Оператор почти Матье - Almost Mathieu operator

В математическая физика, то оператор почти Матьё возникает при изучении квантовый эффект холла. Это дается

действуя как самосопряженный оператор на гильбертовом пространстве . Здесь параметры. В чистая математика, его важность проистекает из того факта, что он является одним из наиболее понятных примеров эргодический Оператор Шредингера. Например, три задачи (теперь все решены) Барри Саймон Пятнадцать задач об операторах Шредингера «для двадцать первого века» содержали оператор почти Матье.[1]

За , оператор почти Матье иногда называют Уравнение Харпера.

Спектральный класс

Если это Рациональное число, тогда является периодическим оператором и по Теория Флоке это спектр чисто абсолютно непрерывный.

Теперь к случаю, когда является иррациональный.С момента трансформации минимальна, то спектр не зависит от . С другой стороны, в силу эргодичности носители абсолютно непрерывных, сингулярно-непрерывных и чисто точечных частей спектра почти наверняка не зависят от .Сейчас известно, что

  • За , конечно имеет чисто абсолютно непрерывный спектр.[2] (Это была одна из проблем Саймона.)
  • За , несомненно имеет чисто сингулярный непрерывный спектр для любого иррационального .[3]
  • За , имеет почти наверняка чистый точечный спектр и демонстрирует Локализация Андерсона.[4] (Известно, что почти наверняка нельзя заменить наверняка.)[5][6]

Особенность спектральных мер при следует (через работу Ласта и Саймона)[7]от нижней границы Показатель Ляпунова данный

Эта нижняя оценка была независимо доказана Авроном, Саймоном и Майкл Герман, после более раннего почти строгого спора Обри и Андре. Фактически, когда принадлежит спектру, неравенство переходит в равенство (формула Обри – Андре), что доказано Жан Бургейн и Светлана Житомирская.[8]

Структура спектра

Бабочка Хофштадтера

Еще одна поразительная особенность оператора почти Матье состоит в том, что его спектр Кантор набор для всех иррациональных и . Это было показано Авила и Житомирская решение известной тогда "проблемы десяти мартини"[9] (также одна из проблем Саймона) после нескольких более ранних результатов (включая общие[10] и почти наверняка[11] по параметрам).

Кроме того, Мера Лебега спектра оператора почти Матье

для всех . За это означает, что спектр имеет нулевую меру (это впервые было предложено Дуглас Хофштадтер а позже стала одной из проблем Саймона).[12] За формула была численно открыта Обри и Андре и доказана Житомирской и Красовским. Ранее Последний [13][14] доказал эту формулу для большинства значений параметров.

Исследование спектра для приводит к Бабочка Хофштадтера, где спектр показан в виде набора.

Рекомендации

  1. ^ Саймон, Барри (2000). «Операторы Шредингера в ХХI веке». Математическая физика 2000. Лондон: Imp. Coll. Нажмите. С. 283–288. ISBN  978-1860942303.
  2. ^ Авила, А. (2008). «Абсолютно непрерывный спектр оператора почти Матье». arXiv:0810.2965 [math.DS ].
  3. ^ Житомирская, С. «О точечном спектре критических операторов почти Матье» (PDF). Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  4. ^ Житомирская, Светлана Я. (1999). «Переход металл-изолятор для оператора почти Матье». Анна. математики. 150 (3): 1159–1175. arXiv:математика / 9911265. Дои:10.2307/121066. JSTOR  121066.
  5. ^ Avron, J .; Саймон Б. (1982). «Особый непрерывный спектр для одного класса почти периодических матриц Якоби». Бык. Амер. Математика. Soc. 6 (1): 81–85. Дои:10.1090 / s0273-0979-1982-14971-0. Zbl  0491.47014.
  6. ^ Житомирская, С .; Саймон, Б. (1994). «Операторы с сингулярным непрерывным спектром. III. Почти периодические операторы Шредингера» (PDF). Comm. Математика. Phys. 165 (1): 201–205. Bibcode:1994CMaPh.165..201J. CiteSeerX  10.1.1.31.4995. Дои:10.1007 / bf02099743. Zbl  0830.34074.
  7. ^ Наконец, Y .; Саймон, Б. (1999). «Собственные функции, передаточные матрицы и абсолютно непрерывный спектр одномерных операторов Шредингера». Изобретать. Математика. 135 (2): 329–367. arXiv:math-ph / 9907023. Bibcode:1999InMat.135..329L. Дои:10.1007 / s002220050288.
  8. ^ Bourgain, J .; Житомирская, С. (2002). «Непрерывность показателя Ляпунова для квазипериодических операторов с аналитическим потенциалом». Журнал статистической физики. 108 (5–6): 1203–1218. Дои:10.1023 / А: 1019751801035.
  9. ^ Avila, A .; Житомирская, С. (2005). «Решение проблемы десяти мартини». Проблема десяти мартини. Конспект лекций по физике. 690. С. 5–16. arXiv:математика / 0503363. Bibcode:2006ЛНП ... 690 .... 5А. Дои:10.1007/3-540-34273-7_2. ISBN  978-3-540-31026-6.
  10. ^ Bellissard, J .; Саймон Б. (1982). «Спектр Кантора для уравнения почти Матье». J. Funct. Анальный. 48 (3): 408–419. Дои:10.1016/0022-1236(82)90094-5.
  11. ^ Пуиг, Жоаким (2004). «Спектр Кантора для оператора почти Матье». Comm. Математика. Phys. 244 (2): 297–309. arXiv:math-ph / 0309004. Bibcode:2004CMaPh.244..297P. Дои:10.1007 / s00220-003-0977-3.
  12. ^ Avila, A .; Крикорян Р. (2006). «Сводимость или неоднородная гиперболичность квазипериодических коциклов Шредингера». Анналы математики. 164 (3): 911–940. arXiv:математика / 0306382. Дои:10.4007 / анналы.2006.164.911.
  13. ^ Ласт, Ю. (1993). «Связь между спектром переменного тока эргодических матриц Якоби и спектрами периодических аппроксимаций». Comm. Математика. Phys. 151 (1): 183–192. Дои:10.1007 / BF02096752.
  14. ^ Ласт, Ю. (1994). «Спектр нулевой меры для оператора почти Матье». Comm. Математика. Phys. 164 (2): 421–432. Дои:10.1007 / BF02096752.