaystyle mu}$ в его интерьере характерны

${ displaystyle int _ {c} ^ {x} | varphi + mu theta | ^ {2} <{{ rm {Im}} ( mu) over { rm {Im}} ( лямбда)}}$

если Икс > c и по

${ displaystyle int _ {x} ^ {c} | varphi + mu theta | ^ {2} <{{ rm {Im}} ( mu) over { rm {Im}} ( лямбда)}}$

если Икс < c.

Позволять D_Икс - замкнутый диск, обведенный кружком. По определению эти закрытые диски вложены друг в друга и уменьшаются как Икс стремится к 0 или ∞. Итак, в пределе кружки обращаются либо к ограничить круг или предельная точка на каждом конце. Если ${ displaystyle mu}$ является предельной точкой или точкой на предельной окружности в точках 0 или ∞, то ${ displaystyle f = varphi + mu theta}$ является квадратично интегрируемый (L²) вблизи 0 или ∞, так как ${ displaystyle mu}$ лежит в D_Икс для всех х> с (в случае ∞) и поэтому ${ displaystyle int _ {c} ^ {x} | varphi + mu theta | ^ {2} <{{ rm {Im}} ( mu) over { rm {Im}} ( лямбда)}}$ ограничен независимо от Икс. Особенно:^[13]

• всегда существуют ненулевые решения уравнения Df = λf, интегрируемые с квадратом вблизи 0 соответственно. ∞;
• в случае предельной окружности все решения Df = λf квадратично интегрируемы вблизи 0 соответственно. ∞.

Радиус диска D_Икс можно рассчитать, чтобы быть

${ displaystyle left | {1 over {2 { rm {Im}} ( lambda) int _ {c} ^ {x} | theta | ^ {2}}} right |}$

откуда следует, что в случае предельной точки ${ displaystyle theta}$ не может быть квадратично интегрируемым около 0, соответственно. ∞. Следовательно, мы имеем обратное ко второму утверждению выше:

• в случае предельной точки существует ровно одно ненулевое решение (с точностью до скалярных кратных) уравнения Df = λf, которое интегрируем с квадратом вблизи 0 соответственно ∞.

С другой стороны, если Dg = λ ' грамм для другого значения λ ', то

${ Displaystyle час (х) = г (х) - ( lambda ^ { prime} - lambda) int _ {c} ^ {x} ( varphi _ { lambda} (x) theta _ { lambda} (y) - theta _ { lambda} (x) varphi _ { lambda} (y)) g (y) , dy}$

удовлетворяет Dh = λчас, так что

${ displaystyle g (x) = c_ {1} varphi _ { lambda} + c_ {2} theta _ { lambda} + ( lambda ^ { prime} - lambda) int _ {c} ^ {x} ( varphi _ { lambda} (x) theta _ { lambda} (y) - theta _ { lambda} (x) varphi _ { lambda} (y)) g (y ) , dy.}$

Эта формула также может быть получена непосредственно вариацией метода констант из (D-λ) g = (λ'-λ) g. Используя ее для оценки грамм, следует, что^[13]

• поведение предельной точки / предельной окружности в 0 или ∞ не зависит от выбора λ.

В более общем плане, если Dg= (λ - р) грамм для какой-то функции р(Икс), тогда^[14]

${ displaystyle g (x) = c_ {1} varphi _ { lambda} + c_ {2} theta _ { lambda} - int _ {c} ^ {x} ( varphi _ { lambda} (x) theta _ { lambda} (y) - theta _ { lambda} (x) varphi _ { lambda} (y)) r (y) g (y) , dy.}$

Из этого следует, что^[14]

• если r непрерывно в 0, то D + r является предельной точкой или предельной окружностью в 0 именно тогда, когда D,

так что в частности^[15]

• если q (x) - a / x² непрерывна в 0, то D является предельной точкой в ​​0 тогда и только тогда, когда a ≥ ¾.

по аналогии

• если r имеет конечный предел в ∞, то D + r является предельной точкой или предельной окружностью в ∞ именно тогда, когда D является,

так что в частности^[16]

• если q имеет конечный предел в ∞, то D - предельная точка в ∞.

В математической литературе можно найти множество более сложных критериев для определения предельной точки или предельного круга.

Функция Грина (особый случай)

Рассмотрим дифференциальный оператор

${ displaystyle D_ {0} f = - (p_ {0} f ^ { prime}) ^ { prime} + q_ {0} f}$

на (0, ∞) с q₀ положительные и непрерывные на (0, ∞) и п₀ непрерывно дифференцируемые в [0, ∞), положительные в (0, ∞) и п₀(0)=0.

Кроме того, предположим, что после приведения к стандартному видуD₀ становится эквивалентным оператором

${ Displaystyle Df = -f ^ { prime prime} + qf}$

на (0, ∞), где q имеет конечный предел на ∞. Таким образом

• D - предельная точка на ∞.

При 0, D может быть либо предельной окружностью, либо предельной точкой. В любом случае существует собственная функция Φ₀ с DΦ₀= 0 и Φ₀ квадратично интегрируема вблизи 0. В случае предельной окружности Φ₀ определяет граничное условие при 0:

${ Displaystyle W (е, Phi _ {0}) (0) = 0.}$

Для комплекса λ пусть Φ_λ и Χ_λ удовлетворить

• (D - λ) Φ_λ = 0, (D - λ) Χ_λ = 0
• Χ_λ квадратично интегрируемый около бесконечности
• Φ_λ квадратично интегрируем в 0, если 0 предельная точка
• Φ_λ удовлетворяет граничному условию выше, если 0 равно ограничить круг.

Позволять

${ displaystyle omega ( lambda) = W ( Phi _ { lambda}, mathrm {X} _ { lambda}),}$

константа, которая обращается в нуль именно тогда, когда Φ_λ и Χ_λ пропорциональны, т.е. λ собственное значение из D для этих граничных условий.

С другой стороны, этого не может произойти, если Im λ ≠ 0 или если λ отрицательно.^[13]

Действительно, если D f= λж с q₀ - λ ≥ δ> 0, то по формуле Грина (Df,ж) = (ж,Df), поскольку W(ж,ж^*) постоянна. Значит, λ должно быть реальным. Если ж считается действительным в D₀ реализация, то при 0 < Икс < у

${ displaystyle [p_ {0} ff ^ { prime}] _ {x} ^ {y} = int _ {x} ^ {y} (q_ {0} - lambda) | f | ^ {2} + p_ {0} (f ^ { prime}) ^ {2}.}$

С п₀(0) = 0 и ж интегрируем около 0, п₀ж ж 'должен исчезнуть в 0. Установка Икс = 0, то ж(у) ж '(у)> 0, так что ж² возрастает, что противоречит квадратичной интегрируемости ж около ∞.

Таким образом, добавляя положительный скаляр к q, можно предположить, что

ω (λ) ≠ 0, когда λ не принадлежит [1, ∞).

Если ω (λ) ≠ 0, то Функция Грина г_λ(Икс,у) в точке λ определяется равенством

${ displaystyle G _ { lambda} (x, y) = Phi _ { lambda} (x) mathrm {X} _ { lambda} (y) / omega ( lambda) , , (x leq y), , , , , mathrm {X} _ { lambda} (x) Phi _ { lambda} (y) / omega ( lambda) , , (x geq y).}$

и не зависит от выбора _λ и Χ_λ.

В примерах будет третья «плохая» собственная функция Ψ_λ определен и голоморфен для λ, не принадлежащего [1, ∞), таких что Ψ_λ не удовлетворяет граничным условиям ни в 0, ни в ∞. Это означает, что для λ не из [1, ∞)

• W(Φ_λ, Ψ_λ) никуда не денется;
• W(Χ_λ, Ψ_λ) никуда не денется.

В этом случае Χ_λ пропорциональна Φ_λ + м(λ) Ψ_λ, где

• м(λ) = - W(Φ_λ, Χ_λ) / W(Ψ_λ, Χ_λ).

Позволять ЧАС₁ - пространство квадратично интегрируемых непрерывных функций на (0, ∞) и пусть ЧАС₀ быть

• пространство C² функции ж на (0, ∞) из компактная опора если D предельная точка в 0
• пространство C² функции ж на (0, ∞) с W(ж, Φ₀) = 0 в 0 и с ж = 0 вблизи ∞, если D предельный круг в 0.

Определить Т = г₀ к

${ displaystyle (Tf) (x) = int _ {0} ^ { infty} G_ {0} (x, y) f (y) , dy.}$

потом Т D = я на ЧАС₀, D Т = я на ЧАС₁ и оператор D ограничена снизу на ЧАС₀:

${ displaystyle (Df, f) geq (f, f).}$

Таким образом Т - самосопряженный ограниченный оператор с 0 ≤ Т ≤ я.

Формально Т = D⁻¹. Соответствующие операторы г_λ определенное для λ не в [1, ∞), можно формально отождествить с

${ displaystyle (D- lambda) ^ {- 1} = T (I- lambda T) ^ {- 1}}$

и удовлетворить г_λ (D - λ) = я на ЧАС₀, (D - λ)г_λ = я на ЧАС₁.

Спектральная теорема и формула Титчмарша – Кодаира

Теорема.^[13][17][18] Для каждого действительного числа λ пусть ρ (λ) определяется соотношением Формула Титчмарша – Кодаира:

${ displaystyle rho ( lambda) = lim _ { delta downarrow 0} lim _ { varepsilon downarrow 0} {1 over pi} int _ { delta} ^ { lambda + дельта} { rm {Im}} , m (t + i varepsilon) , dt.}$

Тогда ρ (λ) - полунепрерывная снизу неубывающая функция от λ и если

${ Displaystyle (Uf) ( lambda) = int _ {0} ^ { infty} f (x) Phi (x, lambda) , dx,}$

то U определяет унитарное преобразование L²(0, ∞) на L²([1, ∞), dρ) такие, чтоУДУ⁻¹ соответствует умножению на λ.

Обратное преобразование U⁻¹ дан кем-то

${ Displaystyle (U ^ {- 1} г) (х) = int _ {1} ^ { infty} г ( лямбда) фи (х, лямбда) , д ро ( лямбда). }$

Спектр D равен носителю dρ.

Кодаира представила обтекаемую версию^[19][20] оригинального доказательства Вейля.^[13] (M.H. Камень ранее показал^[21] как часть работы Вейля можно упростить с помощью спектральной теоремы фон Неймана.)

Фактически для Т =D⁻¹ с 0 ≤ Т ≤ я, спектральная проекция E(λ) из Т определяется

${ displaystyle E ( lambda) = chi _ {[ lambda ^ {- 1}, 1]} (T)}$

Это также спектральная проекция D соответствующий интервалу [1, λ].

За ж в ЧАС₁ определить

${ Displaystyle е (х, лямбда) = (Е ( лямбда) f) (х).}$

ж(Икс, λ) можно рассматривать как дифференцируемое отображение в пространство функций ρ ограниченной вариации; или, что то же самое, как дифференцируемое отображение

${ Displaystyle х mapsto (d _ { lambda} f) (x)}$

в банахово пространство E ограниченных линейных функционалов dρ на C [α, β] для любого компактного подынтервала [α, β] в [1, ∞).

Функционалы (или меры) d_λ ж(Икс) удовлетворяет следующему E-значное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

${ Displaystyle D (d _ { lambda} f) = lambda cdot d _ { lambda} f,}$

с начальными условиями при c в (0, ∞)

${ displaystyle (d _ { lambda} f) (c) = d _ { lambda} f (c, cdot) = mu ^ {(0)}, quad (d _ { lambda} f) ^ { prime} (c) = d _ { lambda} f_ {x} (c, cdot) = mu ^ {(1)}.}.$

Если φ_λ и χ_λ специальные собственные функции, адаптированные к c, тогда

${ displaystyle d _ { lambda} е (х) = varphi _ { lambda} (x) mu ^ {(0)} + chi _ { lambda} (x) mu ^ {(1)} .}$

Более того,

${ displaystyle mu ^ {(k)} = d _ { lambda} (f, xi _ { lambda} ^ {(k)}),}$

где

${ displaystyle xi _ { lambda} ^ {(k)} = DE ( lambda) eta ^ {(k)},}$

с

${ displaystyle eta _ {z} ^ {(0)} (y) = G_ {z} (c, y), , , , , eta _ {z} ^ {(1)} ( x) = partial _ {x} G_ {z} (c, y), , , , , (z notin [1, infty)).}$

(Как следует из обозначений, ξ_λ⁽⁰⁾ и ξ_λ⁽¹⁾ не зависят от выбора z.)

Настройка

${ displaystyle sigma _ {ij} ( lambda) = ( xi _ { lambda} ^ {(i)}, xi _ { lambda} ^ {(j)}),}$

это следует из того

${ displaystyle d _ { lambda} (E ( lambda) eta _ {z} ^ {(i)}, eta _ {z} ^ {(j)}) = | lambda -z | ^ {- 2} cdot d _ { lambda} sigma _ {ij} ( lambda).}$

С другой стороны, есть голоморфные функцииа(λ), б(λ) такая, что

• φ_λ + а(λ) χ_λ пропорциональна Φ_λ;
• φ_λ + б(λ) χ_λ пропорционально Χ_λ.

С W(φ_λ, χ_λ) = 1, функция Грина задается выражением

${ displaystyle G _ { lambda} (x, y) = {( varphi _ { lambda} (x) + a ( lambda) chi _ { lambda} (x)) ( varphi _ { lambda } (y) + b ( lambda) chi _ { lambda} (y)) over b ( lambda) -a ( lambda)} , , (x leq y), , , , , {( varphi _ { lambda} (x) + b ( lambda) chi _ { lambda} (x)) ( varphi _ { lambda} (y) + a ( lambda) chi _ { lambda} (y)) over b ( lambda) -a ( lambda)} , , (y leq x).}$

Прямой расчет^[22] показывает, что

${ displaystyle ( eta _ {z} ^ {(i)}, eta _ {z} ^ {(j)}) = { rm {Im}} , M_ {ij} (z) / { rm {Im}} , z,}$

где так называемый матрица характеристик M_ij(z) дан кем-то

${ Displaystyle M_ {00} (z) = {a (z) b (z) над a (z) -b (z)}, , , M_ {01} (z) = M_ {10} ( z) = {a (z) + b (z) over 2 (a (z) -b (z))}, , , M_ {11} (z) = {1 over a (z) - b (z)}.}$

Следовательно

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} ({ rm {Im}} , z) cdot | lambda -z | ^ {- 2} , d sigma _ {ij} ( lambda) = { rm {Im}} M_ {ij} (z),}$

что сразу подразумевает

${ displaystyle sigma _ {ij} ( lambda) = lim _ { delta downarrow 0} lim _ { varepsilon downarrow 0} int _ { delta} ^ { lambda + delta} { rm {Im}} , M_ {ij} (t + i varepsilon) , dt.}$

(Это частный случай «Формула обращения Стилтьеса».)

Установка ψ_λ⁽⁰⁾= φ_λ и ψ_λ⁽¹⁾= χ_λ, следует, что

${ Displaystyle (Е ( му) е) (х) = сумма _ {ij} int _ {0} ^ { mu} int _ {0} ^ { infty} psi _ { lambda} ^ {(i)} (x) psi _ { lambda} ^ {(j)} (y) f (y) , dy , d sigma _ {ij} ( lambda) = int _ { 0} ^ { mu} int _ {0} ^ { infty} Phi _ { lambda} (x) Phi _ { lambda} (y) f (y) , dy , d rho ( lambda).}$

Это тождество эквивалентно спектральной теореме и формуле Титчмарша – Кодаира.

Приложение к гипергеометрическому уравнению

В Преобразование Мелера – Фока^[23][24][25] касается разложения по собственным функциям, связанным с Дифференциальный оператор Лежандра D

${ displaystyle Df = - ((x ^ {2} -1) f ^ { prime}) ^ { prime} = - (x ^ {2} -1) f ^ { prime prime} -2xf ^ {основной }}$

на (1, ∞). Собственные функции - это Функции Лежандра^[26]

${ displaystyle P _ {- 1/2 + i { sqrt { lambda}}} ( cosh r) = {1 over 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} left ({ sin theta + ie ^ {- r} cos theta over cos theta -ie ^ {- r} sin theta} right) ^ {{1 over 2} + i { sqrt { lambda}}} , d theta}$

с собственным значением λ ≥ 0. Два преобразования Мелера – Фока:^[27]

${ displaystyle Uf ( lambda) = int _ {1} ^ { infty} f (x) , P _ {- 1/2 + i { sqrt { lambda}}} (x) , dx}$

и

${ displaystyle U ^ {- 1} g (x) = int _ {0} ^ { infty} g ( lambda) , {1 over 2} tanh pi { sqrt { lambda}} , d lambda.}$

(Часто это записывают в терминах переменной τ = √λ.)

Мелер и Фок изучали этот дифференциальный оператор, потому что он возник как радиальная компонента лапласиана на двумерном гиперболическом пространстве. В более общем смысле,^[28] рассмотрите группу г = СУ (1,1) состоящий из сложных матриц вида

${ displaystyle left ({ begin {matrix} alpha & beta { overline { beta}} & { overline { alpha}} end {matrix}} right)}$

с определителем | α |² - | β |² = 1.

Приложение к атому водорода

Обобщения и альтернативные подходы

Функция Вейля может быть определена на особом конце ${ displaystyle a}$ породив особый вариант теории Вейля – Титчмарша – Кодаира.^[29] это относится, например, к случаю радиальных операторов Шредингера

${ displaystyle Df = -f ^ { prime prime} + { frac {l (l + 1)} {x ^ {2}}} f + V (x) f, qquad x in (0, infty)}$

Всю теорию также можно распространить на случай, когда коэффициенты могут быть мерами.^[30]

Теория Гельфанда – Левитана

Примечания

Рекомендации

• Ахиезер Наум Ильич; Глазман, Израиль Маркович (1993), Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве., Дувр, ISBN  978-0-486-67748-4
• Беллман, Ричард (1969), Теория устойчивости дифференциальных уравнений., Дувр, ISBN  978-0-486-62210-1
• Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955), Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, МакГроу-Хилл, ISBN  978-0-07-011542-2
• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1989), Метод математической физики. я, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-50447-4
• Дьедонне, Жан (1969), Трактат об анализе, Vol. I [Основы современного анализа], Academic Press, ISBN  978-1-4067-2791-3
• Дьедонне, Жан (1988), Трактат об анализе, Vol. VIII, Academic Press, ISBN  978-0-12-215507-9
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1963), Линейные операторы. Часть II. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, Wiley Interscience, ISBN  978-0-471-60847-9
• Хилле, Эйнар (1969), Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Эддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-53083-4
• Кодаира, Кунихико (1949), «Проблема собственных значений для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и теория S-матриц Гейзенберга», Американский журнал математики, 71 (4): 921–945, Дои:10.2307/2372377, JSTOR  2372377
• Кодаира, Кунихико (1950), «Об обыкновенных дифференциальных уравнениях любого четного порядка и соответствующих разложениях по собственным функциям», Американский журнал математики, 72 (3): 502–544, Дои:10.2307/2372051, JSTOR  2372051
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики II, анализ Фурье, самосопряженность, Academic Press, ISBN  978-0-12-585002-5
• Рис, Фриджес; Сёкефалви-Надь, Бела (1990). Функциональный анализ. Dover Publications. ISBN  0-486-66289-6.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Стоун, Маршалл Харви (1932), Линейные преобразования в гильбертовом пространстве и их приложения к анализу, Публикации Коллоквиума AMS, 16, ISBN  978-0-8218-1015-6
• Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера. Аспирантура по математике. 99. ISBN  978-0-8218-4660-5.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Аспирантура по математике. 140. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1946), Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, Vol. I, первое издание, Oxford University Press
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1962), Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, Vol. I, второе издание, Oxford University Press, ISBN  978-0-608-08254-7
• Виленкин, Наум Яковлевич (1968), Специальные функции и теория представлений групп, Переводы математических монографий, 22, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1572-4
• Вайдманн, Иоахим (1987), Спектральная теория обыкновенных дифференциальных операторов., Конспект лекций по математике, 1258, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-17902-5
• Вейль, Герман (1910), "Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Functionen", Mathematische Annalen, 68 (2): 220–269, Дои:10.1007 / BF01474161
• Вейль, Германн (1910), "Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singulären Stellen und ihre Eigenfunktionen", Nachr. Акад. Wiss. Гёттинген. Math.-Phys.: 442–446
• Вейль, Германн (1935), "Uber das Pick-Nevanlinnasche Interpolationsproblem und sein infinitesimales Analogen", Анналы математики, 36 (1): 230–254, Дои:10.2307/1968677, JSTOR  1968677